高等数学第7章微分方程解答概要.docx
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高等数学第7章微分方程解答概要
习题7-2可分离变量的微分方程
1求下列微分方程的通解：
（1）
；
解原方程为
，分离变量得
两端积分得
，（C为任意常数）
即为原方程的通解。
（2）
；
解将原方程分离变量，得
两端积分得
或
故原方程的通解为
（C为任意常数）。
2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）
；
解将原方程分离变量，得
两端积分得
，即
故原方程的通解为
代入初始条件
得
.于是,所求之特解为
.
（2）
解将原方程分离变量，得
两端积分得
，即
故原方程的通解为
代入初始条件
得
.于是,所求之特解为
.
3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.
解设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x轴与y轴上的截距分别为2x与2y,于是切线的斜率
分离变量得
积分得
即
.
代入初始条件
得
故曲线方程为
.
习题7-3齐次方程
1、求下列齐次方程的通解
（1）
解（a）当
时,可将方程改写成
.令
即
所以有
.则原方程成为
.分离变量,得
.
两边积分得
即
.
将
代入上式整理,得通解为
;
（b）当
时,方程两边同除以
则原方程可改写成
即
（因为
时,
）,也就是
.与x>0的情况一样）
所以,对任意的
方程的通解为
（C为任意常数）.
（注:
如果C=0,则由原方程知,
即
或
若
则原方程变为
只有当
时成立;若
（A为常数）,则原方程变成
当A<0时方程有解.）
（2）
解原方程可改写成
.令
即
所以有
.则原方程成为
.分离变量,得
.
两边积分得
即
.
将
代入上式,得通解为
（C为任意常数）.
2.求齐次方程
满足所给初始条件的特解
解原方程可写成
.令
即
有
所以原方程成为
.
分离变量,得
积分得
即
代入
并整理,得通解为
.
由初始条件
得
.于是所求特解为
.
习题7-4一阶线性微分方程
1、求下列微分方程的通解
（1）
（2）
（3）
.
解
（1）由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为
（2）将原方程改写成
.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为
.（C为任意常数）
（3）将原方程改写成
由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为
.
即
.（C为任意常数）
（注:
当
时,去掉绝对值即得上述解答过程.而当
时,则
与上述结果一样）
2、求微分方程
满足所给初始条件的特解。
解由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为
.
代入初始条件x=0,y=0得C=0.故所求特解为
.
3、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点
处的切线斜率等于
。
解设曲线方程为
由题目条件得
即
由一阶线性微分方程的通解公式得,
由初始条件
得
.故所求曲线的方程为
.
4、用适当的变量代换将微分方程
化为可分离变量的方程，然后求出通解。
解令
则
且原方程变为
.分离变量得
.
两边积分得
即
.
代入
得原方程的通解为
（C为任意常数）.
习题7-4可降阶的高阶微分方程
1、求下列微分方程的通解
（1）
解
，
（C1,C2为任意常数）
（2）
解令
，则
，且原方程化为
，分离变量，得
。
两边积分得
，即
，也就是
。
两边再积分，得原方程的通解为
。
（C1,C2为任意常数）
（3）
解令
，则
，且原方程化为
，当
时，有
。
分离变量，得
两边积分得
，即
，即
。
两边积分得
所以原方程的通解为
。
（C1,C2为任意常数）
（注：
如果p=0，则y为常数函数，也是原方程的解！
）
2、求微分方程
满足所给初始条件的特解。
解令
，则
，且原方程化为
，分离变量，得
，两边积分得
。
代入初始条件
，得
。
从而有
，即
两边再积分得
。
代入初始条件
，得
，故所求特解为
。
3、试求
的经过点
且在此点与直线
相切的积分曲线。
解因为直线
在（0，1）处的切线斜率为
，由题目条件知，所求积分曲线是初值问题：
的解。
对
两边积分得，
。
代入初始条件
，得
。
从而有
。
两边再积分得
。
代入初始条件
，得
，故所求积分曲线的方程为
。
习题7-6常系数齐次线性微分方程
1、求下列微分方程的通解
（1）
（2）
（3）
（4）
.
解
（1）特征方程为
特征根为
故方程的通解为
（
为任意常数）.
（2）特征方程为
特征根为
故方程的通解为
（
为任意常数）.
（3）特征方程为
特征根为
故方程的通解为
（
为任意常数）.
（4）特征方程为
即
所以特征根为
故方程的通解为
（
为任意常数）.
2、求微分方程
满足所给初始条件的特解。
解解特征方程
，得特征根为
。
故方程的通解为
，且有
。
代入初始条件
，解得
。
故所求的特解为
。
习题7-6常系数非齐次线性微分方程
1、求下列微分方程的通解
（1）
解特征方程为
特征根为
故对应的齐次方程的通解为
.
又
不是特征方程的根,令
是原方程的一个特解,代入原方程得
消去
可得
即
.所以原方程的通解为
（
为任意常数）.
（2）
解特征方程为
特征根为
故对应的齐次方程的通解为
.
又
是特征方程的单根,设
是原方程的一个特解,代入原方程并整理得
比较系数得
即
.所以原方程的通解为
（
为任意常数）.
（3）
解对应齐次方程的特征方程为
，解得
，故对应的齐次方程的通解为
因
是特征方程的单根，故可设
是原方程的一个特解，代入方程并消去
得
，比较系数，得
，即
。
故原方程的通解为
（C1,C2为任意常数）。
2、求微分方程
满足所给初始条件的特解。
解因为特征方程
的特征根为
故对应的齐次方程的通解为
.
因
不是特征方程的根,故可设
是原方程的一个特解,代入方程得
即
.
于是原方程的通解为
且有
.
代入初始条件
有
解得
所以,满足初始条件的特解为
.
3、设函数
连续，且满足
，求
。
解由所给方程可得
，在该方程两端对x求导，得
，
即
（1）
将x=0代入方程
（1）得
。
又在方程
（1）的两端对x求导，得
令
，则有初值问题
（2）
上述二阶线性常系数非齐次微分方程的特征方程为
，解得
，而
不是特征方程的根，故令
是方程
（2）得特解，代入方程
（2）并消去
，得
。
于是方程
（2）有通解
且有
。
代入初始条件
，有
，即
。
于是得
。
复习题七
1、求微分方程
，
满足所给初始条件的特解。
解所给方程为可分离变量的微分方程。
分离变量得
两端积分得
，即
。
代入初始条件
，有
，所以
，于是
即
是所求之特解。
2、求下列齐次方程的通解
（1）
；
（2）
.
解：
原方程可改写
，令
，则
，分离变量，得
，两端积分
，将
代入并化简，得通解
.
（2）原方程可改写成
.令
即
所以有
.代入原方程得
整理并分离变量,得
.两边积分得
即
也就是
.将
代入上式,得原方程的通解为
（C为任意常数）
3、求微分方程
，
满足所给初始条件的特解：
解：
令
，则
，分离变量得
，两端积分，得
，将
代入并化简，得通解
，由初始条件
，求得
，所求特解为
.
4、设有连接点
和
的一段向上凸的曲线弧
，对于
上任一点
，
曲线弧
与直线段
所围图形的面积为
，求曲线弧
的方程.
解：
设所求曲线方程为
，由题意
，等式两边对
求导有
，整理得微分方程
，此访程为一阶线性非齐次方程，由通解公式，得通解为
，又由曲线过
，可知
，故所求曲线方程为
5、求下列微分方程的通解
（1）
；
解
（2）
.
解
6、用适当的变量代换将方程
化为可分离变量的方程，然后求出通解。
7、求下列微分方程的通解：
（1）
；
解
（2）
解令
则
原方程化为
.分离变量,得
.两边积分得
故
又分离变量,得
.
当
时,原方程为
.两边积分得
.即
两边平方得
（其中
）;
当
时,原方程为
.两边积分得
.即
两边平方得
（其中
）;
综上讨论知,原方程的通解为
（
为不等于零的任意常数,C2为任意常数）
8、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）
，
，
.
解
（2）
，
，
.
解
9、求下列微分方程的通解：
（1）
；
解
（3）
.
解特征方程
的特征根为
故对应齐次方程的通解为
.
因
不是特征方程的特征根,故可设
是原方程的一个特解.代入原方程,得
.
比较系数得
解得
即
.
故原方程的通解为
.
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