结合电气工程的定积分理论教学Word文件下载.docx
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1007-0079(2011)18-0165-02
定积分理论是整个微积分学的核心内容.是工程类学生研究客观事物变化规律的基础工具。
定积分理论教学通常采用曲边梯形的面积的求解、变速运动物体路程的计算引出概念,通过划分、近似、求和、取极限的方法给出定义,通过上限函数论述积分与导数的关系.结合平面与空间几何、力学等示例说明定积分的应用。
这一过程已成为定积分教学过程的定式。
一■般教材中没有给出结合电气工程的示例。
电气工程是研究客观世界中电磁现象运动规律的学科。
众所周知,电荷的变化产生电流,电流的“积累”形成电荷。
磁链的变化产生电势.电势的“累加”产生磁链。
在一定条件下,电量与磁量又相互转化。
而这些电磁量相互作用、相互转化的前提是这些量的运动与变化。
因此,微积分理论成为研究电磁现象的基础工具。
电气工程类学生掌握好包括定积分在内的微积分理论是大学数学学习的核心内容。
作为电力大学的高等数学教学,应该结合电气工程的内容,通过具体应用示例,展示微积分的应用价值。
这对调动学生的学习积极性、加深对理论基础的理解、掌握数学方法的应用具有重要作用。
本文在依据传统方法给出定积分的基本概念和定义之后,结合电气工程实例,探讨定积分理论的应用。
采用MATLAB,给出这些示例的直观求解和说明。
一、定积分的基本概念山
1.问题的提出
设函数y=/U)eC[a,b],且f(x)>
0,xe[a,b],求由曲线y=f(x),直线x=a、x=b与x轴所围成的平面图形,即平面点集{(x,y)|0WyW/(x)JaWxV8}构成的曲边梯形(如图】)的面积。
划分:
在区间内插入若干个分点,a=心<
冬<
*2〈…<
x.-i<
x„=b,把区间[a,力分成"
个小区间[x-i.xj,长度为M=X-X-io
近似:
在每个小区间上任取一点以眈“对为底,/(£
)为高的小矩形面积为熟=/(f,)AX.
求和:
曲边梯形面积的近似值为AR方05
逼近:
当划分无限加细,即小区间的长度的最大值
X=max{皿皿,…mJ,令4—0得曲边梯形面积为人=
2. 定积分的定义
设函数六对在[。
如上有界,在中任意插入(〃-1)个分点
a=Xo<
X]<
Vx,=b
把区间S,如分成〃个小区间,各小区间的长度依次为AX.=Xi-Xi-yM=1,2,…),在各小区间上任取一点后(£
6[x_!
x])>
作乘积=1,2,.・・)并作和S= 记久=max{ATi,
虹1
仪,…,a,},如果不论对[a,b]怎样的分法,也不论在小区间[X...X]上点&
怎样的取法,只要当4-0时,和S总趋于确定的极限/,我们称这个极限/为函数/(x)在区间[彩]上的定积分,记为
Cf(x)dx=I=limX/(5)皿
(1)
4 <
=1
3. 无穷限的反常积分
设函数/(对在[a,+8)的任何有限子区间上可积,则"
>
a,定积分口Sdx存在。
现把上限3看作变量,考虑积分上限的函数F(b)=fjMdx,则当b-+8时,F(b)可能有极限,也可能没有极限。
为了将这种情况以一般的数学形式表达出来,可借用定积分的记号,引入如下的形式记号:
睥町并把它称为/(x)在无穷区间S,+8)上的反常积分(improperintegral)o
设函数/(x)在(a,+00)的任何有限子区间上可积,如果极限对gdx存在,则称反常积分fjMdx收敛,并把此极限称为反常积分f?
Mdx的值,即有J^fMdx=nrnjT7(x)dxc如果上式表示的极限不存在,则称反常积分f?
Wdx发散。
类似可定义其他形式的反常积分。
二、结合电气学习定积分
电容器作为电气工程应用中的基本元件,具有存储电荷的功能。
对于具有定常电容值C的电容器,其两端所加电压与电容器所存储的电荷的关系为:
mq=Cvo当电容器存储的电荷发生变化时就意味着有电流流动。
从而i=岑。
由此可得电容器中电压与电流at
的基本关系式:
i=C半。
因此,电容器两端的电荷(电压)与电流at
的关系为微积分关系。
已知电荷(电压)变化规律时,通过微分运算,便可得到电流,反之,已知电流时,通过积分运算,可得到电荷(电压"
给定时间内电荷(电压)的变化,可通过这段时间内对流过电容器的电流的定积分来求解。
对于定常电流,积分对应矩形面积,很容易计算,而对任意变化的电流,必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
一电容值为IOuF的电容器,初值为零,流过典型的整流后的电流(图2)时,求取其上电压的变化规律。
整流后的电流在半周期上的表达式为正弦函数:
»
(0=Asin314r,其中A为电流幅值,这里设为100mA。
上述电容的基本电气量关系表明,电容器中累计的电荷量就是对电流积分,对应的就是电流曲线和横坐标在给定时间段的面积。
当起始时间为零,上限时间为变量t时,电荷为一上限函数。
得到电荷量后,电压只需除以常数C。
对于半周期之内,电压可通过下式得到:
v(t)=*/Asincordr=31.85(1—cos314z)(V)
(2)
对于半周期苴后的情景,蚓借助MATLAB进行数值计算。
图2流过电容器的电流曲线
电感是电气工程应用中的另一个基本元件,具有存储磁场能的作用。
对于具有定常电感值L的器件,其线圈所通过的电流与该电流所建立的磁链的关系为:
<P=Lio当电感中存储的磁链发生变化时就意味着有感应电动势产生。
从而v=摩。
由此可得电感元件中电压与电流的基本关系式:
v=£
<。
因此,电感元件两端的磁at
链(电流)与电压的关系为微积分关系。
已知磁链(电流)变化规律时,通过微分运算,便可得到电压量,反之,已知电压量时.通过积分运算,可得到磁链(电流)。
给定时间内磁链(电流)的变化,可通过这段时间内对加在线圈上的电压的定积分来求解。
对于定常电压,积分对应矩形面积,很容易计算。
而对任意变化的电压,必须借助定积分理论的有关思路和方法进行求解。
超导线圈可被用做储能设备(SMES),在电气工程中具有广阔应用前景。
SMES中所存储的能量与电流的关系式为:
)因此,可通过调节SMES线圈中电流的大小,调节其储能的多少。
而电流的变化规律可通过对电压的定积分运算获得。
一电感值为1H的SMES线圈,初值为零,若加在其上的电压为典型的全波整流后的电压(图3)时,求取SMES^线圈中储能的变化规律。
整流后的电压在半周期上的表达式为正弦函数:
v(r)=Vsin314r,其中V为电压幅值,这里设为100V,
上述电感元件的基本电气量关系表明,电感中累计的磁链量就
图3加在电感线圈上的电压曲线
是对电压的积分,对应的就是电压曲线和横坐标在给定时间段的面积。
当起始时间为零,上限时间为变量t时,磁链为一上限函数,得到磁链量后,除以常数L便得到电流量,然后根据SMES储能关系式、uf得到储能的变化规律。
对于半周期之内,储能可通过下式得到:
£
(/)=yZ,i2=2^/Vsincordr=0.05(1—cos314/)2(J)⑶对于半周期以后的情景,可借助MATLAB进行数值计算图4所示电路包括一个储能元件,称为一阶电路。
m开关k合上后,电容器开始充电。
充电电流的变化规律符合一阶电路中电流的变化规律,如F式所示:
i(t)= >
0 (4)
即,i(t)依据指数规律衰减,+8时,电流衰减到零“因此,电容器中存储的电荷为电流的反常积分。
定义为:
=f=CE(\-e (5)
显然,该反常积分血敛,~+8,q=CE。
事实上,该一阶电路充电的最终结果必然是电容电压与电源电压相等。
通过电容器的电压电荷关系同样町以得到上述结论。
学生通过该示例,可对反常积分的实际应用有更具体的认识。
图4包含电容器件的一阶电路示例
三、电气工程应用示例在MATLAB中的实现
MATLAB是一种集数学计算、分析、可视化、算法开发与发布等于一体的软件平台,网通过MATLAB及相关工具箱,可以在统一的平台下完成相应的科学计算工作。
01984年mathwcrks公司推出以来,MATLAB已广泛应用于电气、自动化、汽车、电子、仪器仪表和通汛等领域与行业。
本文结合定积分在电气T.程中的实际应用,在simulink环境下建立相关模型,通过MATLAB仿真计算定积分。
图5为例1在MATLAB中建立的基于数学描述的模型,模型利用SineWave及Abs模块产生典型的整流后的电流,由Integrator模块对整流后的电流积分,通过增益Gain最终形成电容器两端的电压波形。
利用示波器Sspel观察波形。
SineWaveAbsIntegratorGain
图5例1在MATLAB中的仿真模型
设仿真时间为0.03秒,运行仿真模型.即图5所示的电路,通过积分模块计算后得到电容器两端的电压波形如图6所示。
通过对比可以发现,图6的波形与式
(2)的描述完全一致由于论文篇幅所限,学生自己也可自行将上一节中的其余两个示例在MATLAB中实现。
四、结论
本文针对电气「.程类学生学习定积分理论及其应用的实际需求,结合电气T.程的具体应用示例,展示了定积分的概念及其应用(下转第172页)
2
图2三相电压型桥式逆变电路仿真电路
(4) 在Measurements模块库中选择电流测景:
模块(CurrentMeasurement)和万用表模块(Multimeter),万用表模块中选择测量值分别为三相交流输出A相的相电压,A、B相间的线电压和A相的相电流3个测量参数。
(5) 在Simulink模型库中的信号与系统模块库中选择信号合成与信号分解模块,选择输入数量为6、输出数量为3;
在仪器仪表模块库中选择示波器,在常用标签页选择坐标系数为4、仿真时间为0.0001s,在数据历史标签页中,勾选保存数据到工作区;
在信号源模块库中选择6个脉冲发生器,设置参数分别为:
幅值IV、周期0.02s,脉冲宽度50%,相位依次延迟0.02/6so
(6) 设置仿真时长为0.08s,采用变步长算法“de23tb(stiff/TR-BDF2)求解,其他参数采用默认值。
三、仿真结果分析
仿真结果如图3所示,4个波形自上而下分别为三相交流输出A、B相间的线电压、A相的相电压、A相的相电流和输入直流侧的电流。
从波形可以看出,输出三相交流相电压和线电压均为阶梯波,周期为0.02s,相电流波形也不是正弦波,其形状和相位与负载有关,直流输入电流在0.02s内脉动6次。
可见仿真结果与课本结论一致。
Simulink提供的Powergui具有很强大的功能,利用Powergui可以
图3三相电压型桥式逆变电路仿真波形
(上接第166页)
图6电容器两端的电压