高中数学教学设计大赛教学案例设计汇编Word格式.doc

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2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。

4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

五、教学重点与难点

教学重点：

正弦定理的发现与证明；

正弦定理的简单应用。

教学难点：

正弦定理的猜想提出过程。

教学准备：

制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。

六、教学过程：

（一）结合实例，激发动机

师生活动：

教师：

展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？

学生：

思考提出测量角A，C

教师：

若已知测得，，要计算A、B两地距离，你（图1）

有办法解决吗？

学生：

思考交流，画一个三角形，使得为6cm，，

，量得距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为

490m。

老师：

对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？

师生：

共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。

②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。

。

引导，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？

思考，交流，得出过作于如图2，把分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。

解：

过作于

（图2）

在中，

，

表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若，，能否用、、表示呢？

引导学生再观察刚才解题过程。

发现，

引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？

你能发现什么？

发现即然有，那么也有，。

引导 ，，，我们习惯写成对称形式，，，因此我们可以发现，是否任意三角形都有这种边角关系呢？

设计意图：

兴趣是最好的老师。

如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。

因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。

（二）数学实验，验证猜想

给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验是否成立，举出特例。

（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：

b：

c为1：

1：

1，对应角的正弦值分别为，，，引导学生考察，，的关系。

（学生回答它们相等）

（2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：

，对应角的正弦值分别为，，1；

（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为，，，对应的边长a：

：

2，对应角的正弦值分别为，，1。

（学生回答它们相等）（图3）

（图3）

对于呢？

B

a

A

C

c

b

（图4）

思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

则有，，又,

则

从而在直角三角形ABC中，

那么任意三角形是否有呢？

学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：

有什么不明白的地方或者有什么问题吗？

（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。

）

分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算，比较、、的近似值。

借助多媒体演示随着三角形任意变换，、、值仍然保持相等。

我们猜想：

==

让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。

学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。

（三）证明猜想，得出定理

师生活动：

我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？

前面探索过程对我们有没有启发？

学生分组讨论，每组派一个代表总结。

（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）

思考得出

①在中，成立，如前面检验。

②在锐角三角形中，如图5设，，

作：

，垂足为

（图5）

同理，在中，

③在钝角三角形中，如图6设为钝角，，，

作交的延长线于

（图6）

在中，

同锐角三角形证明可知

我们把这条性质称为正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

还有其它证明方法吗？

思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：

而由图中可以看出：

，，

=

等式中均除以后可得，

即。

教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

（图7）

D

E

F

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高，三角形的面积：

，能否得到新面积公式

得到三角形面积公式

大家还有其他的证明方法吗？

比如：

、、都等于同一个比值，那么它们也相等，这个到底有没有什么特殊几何意义呢？

（图8）

在前面的检验中，中，，恰为外接接圆的直径，即，所以作的外接圆，为圆心，连接并延长交圆于，把一般三角形转化为直角三角形。

证明：

连续并延长交圆于

，

即

同理可证：

从刚才的证明过程中,，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？

比如，在向量中，我也学过，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？

思考（联系作高的思想）得出：

在锐角三角形中，，作单位向量垂直于，

（图9）

即

同理：

对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。

由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。

经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。

（四）利用定理，解决引例

现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

马上得出

（五）了解解三角形概念

让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性

一般地，把三角形的三个角、、和它们的对边、、叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。

（六）运用定理，解决例题

引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

讨论正弦定理可以解决的问题类型：

①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；

②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如。

师生：

例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。

例1：

在中，已知，，，解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

例2：

例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流

反馈练习（教科书第5页的练习）

用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。

（七）尝试小结：

提示引导学生总结本节课的主要内容。

思考交流，归纳总结。

让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

（1）正弦定理的内容（）及其证明思想方法。

（2）正弦定理的应用范围：

①已知三角形中两角及一边，求其他元素；

②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。

（3）分类讨论的数学思想。

通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

（八）作业设计

作业：

第10页[习题1.1]A组第1、2题。

思考题：

例2：

例2中分别改为，并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。

课外链接：

课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用（相关网址：

七、设计思路：

本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下