八年级上册数学北师大版知识点总结Word文档格式.doc
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②在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
③在直角三角形中，如果有一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于300。
⑤直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
⑥直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边。
3、直角三角形的判定
①有一个角是900的三角形是直角三角形。
②一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
③有两个角互余的三角形是直角三角形。
④两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。
第三节、勾股定理的应用
1、证明直角三角形及其它涉及直角三角形的问题。
2、判定实际问题中两线段是否垂直的问题。
以已知线段为边构造三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。
3、解立体图形上两点之间的最短距离问题
（1）将立体图形展成平面图形。
（2）根据“两点之间线段最短”确定最短路线。
（3）最后以上面的最短路线为边构造直角三角形，利用勾股定理解决。
圆柱表面蚂蚁吃面包：
圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方。
第二章 实数
第一节、认识无理数
1、无理数：
无限不循环小数叫做无理数。
2、在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有5类：
（1）开方开不尽的数。
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等。
（3）有特定结构的数，如0.1010010001等。
（4）某些三角函数值，如sin60o等。
（5）无限不循环小数。
3、无理数和有理数的区别
①有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数。
②所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
第二节、平方根
1、算术平方根：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：
记作“”，读作根号a。
性质：
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
3、开平方：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
注意a的双重非负性：
≥0且a≥0。
第三节、立方根
1、立方根：
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。
2、表示方法：
记作。
3、一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零。
4、，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
第四节、估算
1、用估算法确定无理数的大小
①对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。
首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。
②决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。
2、“精确到”与“误差小于”的区别
①精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一。
②误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。
3、用估算的方法比较数的大小
①用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较 。
②当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：
若a＞b≥0,则＞>
若a＞b，则>
或a3＞b3
若a、b都为正数，且a＞b时，则a2＞b2
第五节、用计算器开方（本节内容为了解内容）
1、会用计算器求平方根和立方根。
2、运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。
第六节、实数
1、实数的概念及分类
数学上，实数定义为与数轴上的实数点相对应的
正有理数
有理数 零有限小数和无限循环小数负有理数
实数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
3、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；
若|a|=-a，则a≤0。
4、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
5、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
6、实数大小的比较
①实数比较大小：
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；
数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；
两个负数，绝对值大的反而小。
②实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：
设a、b是实数。
（3）求商比较法：
设a、b是两正实数，=>
。
（4）绝对值比较法：
设a、b是两负实数，则
（5）平方法：
第七节、二次根式
1、含有二次根号“”；
被开方数a必须是非负数。
2、性质：
（1）
3、最简二次根式：
运算结果若含有“”形式，必须满足：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
4、非负数的情况：
根号下，平方，绝对值。
5、实数的运算
（1）六种运算：
加、减、乘、除、乘方、开方。
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律
a+b=b+a
加法结合律
（a+b）+c=a+（b+c）
乘法交换律
ab=ba
乘法结合律
（ab）c=a（bc）
乘法分配律
a（b+c）=ab+ac
第三章 位置与坐标
第一节、确定位置
1、平面内确定一个物体的位置需要2个数据。
2、确定位置的方法
①行列定位法：
在这种方法中常把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上点的位置，在此方法中，要牢记某点的位置需要两个互相独立的数据，两者缺一不可。
②方位角距离定位法：
方位角和距离。
③经纬定位法：
它也需要两个数据：
经度和纬度。
④区域定位法：
只描述某点所在的大致位置。
如“解放路22号”
3、弄清（a,b）中a与b各代表什么含义，顺序不能写错；
图形与语言的相互转换。
（a是横坐标，b是纵坐标）
第二节、平面直角坐标系
1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；
铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；
x轴和y轴统称坐标轴。
它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；
建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：
x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P，过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当把a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
①各象限内点的坐标的特征
点P（x,y）在第一象限>
>
Û
点P（x,y）在第二象限>
<
点P（x,y）在第三象限<
点P（x,y）在第四象限<
②坐标轴上的点的特征
点P（x,y）在x轴上，则y=0，x为任意实数
点P（x,y）在y轴上，则x=0，y为任意实数
点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上，则x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点。
③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上，则x与y相等。
点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上，则x与y互为相反数。
④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
⑤关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）。
点P与点p’关于y轴对称，则纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）。
点P与点p’关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）。
⑥点到坐标轴及原点的距离
点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：
（1）点P（x,y）到x轴的距离等于y。
（2）点P（x,y）到y轴的距离等于x。
（3）点P（x,y）到原点的距离等于x2+y2。
+
第三节、轴对称与
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