全等三角形-辅助线做法讲义Word文档下载推荐.doc

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作CF⊥AD于F，延长MD到N，

作BE⊥AD的延长线于E使DN=MD，

连接BE连接CD

【经典例题】

例1：

△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围

例2：

已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：

BD=CE

例3：

已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：

AF=EF

提示：

倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA

三角形BEG是等腰三角形

例4：

已知：

如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.

求证：

AE平分

倍长AE至G，连结DG

倍长FE至H，连结CH

例5：

已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，

∠C=∠BAE

倍长AE至F，连结DF

证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）

进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）

【融会贯通】

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论

延长AE、DF交于G

证明AB=GC、AF=GF

所以AB=AF+FC

2、如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F.求证：

3、已知：

如图，DABC中，Ð

C=90°

，CM^AB于M，AT平分Ð

BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：

CT=BE.

过T作TN⊥AB于N

证明ΔBTN≌ΔECD

截长补短法引辅助线

思路：

当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：

，如直接证不出来，可采用截长法：

在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：

延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。

通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。

例1.如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。

求证：

AB＝AC＋CD

龙文教育教务处

证法一：

（补短法）

延长AC至点F，使得AF＝AB

在△ABD和△AFD中

∴△ABD≌△AFD（SAS）

∴∠B＝∠F

∵∠ACB＝2∠B

∴∠ACB＝2∠F

而∠ACB＝∠F＋∠FDC

∴∠F＝∠FDC

∴CD＝CF

而AF＝AC＋CF

∴AF＝AC＋CD

∴AB＝AC＋CD

证法二：

（截长法）

在AB上截取AE＝AC，连结DE

在△AED和△ACD中

∴△AED≌△ACD（SAS）

例2.如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°

，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：

BD＝2CE。

分析：

这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。

1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，

求证;

AB＝AC+BD

3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。

BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，

5.已知：

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：

AB=AC+CD.

6.已知：

如图，△ABC中，∠A=60°

，∠B与∠C的平分线BE,CF交于点I，求证：

BC=BF+CE.

7.已知：

如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，求证：

BE=CF+AE.

与角平分线有关的辅助线

角平分线具有两条性质：

a、对称性；

b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；

其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

（1）截取构全等

如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：

BC=AB+CD。

简证：

在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自已试一试。

例2．已知：

如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC

分析：

此题还是利用角平分线来构造全等三角形。

构造的方法还是截取线段相等。

其它问题自已证明。

例3．已知：

如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：

AB-AC=CD

此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。

练习

1．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：

AB+BD=AC

2．已知：

在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：

AE=2CE

3．已知：

在△ABC中，AB>

AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。

BM-CM>

AB-AC

4．已知：

D是△ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。

BD+CD>

AB+AC。

（2）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．如图2-1，已知AB>

AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

∠ADC+∠B=180 

可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 

，AB=AC，∠ABD=∠CBD。

BC=AB+AD

过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。

此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

∠BAC的平分线也经过点P。

连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 

，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，则PD=（）A4B3C2D1

2．已知在△ABC中，∠C=90 

，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3．已知：

如图2-5,∠BAC=∠CAD,AB>

AD，CE⊥AB，

AE=（AB+AD）.求证：

∠D+∠B=180 

。

4.已知：

如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC

上的点，∠FAE=∠DAE。

AF=AD+CF。

5．已知：

如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 

CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。

求证CF=BH。

（3）、作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1．已知：

如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>

AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。

DH=（AB-AC）

延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。

问题可证。

如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 

，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：

BD=2CE。

给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：

如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BN垂直AD,交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。

AM=ME。

由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EA⊥AF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。

例4．已知：

如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。

AM=（AB+AC）

题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作△ABD关于AD的对称△AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作△ACM关于CM的对称△FCM，然后只需证DF=CF即可。

1．已知：

在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE