动力系统的概念Word文件下载.doc
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半流形通常是不可逆的，动力系统的一个典型的特征是在无穷大的空间中是确定的。
当有单独向映射且存在时，离散动力系统是确定的。
这样的系统还有一些性质即通过的迭代次数可以得出唯一的当前状态决定所有的将来状态。
这时的取值范围是确定的在集合中，其中
。
上面离散动力系统的定点是点且的点。
k点的周期是对于点有且对于所有的有。
对于，的极限集合是确定的，
如果是可逆的，则的极限集合可以定义的关于极限级。
注：
连续型动力系统的一一映射定义与离散型动力系统在相同的拓扑空间中。
一一映射不能得到基础流量的全部性质，但是能够继承很多相似的特征。
另一个庞加莱映射提供了流的频闪图片，它的构造如下：
假设是上的一个开集合，是在中一个超曲面（即光滑的维流行）。
假设的任意轨道，，横向的相交于一点是不同于的。
然后第一个返回时间是确定的对于即
映射
叫做第一返回映射或庞加莱映射设联系在一起的流量。
超曲面通常被称作相应的庞加莱截面。
一一映射和第一返回映射和基础流和庞加莱截面一样光滑。
1.2常微分方程和动力系统
这本书大部分叙述的常微分方程形式
（1.1）
这里，是一个充分光滑的向量场确定的。
集合叫做方程的象空间，同时叫做扩充相空间。
常微分方程叫做独立存在的如果没有明确的时间相依性，如下。
流量和自治的方程结合起来单参数变换群
，
表示为解决的初始状态，如下，。
根据常微分方程的基本理论，函数的像（1.1）的右边一样光滑，同时关于也是光滑的。
如果依赖于形状的参数，那么也是类的随着关于那些参数的变量。
非自治的常微分方程不能产生流，因为解明确取决于初始时间且。
其结果是，我们可以得到
在一般情况下。
然而，产生的映射
具有两个参数的集合存在，解的唯一性能保证和流类似的性能
因为注：
在扩充的相空间上扩充的常微分方程
认为流。
和常微分方程（1.1）等价的公式是积分方程
（1.2）
作为未知函数。
一些方程承认自治的线性项在它们的右边，当常微分方程能够写成，和相应的积分方程
（1.3）
这个公式可以通过改进非齐次的，线性常微分方程的通解获得。
积分方程是在估计进展的解之间的距离或关于初始条件或参数的偏导数非常有用的。
例如，一个有连续独立解的常微分方程的初始条件能够涉及到在积分方程（1.2）中，写作
当特定领域，是一个利普希茨常数然后，通过格朗瓦尔不等式，我们得到
这样证明要求的连续性。
最后不等式的一个重要结果是如果和，那么
。
换句话说，“在有限时间，接近的初始条件停留在接近”例如，在时间尺度上当这种论据是有用的很多时候在离散化动力学动力系统理论中。
例如，它意味着时间T映射的连续性对于任意在和处连续的流量。
目前，我们已经解决的只有实数上的常微分方程问题。
微分方程的理论确定在一个流形中在局部坐标上是类似的。
定义一个独立的常微分方程在一个流形上，需要一个利普希茨向量场在上，例如，一个利普希茨映射
然后和这个向量场相应常微分方程是系统。
1.3liouville定理
一个自治的常微分方程流的一个重要的特征是其在体积元素上的作用，例如，不管它是否压缩，扩大，或保存大量的集合的初始条件。
如果表示集合的体积的开集的初始条件，那么下面陈述liouville定理:
.
这个公式表示随意发散的向量场产生大量保持体积的流在上。
同样，有阻尼系统，，压缩拓扑空间的体积。
同时，强迫系统，扩展相空间的体积。
这些观察结果对流具有重要的质的影响。
例如，一个保持体积不变流的不动点不能够渐进稳定。
至于在流形上的常微分方程，liouville定理能够叙述如下。
让作为一个在上体积，和让作为一个向量场在上。
通过公式，我们能够确定关于的散度。
.
这里的表示在处的拉回。
如果表示体积的，那么我们可以得到
在一个流形上积分形式的其中的含义，见附录A.18。
1.4结构稳定性和分歧点
假定两个向量场和是确定在一个有边界的流形上的。
这样的向量场叫做在上的拓扑等效，如果那存在同胚映射，把轨道上的变换到轨道上的保存它们的方向。
拓扑等效向量场的例子在图1.2显示出来。
在紧流形上，一个类的向量场是渐进稳定的，如果它是拓扑等价的对于在上的任意其他向量场是在的范围内充分接近于。
不严格的说，一个向量场是拓扑等价的，如果小的变形不能够改变它的在本质结构上。
在二维空间中，贝秀多定理鉴定了渐进稳定性的向量场的特征。
也就是，让成为一个封闭的在平面上的磁盘。
那么一个类的向量场确定在上是渐进稳定的，当且仅当每个平衡点和周期轨道都是双曲时，从章节1.13意义上说，没有连接鞍点的轨线。
此外，渐进稳定向量场的集合是开集，的向量场是密集的在上。
此理论适用于开平面在二维空间的流形中，但是不适用于普通的二流形如二环面。
当一个向量场在一个类的向量场中时可能是渐进不稳定，它相对于这个类的一个子集可能变成渐进稳定。
例如，思考一个纯粹虚构的二维空间的哈密尔顿函数的向量场趋向于一个不动点，它的特征值不为零。
这样一个向量场的所有轨道接近这个不动点的附近，在哈密尔顿函数承认限度的局部最大值或最小值。
明显地，任意小的扰动都能改变这个不动点到槽中；
因此，向量场在原点周围的任意封闭圆平面是渐进不稳定的。
然而，对于哈密尔顿函数本身来说小的摄动可能仍然放弃附近的局部极限值，所以接近不动点的轨道可能会有点轻微的变形，但仍有坚持性。
因此，最初的向量场在一个类的哈密尔顿函数向量场中是渐进稳定的。
在类向量场的空间中的一个向量场是确定的在上，如果它不是渐进稳定的，被称为一个分叉点。
作为一个分歧点，我们指的是通过一个分叉点作为交换参数在向量场中的一个用参数表示的族。
一个不变的集合附近发生质的改变通常称作局部分歧点，然而质的改变涉及的扩展结构在相空间中叫做全局分歧。
更多的了解分歧点的含义，请看ChowandHale[72],或着Gukenheimer，Holmes[145],Kuznetsov[221]。
1.5哈密尔顿系统
古典的，精典哈密尔顿系统是众所周知的存在在物理学中。
它们被不同形式的微分方程来描述
其中叫做典型变量，类作用叫做系统的哈密尔顿量。
整数是指自由度的数量。
哈密尔顿系统最常出现在用自由度描述的机械系统的运动中。
在此背景下，是一个向量的广义坐标，是一个向量相应的广义动量。
如果，机械系统是保守系统，例如，仅受和时间无关势能力，那么哈密尔顿函数仅仅是机械能量，动能和势能的和。
如果没有显式依赖，那么（1.4）的解是守恒的，因为对于单自由度系统，这是我们想象的轨道作为水平面曲线的子集。
除了体积保留，一个典型哈密尔顿系统的流有两个保持性能。
首先，它保留了典型辛的特征从的形式，例如，
对于，表示的拉回（见附录A.11）.
因此，是一个在流形（）上的辛映射，于是也保存体积。
（见附录A.1+）。
因为这种体积可能区别仅仅在在上标准体积，我们断定就标准体积的拓扑空间而言，典型哈密尔顿函数的流是体积保存不变的。
换句话说，对于任意,大量集合的初始条件的体积是等于于大量的图像集合的体积。
超出以上提及的保持性能，，写出动力系统的哈密尔顿形式，其优点在整个向量场
能够被一个实函数复制。
此外，哈密尔顿函数本身告诉你很多哈密尔顿量流。
例如，的不动点仅仅是临界点，例如，的点。
不懂点的稳定性明显的取决于影响性能的。
如果具有局部最小值或最大值在点，那么是一个稳定的不动点，因为这样运用来决定作为一个李雅普诺夫函数。
在上，经典的哈密尔顿系统的概念能够推广的一个辛流形。
观察的结果是对于任意，一个典型的哈密尔顿向量场满足
其中我们用过的公式（A.9）和附录A里的一些符号。
因此，我们可以得到，或相当于。
）（附录A.16）
这最后一个表达式提出在任意维空间辛流形上推广的哈密尔顿系统。
让我们考虑类的函数.哈密尔顿函数的向量场和联系起来能够确定向量场。
我们给出了几何的定义在图1.3.相当于，是具有哈密尔顿变量的哈密尔顿函数如果
（1.5）
对于所有的。
最后，微分方程
（1.6）
叫做哈密尔顿系统通过哈密尔顿变量生成的在
水平面上的集合，
叫做能量面。
由隐式函数定理，如果保持对于所有,是一个流形。
在那种情况下是一个的余维数1一个子流形，叫做常规能源表面。
如果包含能源表面，任意子集叫做等能道。
有时的两个子集包含一样的能源表面也是提到的等能道
广义的哈密尔顿系统，拥有经典哈密尔顿系统的所有保持性能。
例如，过（1.6）的解，哈密尔顿变量被固定，因为
我们经常在（1.5）用到的。
这意味着（1.6）的轨道局限于的能量面。
对于辛保存的证明来自通过（1.6）的流量，看亚伯拉罕和马斯登或者阿诺德。
体积的保存遵循附录A.16。
哈密尔顿系统的性能延续到它们的庞加莱映射。
特别是，对于一个维自由度的哈密尔顿系统，如果是一个维的庞加莱截面在一个固定的能量面内，那么限制辛的形式是非退化的，相应的庞加莱映射（如果定义）是辛映射。
例如，。
让我们考虑一个映射。
变化率沿着一个哈密尔顿向量场的轨迹能够计算因为
是泊松括号由辛形式诱导而来（见附录A.16）的哈密尔顿系统的首次积分是一个常数解的函数，以上公式表明是不变的当且仅当
例如，当且仅当是退化的随着。
一些向量场能够写成哈密尔顿形式在开集中，但是没有在整个的相空间上。
例如，思考相空间和坐标和辛的形式。
微分方程
容许哈密尔顿函数在的开子集上，但是这种函数不能扩展到一个全局性的确定的平稳的函数在上，因为它在中不是周期性的。
一般来说，如果对于任意有一个的邻域，是一个受限
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