拓扑学第四章 紧致性.docx
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拓扑学第四章紧致性
拓扑学第四章紧致性
第四章紧致性
紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。
§4-1度量空间（x，d）中紧性（简单复习）
定义1设a是（x，d）的一个子集。
如果a中任一无穷点列有子列收敛于x中的一点，则称a是相对列紧的；
如果a中每个收敛子列的极限点都属于a，则称a是列紧的；如果（x，d）本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释。
这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的（由于都是过去的知识，所以不加证明的给出）
（1）有限子集总是列紧的。
（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。
（3）若a是（x，d）的列紧子集，则a是（x，d）的有界闭集。
（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果（x，d）是列紧空间，则a列紧。
a是闭集。
（5）列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析。
列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2设a是（x，d）的一个子集。
u是x的一族开集，满足中的开覆盖；
若u中只有有限个子集，称u为有限开覆盖；
若x本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称x为紧致空间（有的书成为紧空间）★理论上可以证明：
对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间。
紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。
u。
u。
u。
a，则称u为a在x§4-2拓扑空间的紧性
在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[a，b]具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
所以，最早人们认为[a，b]上这个特性取决于[a，b]上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。
后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。
因此，列紧性并未触及到问题的本质。
进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。
并且从实分析理论中知道：
“实数空间r的子集为有界闭集。
它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。
①用有限族去代替无穷族（序列）的研究；②无须度量描述。
解释：
为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛。
定义3设x为拓扑空间，如果x的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称x为紧致空间。
★显然，每一紧致空间也都是lindel。
f空间（x的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。
定义4设a为拓扑空间x的非空子集，若a作为x的子空间是紧致的，则称a为x的紧致子集。
例1实数集r不是紧致空间。
因为a。
{（。
n，n）n。
n}为r的开覆盖，但是a中任何有限子集族{（。
n1，n1），（。
n2，n2），。
，（。
nk，nk）}
的并集为（。
max{n1，n2，。
，nk}，max{n1，n2，。
，nk}），它不能覆盖r，即a没有有限子覆盖（解释：
要覆盖r只有n。
。
。
但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。
例2r的开区间（0，1）不是紧致的。
因为开区间族a。
（111，1），（。
，1），，（23n，1）是（0，1）的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖（0，1）。
1n。
n}（n为正整数集）是紧致的。
n因为，任给a的一个开覆盖a，a中有一个成员包含0，记这个成员为u（开区间）。
于是，
1开区间u除了有限个“”外，它要包含a的所有其余的点，因此，对于a中的每一个u未包含
n的点，从a中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。
例3r的子空间a。
{0}。
{例4任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。
●重新看一下定义4：
说a为拓扑空间x的紧致子集，是指a中的开集构成的a的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：
每一x的开集构成的a的覆盖都有有限子覆盖。
因此，下面的定理是必要的。
定理1拓扑空间x的子集a是x的紧致子集。
每一由x的开集构成的a的覆盖都有有限子覆盖。
证明。
（。
）假设a是紧致的。
令a。
{b。
}。
。
。
是由x的开集组成的a的一个覆盖，那么，
{b。
。
a。
。
。
}就是a中开集所组成的a的一个开覆盖。
由于a是紧致的，从而有一个有限子族
{b。
1。
a，b。
2。
a，。
，b。
m。
a}
可以覆盖a，即它就是a的一个覆盖a的有限族。
（。
）反之，设a的每一由x的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。
设a。
{u。
。
。
。
}为a的
由x的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为
{u。
1，u。
2，。
，u。
n}而
（u。
1。
a）。
（u。
2。
a）。
。
。
（u。
n。
a）。
a故a是x的紧致子集。
定理2设b为拓扑空间x的基，若由b的成员构成的x的每一覆盖（自然是开的）都有有限子覆盖，则x为紧致空间。
证明。
设a是x的任一开集。
对于。
a。
a，则a是开集，故存在b的子族ba，使得
a。
b。
ba。
b。
令
a。
aa=。
由
b。
a。
ba。
aa（即，覆盖a中所有成员a的b中集族）
。
b。
。
（。
b）。
。
a。
x
b。
baa。
a即，a是b中成员构成的x的覆盖。
如果a有有限子覆盖，不妨设为{b1，b2，。
，bn}.。
bi。
a。
故存在ai。
a，使得bi。
bai，
x的子覆盖。
所以，x为紧致空间。
从而bi。
ai。
于是，a的有限子集族{a1，a2，。
，an}一定是
定理3紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。
证明。
设a是紧致空间x的闭子集，于是a是x的一个开集。
如果a是x的任一开覆盖，不难看出{a，a}构成x的一个开覆盖。
又因为x是紧致的，故{a，a}中存在有限集族{u1，u2，。
，um，ac}是x的有限子覆盖，而
ccc{u1，u2，。
，um}是a的一个有限子覆盖，即闭集a的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，a是紧
致的。
●下面的几个定理不加以证明的给出。
定理4每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。
定理5若x1，x2，。
，xn均为紧致空间，则积空间x1。
x2。
。
。
xn为紧致空间。
定理6设f。
x。
y是从拓扑空间x到y的连续映射，若a是x的紧致子集，则f（a）是y的紧致子集。
上述定理的解释：
▲定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间，并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。
实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点n）；r的单点紧致化同胚于球面s。
同时，从定理4又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。
即，紧致性不是可遗传性质。
▲定理6说明。
紧致集在连续映射下的象也是紧致集。
b2nar2▲从前面的定义知：
紧致性是用一族开集的并运算定义的（开覆盖），那么，根据集合论中的摩根定律，“开集的并运算”与“闭集的交运算”是对偶的。
所以，空间的紧性也可以利用另一种方式来定义。
（尽管这种定义是较费解的，但是在拓扑学的某些证明中还是有用的）
定义5令x为任意非空集合，a是x的任一子集族。
如果a的每一有限子集族的交集都是非空的，则称a具有有限交性质。
定理7拓扑空间x是紧致的。
x的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交。
关于定理7的注释（不证明）：
关于“x的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交”的含义是：
设{a。
}。
。
。
是x上的一族闭集合，它中的任何有限个集合的交集都是非空的，即是有限交性质的。
则应由
a。
。
。
，即，闭集族{a。
}。
。
。
。
。
。
。
都必含有某个相同元素。
§4-3紧致性与分离公理（hausdorff空间的紧致子集）
本节讨论紧致空间和t2公理共同作用下得到的拓扑空间性质。
定理8设a是hausdorff空间x的紧致子集，若x。
a，则x与a有不相交的邻域。
证明：
对于。
y。
a，则y。
x。
由于x是t2空间，则有x和y的开邻域uy，vy（注。
下标均为y，表示这两个邻域与y的选择有关），且uy。
vy。
。
。
当y取遍a时，有{vyy。
a}构成a的开覆盖。
又由于a是紧致子集，故存在有限子覆盖，设为{vy1，vy2，。
，vyn}。
令
xuavv。
vy1。
vy2。
。
。
vynu。
uy1。
uy2。
。
。
uyn
则v是a的开邻域，u是x的开邻域。
又，对于任意vyi（i。
1，2，。
，n）均有u。
vyi。
。
。
所以，
u。
v。
。
。
证毕。
定理9hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻域。
证明方法与定理8雷同，证略。
它的意义如右图所示。
由定理8和定理9，可以得到如下的推论。
推论1hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集。
uabv注释。
因为x。
a，则x。
a（闭包），所以x不是a的聚点，即a是含有聚点的集合，故a是
闭集。
推论2紧致的hausdorff空间的子集为闭集。
它是紧致子集。
注释。
根据推论1得到。
；由定理3“紧致空间的闭子集是紧致子集”得到。
。
★于是，有如下关系：
紧致空间。
闭集。
紧致子集
hausdorff空间。
闭集。
紧致子集
紧致hausdorff空间。
闭集。
紧致子集
另外，由定理9，我们得到如下结论。
推论3每一紧致的hausdorff空间都是t4空间。
注释。
根据紧致hausdorff空间的紧致子集是闭集，且闭集也是紧致集。
则由定理9，有不相交
邻域，则是t4空间。
推论4每一紧致的hausdorff空间都是t3空间。
注释。
由紧致hausdorff空间的紧致子集等价于闭集，再由定理8，则是t3空间。
于是，我们又推出如下关系：
★对于紧致空间：
hausdorff空间。
正则空间。
正规空间
注：
已知。
正规空间。
正则空间。
hausdorff空间（。
）又，紧致空间是lindel。
f空间，而对lindel。
f空间有t3。
t4，于是
正则空间。
正规空间
又由推论3和4，故有（。
）成立。
定理10从紧致空间到hausdorff空间的连续映射必为闭映射。
证明：
设x为紧致空间，y为hausdorff空间。
f：
x。
y为连续映射。
设a是x的任一闭集，故而是紧致子集（由定理3），则f（a）是y的紧致子集（由定理6）。
由推论1，f（a）是闭集。
故f为闭映射。
定理11x为紧致空间，y为hausdorff空间，f：
x。
y是在上的一一连续映射，则f是同胚。
证明：
（提示：
只要证明f。
1：
y。
x是连续的）
在第二章§2-5“连续映射与同胚”中定理1（3）已有结论：
“f。
u。
v，若v的闭集在f下的原象是闭的，则f连续”
在此，记f。
f。
1，u。
y，v。
x；于是利用定理10，有f。
1是连续的。
故f是同胚。
★关于“欧氏空间的紧致子集”一节略，同学们可以自己看。
§4-4几种紧致性的关系（简介）
在微积分学中，实数空间r的子集a上，下述命题是等价的：
（1）a是有界闭集；
（2）a的每一开覆盖都有有限子覆盖；（3）a中每一无限子集都有聚点在a中；
（4）a中每一序列都有收敛的子序列收敛于a中的点；★同时，
（2）可以写成
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