Part2-第11章-桥梁结构几何非线性计算理论PPT资料.ppt

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3H=Hg+maxHp,0,1.3桥梁结构中的几何非线性研究（续）,悬索桥一阶和二阶理论对比分析,杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1一阶理论；

2二阶理论）,弯矩包络图,1.3桥梁结构中的几何非线性研究（续）,悬索桥一阶和二阶理论对比分析,杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1一阶理论；

2二阶理论）,剪力包络图,1.3桥梁结构中的几何非线性研究（续）,悬索桥一阶和二阶理论对比分析,杨浦大桥160+580+160m悬索桥方案主跨包络图（1一阶理论；

2二阶理论）,挠度包络图,现代桥梁工程的发展和跨径的增大使得结构柔且复杂结构分析中梁柱效应、索的伸长、结构水平位移及后期荷载的二阶影响变得不可忽略对各种复杂结构，建立非线性平衡微分方程及其求解也越来越困难六十年代初，Brotton等发表求解结构大位移、初应力问题的研究成果这些理论方法都可归入几何非线性力学的有限位移理论,1.3桥梁结构中的几何非线性研究（续）,1.3桥梁结构中的几何非线性研究（续）,建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应,1）单元初内力对单元刚度矩阵的影响,一般指单元轴力对弯曲刚度的影响有时也考虑弯矩对轴向刚度的影响常通过引入稳定函数或单元几何刚度矩阵的方法来考虑,1.3桥梁结构中的几何非线性研究（续）,建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应,2）大位移对建立结构平衡方程的影响,T.L列式法将参考座标选在未变形的结构上，通过引入大位移单元刚度矩阵来考虑大位移问题U.L列式法将参考座标选在变形后的位置上，让节点座标跟随结构一起变化，从而使平衡方程直接建立在变形后的位置上,1.3桥梁结构中的几何非线性研究（续）,建立杆系结构几何非线性平衡方程，一般考虑三方面因素的几何非线性效应,3）由索垂度引起的单元刚度变化,引入Ernst公式，通过等效模量法近似修正垂度效应导出索元切线刚度矩阵，用索单元直接描述索类构件,目前，有限位移理论一般用有限元方法来求解七十年代未，国外相继推出了ADINA,ANSYS,MARC,NASTRAN,ASKA,NON-SAP等结构分析综合程序可用于桥梁结构的部分非线性计算和局部应力分析但无法完整地完成桥梁设计计算国内学者根据规范要求和实际情况，开发了桥梁通用程序同济大学桥梁系开发的BAP系统交通部公规院开发的QJS系统有的已具备非线性计算功能,1.3桥梁结构中的几何非线性研究（续）,2.1变形体的运动描述变形体在空间都占据一定的区域，构成一定的形状，这种几何形状简称为构形物体在问题求解开始时的构形称为初始构形，在任一瞬时的构形称为现时构形，物体位移的改变叫运动物体中一点0P，在t=0t时坐标为（0x1,0x2,0x3）,2.桥梁几何非线性分析的有限元方法,运动状态的描述方法：

独立变量为0xi（i=1,2,3）和0t即给出任意时刻物体中各质点的位置,1）物质描述,2.1变形体的运动描述,独立变量为质点的当前坐标与时刻t拉格朗日法选择t=0时的构形为参照时，称为总体拉格朗日描述（T.L列式）,2）参照描述,以nt为独立变量，取nt为非线性增量求解时增量步的开始时刻，称为更新的拉格朗日描述（U.L列式）,3）相关描述,独立变量是质点当前的位置n+1x与时间n+1t欧拉描述,4）空间描述,下面介绍T.L列式和U.L列式,在整个分析过程中，以t=0时的构形作为参考，且参考位形保持不变增量形式T.L列式的单元平衡方程：

2.2总体拉格朗日列式法（TotalLagrangianFormulation）,看看推导吧！

单元切线刚度矩阵，表示荷载增量与位移增量之间的关系；

单元弹性刚度矩阵，与单元节点位移无关；

单元初位移刚度矩阵，由大位移引起的结构刚度变化；

初应力刚度矩阵（几何刚度矩阵），表示初应力对结构刚度的影响,将各单元切线刚度方程按节点力平衡条件组集成结构增量刚度方程，即有：

2.2总体拉格朗日列式法（续）（TotalLagrangianFormulation）,式中：

0K（）T为结构切线刚度矩阵;

dP为荷载增量。

荷载增量一般取为有限值而不可能取成微分形式在计算中，一般通过迭代法来求解,以最后一个已知平衡状态为参照构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法（U.L列式）与T.L列式的一个重要区别:

tkL的积分式是tk0的一阶或二阶小量,因此，代表kL的积分式可以略去增量形式的U.L列式平衡方程可写成:

2.3更新的拉格朗日列式法（U.L列式）,相同点相同的荷载增量步内,其线性化的切线刚度矩阵相同不同点,2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围,适用范围从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性分析一般情况下，T.L列式适用于大位移、中等转角和小应变的几何非线性问题U.L列式除了适应于上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性、徐变分析，可以追踪变形过程的应力变化目前，国内使用的桥梁非线性分析程序，一般都采用U.L列式方法,2.4T.L列式与U.L列式的异同及适用范围,总体拉格朗日列式法推导过程,B矩阵可分解为与杆端位移无关的部分B0和与杆端位移有关的部分BL两部分，即：

B=B0+BL（113）,全量列式法杆系单元的平衡方程可由虚功原理得到：

增量列式法：

总体拉格朗日列式法推导过程,由前面讨论可知:

T.L列式下单元切线刚度阵可分为三个部分，即弹性刚度阵0k0、初位移刚度阵0kL和几何刚度阵0k而U.L列式下单元切线刚度阵只有tk0和tk两部分本节进一步讨论桥梁结构分析中常用单元切线刚度阵的具体表达形式,3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵,3.结构分析常用单元的切线刚度矩阵（续）,推导非线性刚度方程的一般方法,建立应变与位移的非线性关系即几何方程；

将形函数代入几何方程得到应变矩阵:

B=B0+BL；

代入各式即可求得相应刚度矩阵。

3.1平面桁架单元图11.3所示的桁架单元ij，杆长为l，截面积为A，在外荷载作用下，i、j端发生了位移,3.1平面桁架单元（续）,单元应变与节点位移的关系矩阵：

（112）,3.1平面桁架单元（续）,3.1平面桁架单元（续）,3.1平面桁架单元（续）,3.1平面桁架单元（续）,3.1平面桁架单元（续）,由此说明:

T.L和U.L列式的单元切线刚度矩阵具有等价性T.L列式下单元初位移矩阵的实质是让单元在变形后的位置上发挥其作用，以满足平衡方程必须建立在结构变形后位置上这一重要条件U.L列式则通过节点坐标的不断迁移来实现平衡方程必须建立在结构变形后位置上这一目标,3.1平面桁架单元（续）,柔索的特点：

抗弯刚度小索的自重对结构平衡影响不可忽略用拉压杆模拟柔索会引起误差有必要建立柔索单元的刚度方程,3.2平面柔索单元,为讨论方便，且不影响计算精度，作如下假定：

1）柔索仅能承受张力而不承受弯曲内力（抗弯刚度为0）2）柔索仅受索端集中力和沿索长均匀分布的荷载作用，荷载合力效应为q3）柔索材料符合虎克定律,4）局部座标系取在柔索荷载合力平面内,考察图11.5中所示柔索，无应力索长为S0，索的荷载集度q向下为正。

3.2平面柔索单元（续）,（A、B、C为杆端力的函数）在索端平衡力已知的情况下，可直接计算柔索切线刚度矩阵,3.2平面柔索单元（续）,3.2平面柔索单元（续）,3.2平面柔索单元（续）,而用直杆代替柔索计算只是常用的近似方法柔索的垂度效应可用Ernst公式对弹性模量进行修正这种方法在小位移、高应力水平下，具有较高精度如果索工作在大位移状态或应力水平不高的情况下，用Ernst公式就会出现很大的误差,3.2平面柔索单元（续）,U.L列式下的单元切线刚度矩,3.3平面梁单元,4.桥梁结构几何非线性分析特殊问题的讨论,4.1稳定函数与几何刚度矩阵,问题：

非线性分析时可能有许多刚度矩阵表达形式，如何选用？

思路：

对比稳定函数与几何刚度矩阵元素之间的区别和联系如下图所示压杆的M、Q和位移为正，其挠曲平衡微分方程为：

（1150）,4.1稳定函数与几何刚度矩阵（续）,c为力矩作用端的角变形，s为另一端的角变形，均是的函数：

4.1稳定函数与几何刚度矩阵（续）,以稳定函数表达的刚度系数包含了轴力对弯曲刚度的影响，相当于前面切线刚度阵中弹性刚度系数与几何刚度系数之和,几何刚度阵系数就是稳定函数忽略高阶项的轴力影响系数当3时，随着的增大，几何刚度矩阵的误差也增大但由于与l成正比，有限元分析中只要减小单元长度，就可避免使用几何刚度阵产生的这种误差,4.1稳定函数与几何刚度矩阵（续）,在杆