高二上学期期中数学试题理科解析版19.docx

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高二上学期期中数学试题理科解析版19

高二（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（　　）

A．30°B．60°C．120°D．150°

2．（5分）已知点A（2，﹣1，﹣3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为（　　）

A．2B．6C．D．4

3．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（　　）

A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥α

C．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β

4．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（　　）

A．4B．6C．2+2D．8

5．（5分）圆O1：

x2+y2﹣2x=0和圆O2：

x2+y2﹣4x=0的公切线条数（　　）

A．1条B．2条C．3条D．4条

6．（5分）如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（　　）

A．4B．4C．4D．8

7．（5分）若圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（　　）

A．（4，6）B．（6，+∞）C．（﹣∞，4）D．[4，6]

8．（5分）已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是（　　）

A．平面ABC必不垂直于α

B．平面ABC必平行于α

C．平面ABC必与α相交

D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内

9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣

10．（5分）二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（　　）

A．1B．C．2D．

11．（5分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将△ADE，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A、B、C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（　　）

A．8πB．6πC．11πD．5π

12．（5分）曲线y﹣1=（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2x+4有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（　　）

A．（，]B．（，+∞）C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13．（5分）已知直线ax+4y﹣4=0与直线x+ay﹣2=0平行，则a=　　．

14．（5分）已知某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，则该几何体的体积是　　．

15．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=，则下列结论正确的是　　（填上所有你认为正确的结论的序号）．

①AC⊥BF②直线AE，BF所成角为定值③EF∥平面ABC④三棱锥A﹣BEF的体积为定值．

16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是　　．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．（10分）已知直线l过直线x﹣y﹣1=0与直线2x+y﹣5=0的交点P．

（1）若l与直线x+3y﹣1=0垂直，求l的方程；

（2）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程．

18．（12分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M是OA的中点，N为BC的中点．

（1）证明：

直线MN∥平面OCD；

（2）求点M到平面OCD的距离．

19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E是CC1上的中点，且BC=1，BB1=2．

（Ⅰ）证明：

B1E⊥平面ABE

（Ⅱ）若三棱锥A﹣BEA1的体积是，求异面直线AB和A1C1所成角的大小．

20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．

（1）设圆C与直线x﹣y+1=0交于E，F两点，求|EF|的值；

（2）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程．

21．（12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）求证：

平面CNB⊥平面CNB1；

（2）求直线BB1与平面CNB1所成角的正弦值．

22．（12分）已知圆M：

x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：

x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．

（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；

（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：

当P运动时，圆N是否过定点？

若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

高二（上）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）直线x+y﹣3=0的倾斜角为（　　）

A．30°B．60°C．120°D．150°

【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．

【解答】解：

将已知直线化为y=，

所以直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为150°，

故选：

D．

【点评】本题考察直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆．

2．（5分）已知点A（2，﹣1，﹣3），点A关于x轴的对称点为B，则|AB|的值为（　　）

A．2B．6C．D．4

【分析】先求出B（2，1，3），由此能求出|AB|．

【解答】解：

∵点A（2，﹣1，﹣3），点A关于x轴的对称点为B，

∴B（2，1，3），

∴|AB|==2．

故选：

A．

【点评】本题考查两点间距离的求法，考查空间中关于x轴对称的点的坐标的求法、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

3．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（　　）

A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥α

C．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β

【分析】利用空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理对选项分别分析解答．

【解答】解：

对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；

对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；

对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；

对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；

故选C．

【点评】本题考查了空间直线的位置关系以及线面平行、面面平行的判定定理，关键是熟练掌握定理．

4．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则它的原图形OABC的周长是（　　）

A．4B．6C．2+2D．8

【分析】利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，利用斜二测画法的长度关系即可得到结论

【解答】解：

由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，

∵O′A′=1，

∴原图形中OA=O′A′=1，对角线O′B′=，

则原图形中OB=2O′B′=2，且△OBC为直角三角形，

则OC==3，

则原图形的周长是2（3+1）=8，

故选：

D．

【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中理解斜二测画法的规则，是解决本题的关键

5．（5分）圆O1：

x2+y2﹣2x=0和圆O2：

x2+y2﹣4x=0的公切线条数（　　）

A．1条B．2条C．3条D．4条

【分析】判断两个圆的位置关系，然后判断公切线条数．

【解答】解：

圆O1：

x2+y2﹣2x=0的圆心（1，0）半径为1；圆O2：

x2+y2﹣4x=0的圆心（2，0），半径为2，

O1O2=1=2﹣1，∴两个圆内切，

所以圆O1：

x2+y2﹣2x=0和圆O2：

x2+y2﹣4x=0的公切线条数：

1．

故选：

A．

【点评】本题考查两个圆的位置关系，两个圆相离公切线4条，相交2条，外切3条，内切1条．

6．（5分）如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（　　）

A．4B．4C．4D．8

【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出．

【解答】解：

根据三视图作出物体的直观图如图所示：

显然S△PCD＞S△ABC．

由三视图特征可知PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=4，DB=2，

∴BC=4，∴S△ABC==8，S△PAC==8，S△BCD==4．S梯形PABD==12．

∴△BCD的面积最小．

故选B．

【点评】本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，多面体的面积计算，属于基础题．

7．（5分）若圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=r2上有且只有四个点到直线4x+3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（　　）

A．（4，6）B．（6，+∞）C．（﹣∞，4）D．[4，6]

【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|1﹣r|＞1，解此不等式求得半径r的取值范围．

【解答】解：

圆心（3，5）到直线4x+3y﹣2=0的距离等于=5，

由|1﹣r|＞5得r＞6，

故选：

B．

【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及绝对值不等式的解法．

8．（5分）已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是（　　）

A．平面ABC必不垂直于α

B．平面ABC必平行于α

C．平面ABC必与α相交

D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内

【分析】讨论三个点的位置，可能在平面α的同侧，也可能在α的两侧，由此得出正确的结论．

【解答】解：

平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，

则可能三点在α的同侧，即平面ABC∥α，

这时三条中位线都平行于平面α；

也可能一个点A在平面α一侧，

另两点B、C在平面α另一侧，

此时存在一条中位线DE∥BC，DE在α内，

所以平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等时，

存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．

故选：

D．

【点评】本题考查了空间直线与平面的位置关系应用问题，是基础题．

9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣

【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：

y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．

【解答】解：

点A