江苏省扬州市学年度高一第一学期期末调研测试数学试题.docx

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江苏省扬州市学年度高一第一学期期末调研测试数学试题

江苏省扬州市2017~2018学年度高一第一学期期末调研测试数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、填空题

1．设集合，则_______．

2．______．

3．已知幂函数的图像过点则_______．

4．函数的奇偶性为_______函数．（在“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选择）

5．已知扇形的面积为4cm，该扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为______cm．

6．=_______．

7．已知单位向量，的夹角为60°，则_______．

8．已知，则_______.

9．如图,在中，若则=_______．

10．不等式的解集是_______．

11．已知的面积为16，，则的取值范围是______．

12．已知函数与的零点完全相同，则=___.

13．设函数是定义域为的奇函数．若，且在上的最小值为，则的值为______．

14．设为实数，函数若在上不是单调函数，则实数的取值范围为_____．

二、解答题

15．已知函数的定义域为A，集合，非空集合，全集为实数集R．

（1）求集合和;

（2）若A∪C=A，求实数取值的集合．

16．已知向量

（1）若，求证：

;

（2）若向量共线，求.

17．函数（其中），若函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，且函数的图象过点．

（1）求的解析式；

（2）求的单调增区间：

（3）求在的值域．

18．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元，根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：

甲城市收益与投入（单位：

万元）满足，乙城市收益与投入（单位：

万元）满足，设甲城市的投入为（单位：

万元），两个城市的总收益为（单位：

万元）.

（1）当投资甲城市128万元时，求此时公司总收益；

⑵试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？

19．已知关于的函数为上的偶函数，且在区间上的最大值为10.设．

⑴求函数的解析式；

⑵若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

⑶是否存在实数，使得关于的方程有四个不相等的实数根？

如果存在，求出实数的范围，如果不存在，说明理由.

20．已知函数.

（1）求不等式的解集;

（2）函数若存在使得成立,求实数的取值范围;

（3）若函数讨论函数的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）.

参考答案

1．

【解析】

根据并集的概念知.

2．

【解析】

.

3．2

【分析】

设幂函数,将点代入函数的解析式,即可求得的解析式,进而求得.

【详解】

设

幂函数的图像过点

可得:

故答案为:

.

【点睛】

本题考查幂函数的基本性质,求出幂函数的解析式是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.

4．偶

【解析】

函数定义域为，且，故函数为偶函数.

5．10

【解析】

，故周长为.

6．

【解析】

原式

7．

【解析】

原式.

8．

【解析】

原式.

9．

【解析】

依题意有，而，故，所以填

10．

【解析】

画出，的图象如下图所示，由图可知，解集为.

11．

【解析】

由于为定值，故点到的距离为定值，由面积得.点在平行于的直线上运动.当位于的垂直平分线上时，由于，此时三角形为等腰直角三角形，且.点在其它位置时.故.

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查向量的数量积运算.由于在三角形中，一边为定值，而三角形的面积也为定值，故三角形的高也是定值，利用面积公式将定值求出为，由此画出图象，利用图象分析出，代入向量数量积运算可得取值范围.

12．

【解析】

由于零点完全相同，故周期也相同，所以，即，由于，故，故，.

【点睛】本题主要考查和函数的图象与性质.题目所给两个函数中，含有一个未知参数，也含有一个未知参数，但是这两个未知参数的位置是不同的，根据零点相同可判断出两个函数周期相同，由此求得其中一个参数，再利用特殊值求出另一个参数.

13．2

【解析】

由于奇函数定义域为，故，故.，解得，故，令，，故，二次函数，开口向上，当时取得最小值，解得.由于，故，所以.

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查待定系数法求函数的解析式，考查利用换元法求函数的值域，考查二次函数的最值问题.由于是定义在上的奇函数，故有，如果奇函数在处没有定义，则没有这个条件.换元时要注意取值范围.

14．

【解析】

，两段函数对称轴都为，当，即时，函数在定义域上递减，不符合题意.当，即时，函数在上不单调.

【点睛】本题主要考查含有绝对值函数分类讨论单调性，考查二次函数对称轴与单调区间的关系.由于所给函数既含有绝对值，又含有参数，故利用参数进行分类讨论，去绝对值，将函数写成分段函数的形式.两段函数联系点在对称轴都相同.

15．

（1），；

（2）.

【详解】

（1）∵函数的定义域为A，

，又由得，

（2），则即

又要使集合为非空集合，

则必须即

所以实数m的取值集合为

16．

（1）证明见解析；

（2）.

【解析】

【试题分析】

（1）计算即可证得两向量垂直.

（2）根据两个向量共线的公式，得到，化简求得，利用向量模的计算公式，计算出.

【试题解析】

（1）当时，

又

（2）因为向量共线，即

当，则与矛盾，故舍去；

当时，由得：

又

另解：

由得所以

17．

（1）；

（2）；（3）

【分析】

（1）依据题意可得函数周期为，利用周期公式算出，又函数过定点，即可求出，进而得出解析式；

（2）利用正弦函数的单调性代换即可求出函数的单调区间；（3）利用换元法，设，结合在上的图象即可求出函数在的值域

【详解】

（1）因为函数的图象与轴的任意两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期为，由，得，又函数的图象过点，

所以，即，而，所以，

故的解析式为．

（2）由的单调增区间是可得

，解得

故故函数的单调递增区间是．

（3）设，，则，由在上的图象知，当时，当趋于时，函数值趋于1，

故在的值域为．

【点睛】

本题主要考查正弦型函数解析式的求法，正弦函数性质的应用，以及利用换元法结合图象解决给定范围下的三角函数的范围问题，意在考查学生数学建模以及数学运算能力．

18．

（1）88万元；

（2）当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大.

【解析】

【试题分析】

（1）当甲万时，乙万，代入收益表达式可求得投资收益.

（2）设投资甲万，则投资乙万.对分成，两种情况，求出总收益的表达式，利用一次函数和二次函数最值求法求得最大值.

【试题解析】

（1）当时，此时甲城市投资128万元，乙城市投资112万元

所以总收益（万元）

答:

总收益为88万元.

（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元

依题意得，解得

当时，

<

当时，

令，则

所以

当，即万元时，的最大值为

因为

故的最大值为（万元）

答:

当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元

19．

（1）；

（2）；（3）答案见解析.

【解析】

【试题分析】

（1）利用，化简后可求得.此时函数对称轴为轴，故当时取得最大值，由此求得.进而求得.

（2）将原不等式分离参数得到在上恒成立，利用换元法结合二次函数最值可求得.（3）先将原方程化为.利用换元法令，将上式变为二次函数零点问题来求解.

【试题解析】

（1）∵为上的偶函数，，

，关于恒成立，

，在区间上的最大值为10，

当时，解得：

，

（2）不等式在上恒成立，即在上恒成立，

上式可化为在上恒成立，

令，∵，∴，则在上恒成立，

又∵当时，，∴，即所求实数的取值范围为

（3）方程，即，

可化为：

，

令，则，

若关于的方程有四个不相等的实数根，

则关于的方程必须有两个不相等的实数根和，

并且，记，

则，

解得：

，所以，存在实数使得关于的方程

有四个不相等的实数根，取值范围为

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，考查待定系数法求函数的解析式，考查恒成问题的处理策略和零点问题的处理方法.若函数满足则函数为偶函数，题目给出这个条件，利用这个条件就可以求得一个未知参数，再结合最大值就可以求得另一个未知参数.

20．

（1）；

（2）；（3）答案见解析.

【解析】

【试题分析】

（1）先判断出函数的是定义在区间上的减函数，然后将所求不等式等价转化为即，由此求得解集为.

（2）由题意知:

时,值域有交集.时,是减函数对分成两类讨论得出的值域，由此求得的取值范围.（3）由，得，令则作出图像，对分类，结合图象讨论零点的个数.

【试题解析】

（1），定义域为

函数是奇函数.

又在时是减函数,（也可用定义法证明）

故不等式等价于

即,

又

故不等式的解集为.

（2）由题意知:

时,值域有交集.

时,是减函数

当时,时单调递减,

当时,时单调递增,显然不符合

综上:

的取值范围为

（3）由，得，令则

作出图像

由图可知，①当时，由得出，

当时,,对应有3个零点；

当时,,对应有1个零点；

②当时，只有一个，对应有1个零点；

③当时，只有一个，对应只有一个零点；

④当时，，此时，，

由

得在时，，三个分别对应一个零点，共3个，

在时，，三个分别对应1个，1个，3个零点，共5个.

综上所述，当或或时，函数只有1个零点；

当或时，函数有3个零点；

当时，函数有5个零点.

【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查存在性问题的处理策略，考查复杂的零点问题，考查数形结合与分类讨论的数学思想.要求复合函数不等式的解集，可先求得函数的单调性和奇偶性，由此将原不等式变形，利用单调性去掉外层函数符号，进而求出不等式的解集.