1、1. 含义:一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)。(1)对象:我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号,都可以称作对象. (2)集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合. (3)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合通常用大括号 或大写的拉丁字母表示,如A、B、C、元素通常用小写的拉丁字母表示,如a、b、c、 2. 元素与集合的关系 (1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作aA (2)不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作aA 要注意“
2、”的方向,不能把aA颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性: (1) 元素的确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2) 元素的互异性:任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。(3) 元素的无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。(4) 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同,可把集合分为如下几类:(1)把不含任何元素的集合叫做空集(2)含有有限个元
3、素的集合叫做有限集(3)含有无穷个元素的集合叫做无限集【例1】考察下列每组对象能否构成集合?中国的直辖市;young中的字母;不超过20的质数;高一班16岁以下的学生;高一班所有个子高的学生. 【分析】“中国的直辖市”构成一个集合,该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”;“young中的字母”构成一个集合,该集合的元素是“y,o,u,n,g”;“不超过20的质数”构成一个集合,该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”;(质数又称素数。指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数。与之相对立的是合数:“除了1和它本身两个约数外,还有其它约数的数,叫合
4、数。”如:41=4,42=2,44=1,很显然,4的约数除了1和它本身4这两个约数以外,还有约数2,所以4是合数。)“高一班16岁以下的学生”构成一个集合;“高一班所有个子高的学生”不能构成一个集合,个子高这个标准不可量化。【例2】:用集合符号表示下列集合,并写出集合中的元素:(1)所有绝对值等于6的数的集合A(2)所有绝对值小于6的整数的集合B【分析】由集合定义:一组确定对象的全体形成集合,所以能否形成集合,就看所提对象是否确定;其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.【解】(1)A绝对值等于6的数 ;其元素为:6,6(2)B绝对值小于6的整数;5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5(二
5、)集合的表示方法1. 常用数集的表示方法 常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集N非负整数内排除0的集合正整数集N+或N+全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R【例3】判断正误:所有在N中的元素都在N*中() 所有在N中的元素都在Z中() 所有不在N*中的数都不在Z中(所有不在Q中的实数都在R中() 由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(不在N中的数不能使方程4x8成立() 注:(1)自然数集包括数0. (2)非负整数集内排除0的集.记作N*或N+,Q、Z、R等其它数集内排除0的集,也这样表示,例如,整数集内排除0的集,表示成Z* 2. 列举法:
6、把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。1)是有限集而元素个数较少 如:1,2,3,4,5,x2,3x+2,5y3-x 2)是无限集且元素离散 所有正奇数组成的集合:1,3,5,7, 3)是有限集但元素个数较多 如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为1,2,3,4,98,99,100 3. 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。x|p(x)中x为代表元素,p(x)指x具有的性质. 描述法的两
7、种表述形式:1)、数式形式:如由不等式x-54的所有解组成的集合,可以表示为x|x-54;由抛物线y=x2+1上所有点组成的集合,可以表示为(x,y)|y=x2+1。2)、语言形式:如由所有直角三角形组成的集合,可以表示为直角三角形;所有绝对值小于6的整数的集合,可以表示为绝对值小于6的整数。【例4】求不等式2x-35的解集【答案】不等式的解集为x|x4,xR【例5】下列各组对象不能形成集合的是( )A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数 D.函数yx图象上所有的点【解】综观四个选择支,A、C、D的对象是确定的,惟有B中的对象不确定,故不能形成集合的是B.【例6】
8、集合A的元素由kx3x20(kR)的解构成,若A中的元素至多有一个, 求k值的范围.【解】由题A中元素即方程kx23x20(kR)的根。 若k0,则x2/3,知A中有一个元素,符合题设 若k0,则方程为一元二次方程. 当98k0即k9/8时,kx23x20有两相等的实数根,此时A中有一个元素.又当98k0即k9/8时,kx23x20无解. 此时A中无任何元素,即A也符合条件 综上所述 k0或k9/8【评述】解决涉及一元二次方程问题,先看二次项系数是否确定,若不确定,如该题,则须分类讨论.其次至多有一个元素,决定了这样的集合或者含一个元素,或者不含元素,分两种情况.三. 知识要点总结一般地,我们
9、把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。2. 元素与集合的关系:属于和不属于 3. 集合的中元素的三个特性:元素的确定性,元素的互异性,元素的无序性。4. 集合分类 根据集合所含元素个数不同,可把集合分为如下几类:5. 集合的表示方法 6. 列举法:7. 描述法:8. 描述法的两种表述形式:1)、数式形式 2)、语言形式 第二讲 集合的关系与运算(一)集合之间的关系1. 集合与集合之间的“包含”关系 A=1,2,3,B=1,2,3,4 集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A;如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的
10、子集(subset)。记作:A B或B A 读作:A包含于(is contained in)B,或B包含(contains)A 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系 2. 集合与集合之间的“相等”关系 AB且AB,则A=B中的元素是一样的,因此A=B,根据以上我们可以得到这样一个结论:任何一个集合是它本身的子集。即AA。3. 真子集的概念 若集合A B ,存在至少一个元素属于集合B且不属于集合A ,则称集合A是集合B的真子集(proper subset)。A B A真包含于B 规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。4. 真子集的性质 结论: AB且B C,则AC 【例1】集合
11、A=1,2,3,4,集合B=4,2,3,1,问集合A和集合B相等吗?【例2】化简集合A=x|x-72,B=x|x 5,并表示A、B的关系;【例3】(1)写出集合0,1,2的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。(2)集合a1,a2,a3an,子集个数共有多少个;真子集有多少个;非空子集有多少个;非空的真子集有多少个. (二)集合的运算1. 集合的运算并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集(Union)AB “A并B” 即: AB=x|xA,或xB 2. 集合的运算并集说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素
12、只看成一个元素)。连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。3. 集合的运算交集一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集(intersection)。AB“A交B” AB=x|xA,且xB两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的公共元素组成的集合。拓展:求下列各图中集合A与B的并集与交集当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集。4. 集合的运算补集全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(Universe),通常记作U。补集:对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A对于全集U的补集(complementary set),简称为集合A的补集
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