高中数学人教版必修1知识讲解讲义Word文档格式.doc
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1.含义：
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。
（1）对象：
我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.
（2）集合：
把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.
（3）元素：
集合中每个对象叫做这个集合的元素.
集合通常用大括号{}或大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2.元素与集合的关系
（1）属于：
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：
如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A
要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
3.集合中元素的三个特性：
（1）元素的确定性：
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2）元素的互异性：
任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
（3）元素的无序性：
集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
4.集合分类
根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
【例1】考察下列每组对象能否构成集合？
⑴中国的直辖市；
⑵young中的字母；
⑶不超过20的质数；
⑷高一⑶班16岁以下的学生；
⑸高一⑶班所有个子高的学生.
【分析】
⑴“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”；
⑵“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；
⑶“不超过20的质数”构成一个集合，该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”；
（质数又称素数。
指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。
与之相对立的是合数：
“除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。
”如：
4÷
1=4，4÷
2=2，4÷
4=1，很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。
）
⑷“高一⑶班16岁以下的学生”构成一个集合；
⑸“高一⑶班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。
【例2】：
用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：
（1）所有绝对值等于6的数的集合A
（2）所有绝对值小于6的整数的集合B
【分析】由集合定义：
一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；
其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.
【解】
（1）A＝{绝对值等于6的数}；
其元素为：
－6，6
（2）B＝{绝对值小于6的整数}；
－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5
（二）集合的表示方法
1.常用数集的表示方法
常用数集
简称
记法
全体非负整数的集合
非负整数集
N
非负整数内排除0的集合
正整数集
N+或N+
全体整数的集合
整数集
Z
全体有理数的集合
有理数集
Q
全体实数的集合
实数集
R
【例3】判断正误：
⑴所有在N中的元素都在N*中（ ×
）
⑵所有在N中的元素都在Z中（ √ ）
⑶所有不在N*中的数都不在Z中（ ×
⑷所有不在Q中的实数都在R中（ √ ）
⑸由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0（ ×
⑹不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ √ ）
注：
（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
2.列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
1）是有限集而元素个数较少
如：
{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x}
2）是无限集且元素离散
所有正奇数组成的集合：
{1，3，5，7，…}
3）是有限集但元素个数较多
如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为{1,2,3,4，·
·
，98,99,100}
3.描述法：
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号{}内表示集合的方法。
具体方法：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
{x|p（x）}中x为代表元素，p（x）指x具有的性质.
描述法的两种表述形式：
1）、数式形式:
如由不等式x-5>
4的所有解组成的集合，可以表示为{x|x-5>
4}；
由抛物线y=x2+1上所有点组成的集合，可以表示为{（x,y）|y=x2+1}。
2）、语言形式：
如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}；
所有绝对值小于6的整数的集合，可以表示为{绝对值小于6的整数}。
【例4】求不等式2x-3>
5的解集
【答案】不等式的解集为{x|x>
4,x∈R}
【例5】下列各组对象不能形成集合的是（）
A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数D.函数y＝x图象上所有的点
【解】综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.
【例6】集合A的元素由kx２－3x＋2＝0（k∈R）的解构成，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
【解】由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0（k∈R）的根。
若k＝0，则x＝2/3，知A中有一个元素，符合题设
若k≠0，则方程为一元二次方程.
当Δ＝9－8k＝0即k＝9/8时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞9/8时,kx2－3x＋2＝0无解.
此时A中无任何元素，即A＝Ф也符合条件
综上所述k＝0或k≥9/8
【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.
三.知识要点总结
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2.元素与集合的关系:
属于和不属于
3.集合的中元素的三个特性：
元素的确定性，元素的互异性，元素的无序性。
4.集合分类——根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：
5.集合的表示方法
6.列举法：
7.描述法：
8.描述法的两种表述形式：
1）、数式形式
2）、语言形式
第二讲集合的关系与运算
（一）集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
A={1，2，3}，B={1，2，3，4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：
A⊆B或B⊇A
读作：
A包含于（iscontainedin）B，或B包含（contains）A
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
2.集合与集合之间的“相等”关系
A⊆B且A⊇B，则A=B中的元素是一样的，因此A=B，根据以上我们可以得到这样一个结论：
任何一个集合是它本身的子集。
即A⊆A。
3.真子集的概念
若集合A⊆B，存在至少一个元素属于集合B且不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集（propersubset）。
A⊊B
A真包含于B
规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
4.真子集的性质
结论：
A⊆B且B⊆C，则A⊆C
【例1】集合A={1,2,3,4}，集合B={4,2,3,1}，问集合A和集合B相等吗？
【例2】化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x>
5}，并表示A、B的关系；
【例3】
（1）写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）集合{a1,a2,a3·
an}，子集个数共有多少个；
真子集有多少个；
非空子集有多少个；
非空的真子集有多少个.
（二）集合的运算
1.集合的运算——并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
A∪B
“A并B”
即：
A∪B={x|x∈A，或x∈B}
2.集合的运算——并集
说明：
两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
3.集合的运算——交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
A∩B
“A交B”
A∩B={x|x∈A，且x∈B}
两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
拓展：
求下列各图中集合A与B的并集与交集
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。
4.集合的运算——补集
全集：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
补集：
对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A对于全集U的补集（complementaryset）,简称为集合A的补集
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