乘法公式与因式分解单元教学设计Word格式.doc

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乘法公式与因式分解是下一章《分式》运算的基础。

在解一元二次方程时，因式分解是用于降次的重要解法。

在高中学习三角函数恒等变形、解一元二次不等式、对数运算中也经常用到。

本章突出了由特殊到一般的认识过程和由一般到特殊的应用过程。

学习本章的意义并不在于让学生记忆几个公式和套用固定的模式，重要的是通过探求公式和应用公式的活动，提高学生观察问题、探索问题、分析问题和解决问题的能力。

二、学情分析

学生在学习乘法公式与因式分解时，往往分辨不清什么样的结果是整式的乘法的结果，什么样的结果是因式分解的结果。

因式分解时所用的公式是乘法公式的逆变形，所以应先熟练掌握整式乘法内容，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。

在学习因式分解之前，可先对平方差公式、完全平方公式的应用及逆用作一个专题训练，因为整式乘法中的平方差公式和完全平方公式都是刚刚学习且应用较多的公式。

作好这些准备工作之后，再开始学习因式分解，提出因式分解的定义，学生就会感到自然，顺理成章。

而且这样会使学生更确信因式分解与乘法公式是互逆的变形。

然后再讲授提公因式法、公式法（包括平方差公式、完全平方公式）等分解因式的方法，学生就更容易接受、理解了。

三、教学目标分析

1、会推导乘法公式，了解公式的几何解释，并能运用公式进行简单的计算。

2、在应用乘法公式进行计算的过程中，感受乘法公式的作用和价值。

、

3、会用提公因式、公式法进行因式分解。

4、了解因式分解的一般步骤。

5、在因式分解中，经历观察、探索和作出推断的过程，提高分析能力和解决问题的能力。

四、重点、难点和关键分析

1、教学重点

（1）乘法公式的意义、乘法公式的由来和正确运用。

（2）用提公因式法和公式法进行因式分解

2、教学难点

（1）在具体问题中，正确运用乘法公式

（2）在具体问题中，正确运用提公因式法和公式法分解因式

3、关键

使学生正确理解乘法公式和因式分解的意义，认识乘法公式的结构特征以及字母的广泛含义。

五、策略方法分析

1、组织好学生的探索活动；

在教学过程中,借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供丰富有趣的问题情境,并给他们留有充分探索与交流的时间和空间,根据需要创设具有启发性的问题情境,鼓励学生通过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系,并运用符号进行表示,然后再运用所学的知识去解决相关的问题.

例如，在学习《2.1平方差公式》时，由于这个公式比较简单，课前准备如下：

先安排学生复习整式乘法，为学习平方差公式做好衔接。

复习以下两点：

（1）整式乘法的法则有哪些？

（2）进行多项式乘多项式时，易错点有哪些？

如何克服？

举例说明。

2、突出因式分解与乘法公式的互逆关系；

能否准确地表达整式乘法与因式分解的关系，能否根据整式乘法公式的特点描述因式分解所用公式的特点等。

3、因式分解的教学应抓住关键点；

会用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标。

由于分解因式在下一章的学习中还可以继续巩固，因此教学中要依据教科书的要求，适当地分阶段进行必要的训练，使学生在具备基本运算技能的同时，能够明白每一步的算理。

4、搞好例题教学，掌握分析解决问题的方法

例题教学的目的不是为了求得解答结果，而是通过题目的解答过程为学生掌握分析问题和解决问题的方法提供原形和模式，教学中应重视题目分析过程的作用，引导学生思考题目的特点，探索解题思路；

例题解答之后，要引导学生反思思考过程，总结解题的经验教训，对一些常用的数学思想方法、解题策略要予以归纳概括，提示学生今后注意运用，让学生学会综合运用知识，增强综合运用知识的能力，拓宽知识面。

案例：

下面以《因式分解》习题课的一个片段为例加一说明：

·

复习纠错：

判断下列各题因式分解的对错，为什么？

（1）x2-2xy+y2=（x-y）2

（2）（x+3）（x-3）=x2-9

（3）a2-b2+1=（a-b）（a+b+1）

（4）（x2-y2）+（x+y）=（x-y）（x+y+1）

（5）（m-n）+（n-m）a2=（m-n）（1-a2）

（6）x+1=x（1+1/x）

这几个题目来源于学生日常作业的错误，这道题的目的旨在整理因式分解的概念和因式分解应该注意的地方，学习完一个概念后，学生对概念的理解可能存在误区，这时教师需要从正反两个方面进行强化。

整理提升

例1：

因式分解：

（1）2x3-8x 

（2）3mn-27m3n3

点拨：

先提公因式，然后用公式，最后应是连乘式。

变式练习：

（1）2（x+1）3-8（x+1） 

（2）3m（n-1）-27m3（n-1）3

例2：

（1）a2b+6ab+9b 

（2）x2y2+4xy+4 

（3）（a2+b2）2-4a2b2

练习：

（1）（x2+4）2-2（x2+4）+1 

（2）（x+y）2-4（x+y-1）

（3）4（x-y）2-4z（x-y）+z2

思想方法：

此题组体现的是整体思想。

整体思想是在因式分解时最常用的一种思想方法，通过“先看再想，先想再做”和有层次的练习，可以使学生比较明了使用这种方法的题目特征，从而达到渗透思想的目的。

六、教学资源分析

1.能用平方差公式计算的题目的特征

（1）公式特点：

公式中左边为两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项仅差一个符号，右边是一个求差算式，谁减去谁是关键．

（2）如何确定公式中的a、b：

在公式的左边，完全相同的一项是a，相差一个符号的为b，公式的右边是a2－b2．

2、关于完全平方公式的一些常用变形形式：

③（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2）；

④（a＋b）2－（a－b）2＝4ab．

掌握这些变形形式，可以使相关题目运算更简便．

【例题资源】

例1.计算：

（2x－3y）2（2x＋3y）2．

分析：

此题可先运用完全平方公式变形为（4x2－12xy＋9y）（4x2＋12xy＋9y2），后用平方差公式化简，也可先逆用积的乘方和平方差公式变形为（4x2－9y2）2，后用完全平方公式．

解法一：

原式＝（4x2－12xy＋9y2）（4x2＋12xy＋9y2）

＝[（4x2＋9y2）－12xy][（4x2＋9y2）＋12xy]

＝16x4＋72x2y2＋81y4－144x2y2

＝16x4－72x2y2＋81y4

解法二：

原式＝[（2x－3y）（2x＋3y）]2

＝[（2x）2－（3y）2]2

＝（4x2－9y2）2

评析：

比较两种解法，解法二更简洁，因为参与计算的项较少，计算量更小．

变式：

计算：

（a+b）2-（a-b）2

例2.化简下列各式：

（1）（a－b）（－b－a）；

（2）（3a＋b－2）（3a－b＋2）；

（3）（x－3）（x2＋9）（x＋3）；

（4）59.8×

60.2

（2）（3a＋b－2）（3a－b＋2）

＝[3a＋（b－2）][3a－（b－2）]

＝（3a）2－（b－2）2

＝9a2－（b2－4b＋4）

＝9a2－b2＋4b－4；

（3）（x－3）（x2＋9）（x＋3）

＝[（x＋3）（x－3）]（x2＋9）

＝（x2－9）（x2＋9）

＝x4－81；

60.2＝（60－0.2）（60＋0.2）

＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96．

①应用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的a，哪一项是公式中的b．②在两个二项式中，相同项是公式中的a，相反项的绝对值是公式中的b，乘积是a2－b2，即相同项的平方减去相反项的平方．

例3.分解因式：

（1）－a＋2a2－a3；

（3）y2－9（x＋y）2；

（4）a4－8a2b2＋16b4．

错解：

（1）原式＝－a3+2a2－a＝－a（a2+2a＋1）＝－a（a＋1）2；

（2）原式＝2（x2＋2x＋1）＝2（x＋1）2；

（3）原式＝（y－3x－3y）2＝（－2y－3x）2＝（3x+2y）2；

（4）原式＝（a2－4b2）2．

错因分析：

（1）加法交换律，将负号转化一下，结果在提负号时忘了改变一次项的符号；

（2）提公因式时，应该用“公因式去除多项式的每一项”，此题括号中的第二项漏除，第三项却又相乘；

（3）将平方差公式和完全平方公式混淆，用错了公式；

（4）分解因式不彻底：

a2－4b2还能分解．

正解：

（1）原式＝－a（1－2a＋a2）＝－a（1－a）2；

（3）原式＝（y＋3x＋3y）（y－3x－3y）＝（4y＋3x）（－3x－2y）＝－（3x＋4y）（3x＋2y）；

（4）原式＝（a2－4b2）2＝[（a＋2b）（a－2b）]2＝（a＋2b）2（a－2b）2．

用公式法分解因式时应注意：

①步骤为“先提后套”，有公因式时先提公因式，后套用公式．②提公因式时，注意系数与符号。

例4.已知（a＋b）2＝11,（a－b）2＝7,求ab的值．

由完全平方公式知：

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 

①；

（a－b）2＝a2－2ab＋b2 

②．将①－②得到一个含有（a＋b）2、（a－b）2、ab的等式．

解：

因为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 

②．

①减去 

②，得（a＋b）2－（a－b）2＝4ab，

利用a2＋b2，（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的转化关系，整体代入求值．

例5.若△ABC的边长是a、b、c且满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，试判断此三角形的形状．

由a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac可以猜想a＝b＝c一定成立，左边a2、b2、c2均为平方项，右边ab，bc、ac为三个乘积项，而没有系数2,可以在两边同乘以2,试着配出完全平方式，2ab、2bc、2ac均需要两个平方项，右边乘以2后，a2、b2、c2各两个恰好能构成三个完全平方式．

因为a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac

所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac

所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0

所以（a2＋b2－2ab）＋（b2＋c2－2bc）＋（a2＋c2－2ac）＝0

所以（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2＝0