高中数学人教版必修1知识讲解讲义Word文档格式.doc

1、1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象. （2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. （3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大括号 或大写的拉丁字母表示，如A、B、C、元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、 2. 元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA 要注意“

2、”的方向，不能把aA颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性： （1） 元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。（2） 元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。（3） 元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。（4） 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集（2）含有有限个元

3、素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集【例1】考察下列每组对象能否构成集合？中国的直辖市；young中的字母；不超过20的质数；高一班16岁以下的学生；高一班所有个子高的学生. 【分析】“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”；“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；“不超过20的质数”构成一个集合，该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”；（质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合

4、数。”如：41=4，42=2，44=1，很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。）“高一班16岁以下的学生”构成一个集合；“高一班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。【例2】：用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：（1）所有绝对值等于6的数的集合A（2）所有绝对值小于6的整数的集合B【分析】由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.【解】（1）A绝对值等于6的数 ；其元素为：6，6（2）B绝对值小于6的整数；5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5（二

5、）集合的表示方法1. 常用数集的表示方法 常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集N非负整数内排除0的集合正整数集N+或N+全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R【例3】判断正误：所有在N中的元素都在N*中（） 所有在N中的元素都在Z中（） 所有不在N*中的数都不在Z中（所有不在Q中的实数都在R中（） 由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0（不在N中的数不能使方程4x8成立（） 注：（1）自然数集包括数0. （2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z* 2. 列举法：

6、把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。1）是有限集而元素个数较少 如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x 2）是无限集且元素离散 所有正奇数组成的集合：1，3，5，7， 3）是有限集但元素个数较多 如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为1,2,3,4，98,99,100 3. 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。x|p（x）中x为代表元素，p（x）指x具有的性质. 描述法的两

7、种表述形式：1）、数式形式:如由不等式x-54的所有解组成的集合，可以表示为x|x-54；由抛物线y=x2+1上所有点组成的集合，可以表示为（x,y）|y=x2+1。2）、语言形式：如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为直角三角形；所有绝对值小于6的整数的集合，可以表示为绝对值小于6的整数。【例4】求不等式2x-35的解集【答案】不等式的解集为x|x4,xR【例5】下列各组对象不能形成集合的是（ ）A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数 D.函数yx图象上所有的点【解】综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.【例6】

8、集合A的元素由kx3x20（kR）的解构成，若A中的元素至多有一个， 求k值的范围.【解】由题A中元素即方程kx23x20（kR）的根。 若k0，则x2/3，知A中有一个元素，符合题设 若k0，则方程为一元二次方程. 当98k0即k9/8时，kx23x20有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当98k0即k9/8时,kx23x20无解. 此时A中无任何元素，即A也符合条件 综上所述 k0或k9/8【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.三. 知识要点总结一般地，我们

9、把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2. 元素与集合的关系:属于和不属于 3. 集合的中元素的三个特性：元素的确定性，元素的互异性，元素的无序性。4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：5. 集合的表示方法 6. 列举法：7. 描述法：8. 描述法的两种表述形式：1）、数式形式 2）、语言形式 第二讲 集合的关系与运算（一）集合之间的关系1. 集合与集合之间的“包含”关系 A=1，2，3，B=1，2，3，4 集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的

10、子集（subset）。记作：A B或B A 读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系 2. 集合与集合之间的“相等”关系 AB且AB，则A=B中的元素是一样的，因此A=B，根据以上我们可以得到这样一个结论：任何一个集合是它本身的子集。即AA。3. 真子集的概念 若集合A B ，存在至少一个元素属于集合B且不属于集合A ，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。A B A真包含于B 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。4. 真子集的性质 结论： AB且B C，则AC 【例1】集合

11、A=1,2,3,4，集合B=4,2,3,1，问集合A和集合B相等吗？【例2】化简集合A=x|x-72,B=x|x 5，并表示A、B的关系；【例3】（1）写出集合0，1，2的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（2）集合a1,a2,a3an，子集个数共有多少个；真子集有多少个；非空子集有多少个；非空的真子集有多少个. （二）集合的运算1. 集合的运算并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）AB “A并B” 即： AB=x|xA，或xB 2. 集合的运算并集说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素

12、只看成一个元素）。连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。3. 集合的运算交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。AB“A交B” AB=x|xA，且xB两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。4. 集合的运算补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集