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克里金插值法
1.引言
数字高程模型（DEM）是描述地球表面形态多种信息空间分布的有序数值阵列，它是一种特殊的数字地形模型。
随着地理信息系统（GIS）的发展，DEM成为空间信息系统的一个重要组成部分，在测绘、水文、气象、地貌、地质、土壤、工程建设、通讯、军事等国民经济和国防建设以及人文和自然科学领域有着广泛的应用。
在测绘中可用于绘制等高线、坡度、坡向图、立体透视图、立体景观图，制作正射影像图、立体匹配片、立体地形模型及地图的修测；
在各种工程中可用于体积、面积的计算、各种剖面图的绘制及线路的设计；
军事上可用于导航、精确打击、作战任务的计划等；
在遥感中可作为辅助数据用于分类；
在环境与规划中可用于土地现状的分析、各种规划及洪水险情预报等[1]。
插值是构建DEM的核心问题及关键步骤。
DEM插值是根据若干已知点的高程值计算出未知点的高程值。
任意一种插值方法都是基于原始地形起伏变化的连续光滑性，或者是邻近点之间的相关性内插出待定点的高程。
现阶段已经有很多成熟的内插方法。
不同的插值方法对于DEM的精度和质量有一定的影响。
因而对插值方法进行归纳总结，分析不同方法适用场景及插值方法的优缺点，是一件
十分有必要的事。
2.DEM插值方法
2.1插值方法分类
李志林和朱庆[1]根据已知点的搜索范围将插值算法分为全局插值、局部插值和分块插值；
汤国安等[2]从数据分布、插值范围、插值曲面与参考点关系、插值函数性质等五个方面对DEM插值算法进行了全面而详细的分类（见表1）。
2.2DEM插值原理
DEM插值可以根据已知采样点估计未知插值点的主要原因在于研究对象地形的特殊性：
地形具有空间异质性和空间相关性等特征，这些特征使得利用一些空间位置合理的采样点获得对地形表面相对精确的描述成为可能[3]。
地形是地貌和地物的总称。
地球上有各种形态的地貌。
空间异质性主要表现在地貌方面。
空间异质性决定了空间插值范围的有限性，即空间插值在局部范围才有意义。
空间相关性可以通过地理学第一定律来描述，即地理相似定律，空间中相近的事物具有更高的相似性。
空间异质性从空间范围的角度，空间相关性从属性相关的角度为DEM插值提供了理论基础。
2.3现阶段常用的插值方法及适用场景
现阶段常用的插值方法有：
反距离权重插值法、径向基函数插值法、克里金插值法、多项式插值法、三角网线性插值法[3-4]。
2.3.1反距离权重插值法
（1）原理
该方法是基于彼此距离较近的事物要比彼此距离较远的事物更相似的原理实现的。
反距离权重法假定每个测量点有一定的局部影响，这种影响会随着距离的增大而减小。
反距离权重插值法进行插值时，需要设置两个参数，分别为权重函数和局部邻域。
权重函数是基于距离的幂函数，其中幂值可根据均方根预测误差值来确定最佳幂值。
而局部邻域可根据数据是否存在方向影响而设定，当数据中不存在方向影响时，将搜索邻域定义为圆。
当存在方向影响时，将局部邻域的形状更改为主轴与风向平行的椭圆。
（2）优缺点及适用场景：
反距离权重法是一个精确插值器，其中插值表面内的最大值和最小值只能出现在采样点处。
其计算简单，效率高，但是输出表面对拓扑和异常值的出现十分敏感。
由于反距离权重法不提供预测标准误差，因此证明使用此模型是否合理可能有点困难。
2.3.2径向基函数插值法
该方法是一系列精确插值方法的组合，其表面必须通过每一个测得的采样值。
主要有五种基函数：
薄板样条函数、张力样条函数、规则样条函数、高次曲面函数和反高次曲面函数。
其类似于在最小化表面总曲率的情况下通过测得样本点的拟合橡皮膜，其中所选的基函数确定如何在值之间拟合橡皮膜。
（2）优缺点及适用场景
RBF用于根据大量数据点生成平滑表面。
这些函数可为平缓变化的表面（如高程）生成很好的结果。
但在表面值在短距离内出现剧烈变化和/或怀疑样本值很可能有测量误差或不确定性时，这些方法不适用
比较RBF和IDW（也是精确插值器）来看，IDW从不预测大于最大测量值或小于最小测量值的值，而RBF却可预测大于最大测量值和小于最小测量值的值。
2.3.3克里金插值法
1963年法国学者Matheron提出了区域化变量理论，并给出了地统计学概念：
以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究在空间分布上既有随机性又有结构性的自然现象的科学[5]。
克里金插值法是一种地统计插值方法，根据区域化变量和半变异函数实现插值。
区域化变量具有随机性和结构性的双重特征。
随机性是指区域化变量在具体实现时表现出一定的不规则特征；
结构性是指区域化变量在不同的空间方位具有某种程度的空间自相关性。
半变异函数是一种空间变量相关性的定量描述模型，当空间采样点在一维轴x上变化时，区域化变量在x和x+h处的值为Z（x）和Z（x+h），两者之差的方差一半定义为区域化变量在x轴方向上的半变异函数。
克里金方法依赖于数学模型和统计模型。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计（某点处的确定值）的方法。
而用克里金插值法预测的结果和概率联系在一起，即从一个统计模型中不可能完全精确地得出预测值，但它仍是一种光滑的内插方法，在数据点多时，其内插的结果可信度较高。
克里格插值算法包括简单克里格、普通克里格、通用克里格、指标克里格、概率克里格、分离克里格、分层克里格、联合克里格、因子克里格等20多种不同的变形形式。
由于克里金方法的灵活多变，因而该方法对于不同复杂程度的地形有很好的适应性，且精度较高。
2.3.4三角网线性插值法
三角网线性插值法首先将已知采样点构建成最佳Delaunay三角形，其结果构成了一张由三角形拼接起来的覆盖网格范围的网作为原始数据点的连结方法。
每一个三角形定义了一个覆盖该三角形内格网节点的面，三角形的倾斜和标高由定义这个三角形的三个原始数据点确定。
给定三角形内的全部节点都要受到该三角形的表面的限制。
因为各个三角形都是用原始数据点定义的，这样就把三角形和数据紧密联系起来了。
线性插值三角网法将在网格范围内均匀分配数据，地图上稀疏的区域将会形成截然不同的三角面。
三角网线性插值法计算简单，但是生成DEM表面不光滑，精度不高，对于数据点的分布十分敏感。
2.3.5多项式插值法
多项式插值法分为全局和局部多项式插值法。
全局多项式插值法根据输入采样点拟合出一个由数学函数（多项式）定义一个平滑表面。
全局多项式表面会逐渐变化并捕捉数据中的粗尺度模式。
局部多项式插值法可以对位于指定重叠邻域内的多个多项式进行拟合。
通过使用大小和形状、邻域数量和部分配置，可以对搜索邻域进行定义。
全局多项式插值法适用于在数据集中创建平滑表面及标识长期趋势。
然而，在地球科学中，除了长期趋势之外，感兴趣的变量通常还具有短程变化。
当数据集显示出短程变化时，局部多项式插值法地图可捕获这种变化。
全局多项式插值对于计算得出的表面对异常值（极高值和极低值）非常敏感，尤其是在表面的边缘处。
局部多项式插值法对邻域距离很敏感；
较小的搜索邻域可能会在预测表面内创建空区域。
结论
本文分析和研究了DEM的插值方法，实现了DEM插值方法的分类，描述和分析了五种常用插值方法的原理，优缺点及适用场景。
本文的总结和分析结果对于DEM插值方法的选取具有重要的参考价值和意义。
参考文献：
[1]李志林，朱庆．数字高程模型（第二版）[M]．武汉：
武汉大学出版社，2003．
[2]汤国安，刘学军，闾国年．数字高程模型及地学分析的原理与方法[M]．北京：
科学出版社，2005.
[3]张锦明．DEM插值算法适应性研究[D]．郑州：
解放军信息工程大学博士论文，2012.
[4]张锦明，付永恒．几种建立DEM模型插值方法精度的交叉验证[J]，测绘与空间地理信息，2011（5）．
[5]侯景儒．实用地质统计学[M]．北京：
地质出版社，1998．
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