第十六章三角形旁心的性质及应用Word下载.docx
《第十六章三角形旁心的性质及应用Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十六章三角形旁心的性质及应用Word下载.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
B×
C=r×
cotÐ
C；
2 2 2 2 2
rB=
rC=
2S△
a-b+c2S△
a+b-c
=4R×
sinÐ
C×
A=r×
A；
=4R×
B=r×
B．
性质5S△=（p-a）×
rA=（p-b）×
rB=（p-c）×
rC；
rArB+rBrC+rCrA
S△=
rArBrC ；
3rArBrC
rA+rB+rC
≤S△≤
2
3
（rArBrC）3．
注第三式由平均值不等式推证得．
性质6
（1）II=a×
cscÐ
A，II=b×
B，II=c×
BC 2 CA 2 AB 2
（2）IIA
=a×
secÐ
A，II
2 B
=b×
B，II
2 C
=c×
C．
2
事实上，对于
（1），由性质2，知I为△IAIBIC的垂心，△ABC为△IAIBIC的垂足三角形，于是IC，B，
C，IB四点共圆且IBIC为该圆直径，故由正弦定理知IBIC=BC×
BIBC．由A，I，C，IB共圆
知Ð
BIC=Ð
IAC=1Ð
A，从而II=a×
A．同样可得其余两式．
B 2 BC 2
对于
（2），易知I，B，I，C四点共圆且II为该圆的直径，故II=BC×
cscÐ
BIC．又Ð
BIC=90°
+1Ð
A，
A A A 2
故IIA
推论1
（1）IIA×
IBIC=IIB×
ICIA=IIC×
IAIB=4R；
a b c
（2）IBIC×
ICIA×
IAIB=4R．
abc r
S△III
推论2 ABC
S△ABC
=2R．
r
事实上，由IBIC×
IIA=IBIC（AIA-AI）=2（S△IAIBIC-S△HBIC）等三式相加，有
ABC
IIA×
IBIC+IIB×
ICIA+IIC×
IAIB=4S△III．
由推论1有II
×
II+II×
II=4Ra+b+c=4R×
2S△ABC，即证．
A BC B CA C AB （ ） r
推论3设△IAIBIC的外接圆半径为R¢
，则R¢
=2R．
事实上，由2R¢
=II
BIC=II
cscæ
90°
-Ð
Aö
=a×
A=2a×
cscA=4R，即证．或
BC A BC ç
2÷
2 2
è
ø
设IIA交△ABC的外接圆于D，连BD，则
BID=Ð
BAI+Ð
ABI=Ð
CAI+Ð
IBC=Ð
CBD+Ð
IBD，有DI
=DB
，即D为IIA的中点，设O¢
是I关于△ABC外心O的对称点，则由三角形中位线性质知O¢
IA=2OD=2R．同理有O¢
IB=O¢
IC=2R，即O¢
为△IAIBIC的外心．
推论4设△IAIBIC
的内切圆半径为r¢
，则IBIC+ICIA+IAIB=R¢
．
a+b+c r¢
事实上，由r¢
（IB+IC+ICIA+IAIB）=2S△IAIBIC
4R×
S△ABC R¢
×
2S△ABC
R¢
（abc）即证．
= r = r = ++
推论5
1
II2+
II2=
1 1
a2，II2+
b2，II2+
II2=c2．
A BC
IA2
IB2
B CA
IC2
C AB
推论6
（1） +
bc
ca+
ab=1；
bc+ca+ab
（2）IA+IB+IC≤ （Walber不等式）．
事实上，对于
（1），由△IAC
△III
及△IAB
△III
，有IA=
IIC
，IA=
IIB，
CA AB
b IAIC
c IAIB
BC
即
=IIC×
IIB×
sin（180°
IBIAIC）=
S△III
．同理，
CA
=
IC2
AB
， =
，即证．
bc IAIC×
IAIB×
IBIAIC
S△III
ca S△III
ab S△III
对于
（2），由
（1）及柯西不等式即证．
性质7设□IA，□IB，□IC分别切△ABC的边BC，CA，AB于P，Q，R，内切圆□I分别切BC，
CA，AB于K，S，T，则BP=AQ=CK=p-c，PC=AR=BK=p-b，BR=CQ=AT=p-a．
事实上，如图16
1，可作IAM^直线AB于M，则BM=
BP，而BM+
AB=1 a+
（
b+）c，故
BP=
p-c=
CK．同理证其余式．
A
T
R
B
PO
O'
S
IK
Q
C
D
IC
IB
M
IA
图16-1
性质8设AIA的连线交△ABC的外接圆于D，则DIA=DBDC= （对于BIB，CIC也有同样的结论，略）．
事实上，由性质6的推论3的证明即知结论成立．也可设C1为AB延长线上的一点，
由Ð
CBI
=Ð
CBI=Ð
DIB+Ð
IAB，有Ð
DIB=Ð
CBI
-1Ð
A=Ð
CBI-1Ð
A 1 A A A
A 1 A 2 A 2
而Ð
CBD=Ð
CAD=1Ð
A，则Ð
DBI
=Ð
-Ð
CBD
-1=Ð
DIB
，故CD=BD
=ID．
1
性质9Ð
IBIAIC=2（Ð
B+Ð
C）
IAIBIC= （Ð
A+Ð
C），Ð
III
A A A Ð
A A A
=1（Ð
B）．
2 ACB 2
事实上，由Ð
=p-Ð
IBC-Ð
ICB=p-p-Ð
B-p-Ð
C=1
Ð
C，
BAC A A
即得第一式，同理可推得其余两式．
2 2 2（ ）
性质10一个旁心与三角形三条边的端点连结所组成的三个三角形面积之比等于原三角形三条边长之比；
三个旁心与三角形的一条边的端点连结所组成的三角形面积之比等于三个旁切圆半径之比．
性质11过旁心IA的直线交AB，AC所在直线分别于P，Q，则
AB×
B+AC×
C=-sinÐ
A+sinÐ
B+sinÐ
AP AQ
事实上，可参见三角形内心的性质7即证，
性质12△ABC的内切圆□I分别切边BC，CA，AB于点D、E、F，直线AI交内切圆于点P、Q，则P、Q分别为△AEF的内心与旁心．
【典型例题与基本方法】
例1如图16
2，在凸四边形ABCD中，AD∥BC，从A点引内、外角平分线与从B点所引内、外角平分线相交于K，L；
又从C点引内、外角平分线与从D点引内、外角平分线相交于P、Q．求证：
K，
L，P，Q四点共线．
K D
LP
B C E
图16-2
证明由AD∥BC，则可知AD，BC的延长线必相交，设交点为E．就△ABE来看，K为其旁心，L为
其内心，因此，K，L，E三点共Ð
AEB的角平分线；
就△CDE来看，P是其旁心，Q是其内心，因此，P，Q，E三点共Ð
DEC的角平分线．故知K
升级会员 