高阶奇点文档格式.doc

高阶奇点文档格式.doc

《高阶奇点文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高阶奇点文档格式.doc（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

Highordersingularpoint;

Topologicalstructurestability

设有平面非线性系统

其中P、QC（D）；

O（0,0）为孤立奇点，分离出线性项后，上式可改写成

（1）

其中X、Y=o（r））,X、Y连续可微，r=

定义1，若行列式0，则称O为系统

（1）的初等奇点，否则称为高阶奇点。

即矩阵的行列式q=0时,O（0,0）为该系统的高阶奇点。

当q=0即线性方程组的特征根一个是零或两个都是零，但线性项系数不全为零时，附加非线性项后奇点的性质可分为两种情形来进行讨论：

a）对应线性系统有且仅有一个零特征根，即q=,p=情形；

b）有两个零特征根，即q=p=0,情形。

（一）q=0，p0.

这时相应的线性方程的特征根一个为零，另一个不为零，不失一般性，总可经非奇异线性变

化及时间t的线性置换，将这样的系统化为

（2）

这里假设，在原点O的领域S（0，）内是解析函数，展开式的最低次数不低于2，并且假设奇点是孤立的。

令y+（x,y）=0.由隐函数定理知，可解出解析的y=y（x）,<

满足y（0）=y'

（0）=0,即y（x）的展开式至少从2次开始。

（x,y（x））有展开式

（x,y（x））=+O（）,,m.

（i）若m是奇数，则当>

0时，O（0,0）是不稳定结点，如图

（1）；

当<

0时，O（0,0）是鞍点，如图

（2）且它的四条分界线分别沿方向0、、和进入O（0，0）.

（ii）当m是偶数时，O（0,0）是鞍结点，即由分别沿着y正半轴和负半轴进入O（0,0）的两条分界线分成两部分，一部分是抛物扇形，一部分是两个双曲扇形，另外当>

0（<

0）时，抛物扇形落在右（左）半平面，如图（3）（（4））所示。

这种情况下奇点O附近轨线的拓扑结构将由m的奇偶性和的正负号而定。

（二）q=p=0，

这时相应的线性方程组的两个特征根都是零，但非线性项系数不全为零，研究这类奇点的手法是，作Briot-Bouquet变换y=x,将平面上的复杂奇点O打散成平面上的一个或多个初等奇点，这种想法起源于H.Poincare提出的复杂奇点是由几个初等奇点捏合成的。

不失一般性，这时一定存在非奇异线性变换及时间t的线性置换，可将系统化为：

（3）

这里假设、在O点的邻域内是解析的，展开式的最低次项的次数不低于2，并设O点是它的孤立奇点

首先由

解出隐函数

，

代入及中，

设分别得展开式：

（3）

（若则意味着第二式右边恒等于零）。

令

（i）若展开式（3）中的k=2m+1（m1）为奇数，则奇点O的性态由下表确定。

的各种可能的关系

奇点的性态

鞍点

中心或焦点

n>

m或m=n且

n为偶数n<

m或n=m且

结点

n为奇数n<

是由一个双曲扇形和一个椭圆扇形组成（如下图（5））

（ii）若展开式（3）中的k=2m（）为偶数时，则奇点O的性态由下表确定。

奇点O的性态

退化奇点（如图6）

鞍结点（如图7）

由（i）（ii）可知，线性方程加上非线性项后的奇点O的性质完全由k和n的奇偶性以及和的正负号确定。

下面我们可以通过两个例子简单来看看以上讨论的高阶奇点的拓扑结构。

例1.考虑方程组其中，求奇点O（0,0）邻域的拓扑结构。

解：

a=b=c=0,d=,故q=0，p=，

令，上方程组化为

由

解得隐函数

并有，根据第一种情形，则O（0,0）是鞍结点，可画出奇点O的

拓扑结构大体草图（8）如下：

例2.考虑方程组，求奇点O的邻域的拓扑结构

解：

a=c=d=0,b=1,故q=0,p=0

由，

并有，

这对应上述讨论的第二种情形，可得O的邻域由一个椭圆扇形与一个双曲扇形组成，前者落在后者上方，y=0,x>

0和y=0,x<

0是其轨线，其草图大致如下图（9）

故根据上述讨论可知高阶奇点在线性系统加上非线性项时也有类似于初等奇点的分类，只是较初等奇点复杂点，没有初等奇点那样直观。

但高阶奇点可以打散成多个初等奇点，只是初等奇点捏合而成而已，至于具体的分类要具体去研究非线性方程组的特征。

在平面非线性系统中的高阶奇点O的附近，假设P（x,y）=0,Q（x,y）=0是不可约的，且O是它的孤立奇点，则上系统的奇点指数仅有或或

在O点处为二重接触（所谓接触也就是指相切的意思）或为二重非相切的交点，则O称为A类高阶奇点；

若在O处为三重接触或三重相交（非三重相切）则O称为B类高阶奇点；

若在O处为四重接触或相交则O称为C类高阶奇点。

A类奇点就是奇点指数J（0）=0；

B类奇点的奇点指数J（0）=......像上面讨论的具有两个零特征根为零的高阶奇点，流入到原点的积分线它只可能是y=0。

而方程在O点仅有一个特征根为零，这时O称为Bendixson型的高阶奇点且J（0）=0或。

由于拓扑结构稳定较结构稳定性要弱，所以若高阶奇点O在某邻域内的拓扑结构具有稳定性那么一定是结构稳定的。

但高阶奇点并不像初等奇点那样能很好地在一个p-q的平面内表示出来，所以只能大概得出每类奇点的大致拓扑结构草图，然后再分析在何种情况下具有拓扑结构稳定性。

高阶奇点的拓扑结构又可能有5种不同类型的曲边扇形：

椭圆、双曲、双曲椭圆、抛物、抛物椭圆。

由于不同扇形是相间排列的，所以图形的拓扑结构所用的曲边扇形也是有限的。

故可以画出其草图来分析拓扑结构图，再分析的拓扑结构稳定性与结构稳定。

参考文献：

[1]张芷芬，丁同仁，黄文灶，董镇喜，微分方程定性理论，科学出版社，1985

[2]蔡燧林，钱祥征，常微分方程定性理论引论，高等教育出版社，1990

[3]尤秉礼，常微分方程补充教程，高等教育出版社，1981

[4]罗定军，滕邦利，微分动力系统导引，高等教育出版社，1990

[5]盛昭瀚，马海军，非线性动力系统分析引论，科学出版社，2001

[6]马知恩，周义仓，常微分方程定性与稳定性方法，科学出版社，2001