最新浙教版学年数学九年级上册《圆的基本性质》教学设计优质课教案.docx

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最新浙教版学年数学九年级上册《圆的基本性质》教学设计优质课教案

3.1圆

教学目标

1．理解圆、弧、弦等有关概念．

2．学会圆、弧、弦等的表示方法．

3．掌握点和圆的位置关系及其判定方法．

4.进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．

5.用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活.

教学重点

弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系．

教学难点

点和圆的位置关系及判定．

教学方法操作、讨论、归纳、巩固

教学过程

1．展示幻灯片，教师指出，日常生活和生产中的许多问题都与圆有关．

如

（1）一个破残的轮片（课本P62图），怎样测出它的直径?

如何补全？

（2）圆弧形拱桥（课本P63图），设计时桥拱圈（）的半径该怎样计算?

（3）如何躲避圆弧形暗礁区（课本P60、P74图），不使船触礁？

（4）自行车轮胎为什么做成圆的而不做成方的？

2．上述这些问题都与圆的问题有关，在小学我们已经认识过圆，回会用圆规画圆，问：

圆上的点有什么特性吗？

圆、圆心、圆的半径、圆的直径各是怎样定义的？

这节课我们用另一种方法来定义圆的有关概念。

（板书）3．1圆

3．师生一起用圆规画圆：

取一根绳子，把一端固定在

画板上，另一端缚在粉笔上，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，即得一个圆（课本图3—1、3－2）．

归纳：

在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆．定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．如图所示．

4圆的有关概念（如图3－3）

（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC．经过圆心的弦是直径，图中的AB。

直径等于半径的2倍．

（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B、C为端点的劣弧记做“”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的．

（3）半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆．例如，图中的⊙O1和⊙O2是等圆．

圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。

（学生画同心圆）

（4）完成P58做一做

由上述问题提出：

确定一个圆的两个必备条件是什么？

说明：

圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上．即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

注意：

说明一个圆时必须说清以谁为定点，以谁为定长。

5．结论：

一般地，如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：

drP在圆外．

教学反思

学生能较好的理解本节教学内容,但对于如何应用学生还是掌握的不怎样的好.

3.2图形的旋转

1．使学生理解圆的轴对称性．

2．掌握垂径定理．

3．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．

教学重点

垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：

垂径定理及其应用．

教学难点

垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．

教学关键

理解圆的轴对称性．

教学环节的设计

这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：

复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功；

目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．

教学方法：

类比启发

教学辅助：

多媒体

教学过程：

一、复习提问，创设情境

1．教师演示：

将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；

２．提出问题：

如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？

（教师用教具演示，学生自己操作）

二、引入新课，揭示课题

1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：

圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．

强调：

（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；

（2）圆的对称轴有无数条．

判断：

任意一条直径都是圆的对称轴（）

设计意图：

让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．

三、讲解新课，探求新知

先按课本进行合作学习

1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；

2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E．

提出问题：

把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？

在学生探索的基础上，得出结论：

（先介绍弧相等的概念）

①EA=EB；②AC=BC，AD=BD．

理由如下：

∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，

∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．

然后把此结论归纳成命题的形式：

垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

垂径定理的几何语言

∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）

∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．

⌒

四、应用新知，体验成功

例1已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．（先介绍弧中点概念）

作法：

⒈连结AB.

⒉作AB的垂直平分线CD，　交弧AB于点E.

⌒

点E就是所求弧AB的中点．

变式一：

求弧AB的四等分点．

思路：

先将弧AB平分，再用同样方法将弧AE、弧BE平分．

（图略）

有一位同学这样画，错在哪里？

1．作AB的垂直平分线CD

2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH（图略）

⌒

教师强调：

等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．

变式二：

你能确定弧AB的圆心吗？

方法：

只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．

例2一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC．

思路：

先作出圆心O到水面的距离OC，即画OC⊥AB，∴AC=BC=8，

在Rt△OCB中，

∴圆心O到水面的距离OC为6．

补充例题已知：

如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：

AC=BD．

思路：

作OM⊥AB，垂足为M，∴CM=DM

∵OA=OB，∴AM=BM，∴AC=BD．

概念：

圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．

小结：

1．画弦心距是圆中常见的辅助线；

2．半径（r）、半弦、弦心距（d）组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：

弦长．

3.3垂径定理

由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.

这个命题是否为真命题，需要证明，结合图形请同学叙述已知、求证，教师在黑板上写出.

已知：

如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB（不是直径）相交于E，且E是AB的中点.

求证：

CD⊥AB，.

分析：

要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.

证明：

连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.

因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，

又因为CD是直径，所以

2.

（1）引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：

（2）若选①④为题设，可得：

以上两个命题用投影打出，引导学生自己证出

最后，教师指出：

如果垂径定理作为原命题，任意交换其中的一个题设和一个结论，即

可得到一个原命题的逆命题，按照这样的方法，可以得到原命题的九个逆命题，然后用投影

打出其它六个命题：

3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三

个命题，教师板书出垂径定理的推论1.

推论1 

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.

4.垂径定理的推论2.

在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：

（图7-37）

学生答

接着引导学生证明上述猜想成立.（重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.）

证明：

因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，

最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.

三、应用举例，变式练习

练习按图3-15，填空：

在⊙O中

（1）若MN⊥AB，MN为直径；则      ，     ，    ；

（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则     ，     ，    ；

（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则      ，    ，    ；

此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.

例3 我国隋代建造的赵州石拱桥（图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弧的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径.（精确到0.1米）   

首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，（有条件可放录像）同

时也可激发学生学习数学的兴趣.

六、总结回顾，反思内化

师生共同总结：

１．本节课主要内容：

（1）圆的轴对称性；

（2）垂径定理．

2．垂径定理的应用：

（1）作图；

（2）计算和证明．

3．解题的主要方法：

（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；

（2）半径（r）、半弦、弦心距（d）组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：

弦长．

教学反思：

本节课学生对垂径定理都很好的掌握，亮点在于练习设计有梯度，本节例题学生掌握很好。

3.4圆心角

教学目标:

1.经历探索圆心角定理的过程;

2.掌握圆心角定理

教学重点：

圆心角定理

教学难点:

圆心角定理的形成过程

教学方法：

讲练法

教学辅助：

多媒体

教学过程：

一.创设情景:

1、顶点在圆心的角,叫圆心角

2、圆的旋转不变性：

圆绕圆心旋转任意角α，都能够与原来的圆重合。

3、圆心到弦的距离，叫弦心距

4、P69合作学习

结论：

圆心角定理:

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

另外，对于等圆的情况，因为两个等圆可叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，命题成立。

5、n度的弧的定义

6、探究活动P70

二、新课讲解

1、例1教学P69

结合图形说出因为。

。

。

所以。

。

2、运用上面的结论来解决下面的问题:

已知：

如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：

如果∠AOB=∠COD，那么

_________,________,_________。

二.巩固新知:

P70课内练习1,2，3

P71T1--3

四.小结:

通过这节课的学习，你学到了什么知识？

1.圆心角定理

2.运用关于圆心角,弧,弦,弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题

五.布置作业:

见作业本

教学反思：

本节课由于多媒体的演示，学生对对定理的理解很好。

课堂气氛活

3.5圆周角

教学目标:

1.理解