拓扑学第四章 紧致性.docx

1、拓扑学第四章 紧致性拓扑学第四章 紧致性第四章紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。我们先回顾一下度量空间紧性（列紧性）概念（在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质）。4-1度量空间（x，d）中紧性（简单复习）定义1设a是（x，d）的一个子集。如果a中任一无穷点列有子列收敛于x中的一点，则称a是相对列紧的；如果a中每个收敛子列的极限点都属于a，则称a是列紧的；如果（x，d）本身是列紧的，则称为列紧空间。注释。这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。下面的结论是显然的（由

2、于都是过去的知识，所以不加证明的给出）（1）有限子集总是列紧的。（2）列紧空间是完备的（但，完备空间未必是列紧的）。（3）若a是（x，d）的列紧子集，则a是（x，d）的有界闭集。（4）在一般度量空间中，（3）成立，反之未必；如果（x，d）是列紧空间，则a列紧。a是闭集。（5）列紧的度量空间必是可分的。进一步分析。列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。人们找出了一种非序列刻画的方式。定义2设a是（x，d）的一个子集。u是x的一族开集，满足中的开覆盖；若u中只有有限个子集，称u为有限开覆盖；若x本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称x为紧致空间（有的书成为紧空间）理论上可以证明：

3、对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。即列紧空间。紧致空间（这在泛函分析书中都有介绍）。u。u。u。a，则称u为a在x4-2拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间a，b具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。所以，最早人们认为a，b上这个特性取决于a，b上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。后来研究发现，在拓扑空间上，序列并不是个好的表达形式。因此，列紧性并未触及到问题的本质。进一步深入研究，认为用“开集”表达形式更为自然。并且从实分析理论中知道：“实数空间r的子集为

4、有界闭集。它的每一开覆盖都有有限子覆盖”。用有限族去代替无穷族（序列）的研究；无须度量描述。解释：为什么可以用有限覆盖表述无穷序列收敛。定义3设x为拓扑空间，如果x的每一开覆盖都有有限子覆盖，则称x为紧致空间。显然，每一紧致空间也都是lindel。f空间（x的每一开覆盖都有可数子覆盖），反之不然。定义4设a为拓扑空间x的非空子集，若a作为x的子空间是紧致的，则称a为x的紧致子集。例1实数集r不是紧致空间。因为a。（。n，n）n。n为r的开覆盖，但是a中任何有限子集族（。n1，n1），（。n2，n2），。，（。nk，nk）的并集为（。maxn1，n2，。，nk，maxn1，n2，。，nk），它不

5、能覆盖r，即a没有有限子覆盖（解释：要覆盖r只有n。但这是一个无限的过程，不能用有限的方法得到）。例2r的开区间（0，1）不是紧致的。因为开区间族a。（111，1），（。，1），（23n，1）是（0，1）的一个开覆盖，中任何有限个成员都不能覆盖（0，1）。1n。n（n为正整数集）是紧致的。n因为，任给a的一个开覆盖a，a中有一个成员包含0，记这个成员为u（开区间）。于是，1开区间u除了有限个“”外，它要包含a的所有其余的点，因此，对于a中的每一个u未包含n的点，从a中选一个报还它的成员，这些成员当然是有限的。例3r的子空间a。0。例4任何一个仅含有限多个点的空间必然是紧致的。重新看一下定义4：

6、说a为拓扑空间x的紧致子集，是指a中的开集构成的a的覆盖都有有限子覆盖，并没有明显说明：每一x的开集构成的a的覆盖都有有限子覆盖。因此，下面的定理是必要的。定理1拓扑空间x的子集a是x的紧致子集。每一由x的开集构成的a的覆盖都有有限子覆盖。证明。（。）假设a是紧致的。令a。b。是由x的开集组成的a的一个覆盖，那么，b。a。就是a中开集所组成的a的一个开覆盖。由于a是紧致的，从而有一个有限子族b。1。a，b。2。a，。，b。m。a可以覆盖a，即它就是a的一个覆盖a的有限族。（。）反之，设a的每一由x的开集构成的覆盖都有有限子覆盖。设a。u。为a的由x的开集构成的覆盖，其有限子覆盖为u。1，u。2

7、，。，u。n而（u。1。a）。（u。2。a）。（u。n。a）。a故a是x的紧致子集。定理2设b为拓扑空间x的基，若由b的成员构成的x的每一覆盖（自然是开的）都有有限子覆盖，则x为紧致空间。证明。设a是x的任一开集。对于。a。a，则a是开集，故存在b的子族ba，使得a。b。ba。b。令a。aa=。由b。a。ba。aa（即，覆盖a中所有成员a的b中集族）。b。（。b）。a。xb。baa。a即，a是b中成员构成的x的覆盖。如果a有有限子覆盖，不妨设为b1，b2，。，bn.。bi。a。故存在ai。a，使得bi。bai，x的子覆盖。所以，x为紧致空间。从而bi。ai。于是，a的有限子集族a1，a2，。，

8、an一定是定理3紧致空间的每一闭子集都是紧致子集。证明。设a是紧致空间x的闭子集，于是a是x的一个开集。如果a是x的任一开覆盖，不难看出a，a构成x的一个开覆盖。又因为x是紧致的，故a，a中存在有限集族u1，u2，。，um，ac是x的有限子覆盖，而cccu1，u2，。，um是a的一个有限子覆盖，即闭集a的任一开覆盖都有有限子覆盖，所以，a是紧致的。下面的几个定理不加以证明的给出。定理4每一拓扑空间都是某一紧致空间的子空间。定理5若x1，x2，。，xn均为紧致空间，则积空间x1。x2。xn为紧致空间。定理6设f。x。y是从拓扑空间x到y的连续映射，若a是x的紧致子集，则f（a）是y的紧致子集。上

9、述定理的解释：定理4说明，对于非紧致的拓扑空间，可以通过补充一些元素的方法，使其成为紧致空间，并将这个紧致空间称为原空间的加一点的紧致化。实直线的单点紧致化同胚于圆周（补充点n）；r的单点紧致化同胚于球面s。同时，从定理4又可以看出，紧致空间的子空间未必是紧致的。即，紧致性不是可遗传性质。定理6说明。紧致集在连续映射下的象也是紧致集。b2nar2从前面的定义知：紧致性是用一族开集的并运算定义的（开覆盖），那么，根据集合论中的摩根定律，“开集的并运算”与“闭集的交运算”是对偶的。所以，空间的紧性也可以利用另一种方式来定义。（尽管这种定义是较费解的，但是在拓扑学的某些证明中还是有用的）定义5令x为

10、任意非空集合，a是x的任一子集族。如果a的每一有限子集族的交集都是非空的，则称a具有有限交性质。定理7拓扑空间x是紧致的。x的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交。关于定理7的注释（不证明）：关于“x的每一具有有限交性质的闭集族都是非空的交”的含义是：设a。是x上的一族闭集合，它中的任何有限个集合的交集都是非空的，即是有限交性质的。则应由a。，即，闭集族a。都必含有某个相同元素。4-3紧致性与分离公理（hausdorff空间的紧致子集）本节讨论紧致空间和t2公理共同作用下得到的拓扑空间性质。定理8设a是hausdorff空间x的紧致子集，若x。a，则x与a有不相交的邻域。证明：对于。y。a，

11、则y。x。由于x是t2空间，则有x和y的开邻域uy，vy（注。下标均为y，表示这两个邻域与y的选择有关），且uy。vy。当y取遍a时，有vyy。a构成a的开覆盖。又由于a是紧致子集，故存在有限子覆盖，设为vy1，vy2，。，vyn。令xuavv。vy1。vy2。vynu。uy1。uy2。uyn则v是a的开邻域，u是x的开邻域。又，对于任意vyi（i。1，2，。，n）均有u。vyi。所以，u。v。证毕。定理9hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻域。证明方法与定理8雷同，证略。它的意义如右图所示。由定理8和定理9，可以得到如下的推论。推论1hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集

12、。uabv注释。因为x。a，则x。a（闭包），所以x不是a的聚点，即a是含有聚点的集合，故a是闭集。推论2紧致的hausdorff空间的子集为闭集。它是紧致子集。注释。根据推论1得到。；由定理3“紧致空间的闭子集是紧致子集”得到。于是，有如下关系：紧致空间。闭集。紧致子集hausdorff空间。闭集。紧致子集紧致hausdorff空间。闭集。紧致子集另外，由定理9，我们得到如下结论。推论3每一紧致的hausdorff空间都是t4空间。注释。根据紧致hausdorff空间的紧致子集是闭集，且闭集也是紧致集。则由定理9，有不相交邻域，则是t4空间。推论4每一紧致的hausdorff空间都是t3空间

13、。注释。由紧致hausdorff空间的紧致子集等价于闭集，再由定理8，则是t3空间。于是，我们又推出如下关系：对于紧致空间：hausdorff空间。正则空间。正规空间注：已知。正规空间。正则空间。hausdorff空间（。）又，紧致空间是lindel。f空间，而对lindel。f空间有t3。t4，于是正则空间。正规空间又由推论3和4，故有（。）成立。定理10从紧致空间到hausdorff空间的连续映射必为闭映射。证明：设x为紧致空间，y为hausdorff空间。f：x。y为连续映射。设a是x的任一闭集，故而是紧致子集（由定理3），则f（a）是y的紧致子集（由定理6）。由推论1，f（a）是闭集。

14、故f为闭映射。定理11x为紧致空间，y为hausdorff空间，f：x。y是在上的一一连续映射，则f是同胚。证明：（提示：只要证明f。1：y。x是连续的）在第二章2-5“连续映射与同胚”中定理1（3）已有结论：“f。u。v，若v的闭集在f下的原象是闭的，则f连续”在此，记f。f。1，u。y，v。x；于是利用定理10，有f。1是连续的。故f是同胚。关于“欧氏空间的紧致子集”一节略，同学们可以自己看。4-4几种紧致性的关系（简介）在微积分学中，实数空间r的子集a上，下述命题是等价的：（1）a是有界闭集；（2）a的每一开覆盖都有有限子覆盖；（3）a中每一无限子集都有聚点在a中；（4）a中每一序列都有收敛的子序列收敛于a中的点；同时，（2）可以写成拓扑学第四章紧致性.doc免费为全国范文类知名网站，下载全文稍作修改便可使用，即刻完成写稿任务。支付6元已有11人下载下载这篇word文档