学年高中数学复习课三复数框图教学案新人教A版选修12含答案.docx

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学年高中数学复习课三复数框图教学案新人教A版选修12含答案

复习课（三）　复数、框图

复数的概念

（1）复数的概念是学习复数的基础，是考试的重要的考查内容之一，一般以选择题或填空题形式出现，难度较小．

（2）解答此类问题的关键是明确复数相关概念．

1．复数是实数的充要条件

（1）z＝a＋bi（a，b∈R）∈R⇔b＝0.

（2）z∈R⇔z＝

.

（3）z∈R⇔z2≥0.

2．复数是纯虚数的充要条件

（1）z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数⇔a＝0，且b≠0.

（2）z是纯虚数⇔z＋

＝0（z≠0）．

（3）z是纯虚数⇔z2<0.

3．复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di⇔

（a，b，c，d∈R）．

[典例]　实数k分别为何值时，复数（1＋i）k2－（3＋5i）k－2（2＋3i）满足下列条件？

（1）是实数；

（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）是0.

[解]　（1＋i）k2－（3＋5i）k－2（2＋3i）＝（k2－3k－4）＋（k2－5k－6）i.

（1）当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．

（2）当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．

（3）当

即k＝4时，该复数为纯虚数．

（4）当

即k＝－1时，该复数为0.

[类题通法]

处理复数概念问题的两个注意点

（1）当复数不是a＋bi（a，b∈R）的形式时，要通过变形化为a＋bi

的形式，以便确定其实部和虚部．

（2）求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．

1．若复数z＝1＋i（i为虚数单位），

是z的共轭复数，则z2＋

的虚部为（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．－1

C．1D．－2

解析：

选A　因为z＝1＋i，所以

＝1－i，所以z2＋

2＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.故选A.

2．复数z＝log3（x2－3x－3）＋ilog2（x－3），当x为何实数时，

（1）z∈R；

（2）z为虚数；（3）z为纯虚数．

解：

（1）∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，

∴

由②，得x＝4，经验证满足①③式．

∴当x＝4时，z∈R.

（2）∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0，

∴

解得

即

＜x＜4或x＞4时，z为虚数．

（3）∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0，

∴

解得

方程组无解．∴复数z不可能是纯虚数.

复数加、减法的几何意义

（1）复数运算与复数几何意义的综合是高考常见的考查题型，以选择题或填空题形式考查，难度较小．

（2）解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式，再利用复数的几何意义解题．

1．复数的几何意义

（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）；

（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应向量

是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与

相等的向量有无数个．

2．复数的模

（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模|z|＝

；

（2）从几何意义上理解，复数z的模表示复数z对应的点z和原点间的距离．

[典例]　

（1）若复数（a＋i）2的对应点在y轴负半轴上，则实数a的值是（　　）

A．－1B．1

C．－

D.

（2）复数z＝

（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

[解析]　

（1）因为（a＋i）2＝a2－1＋2ai，

又复数（a＋i）2的对应点在y轴负半轴上，

所以

即a＝－1.

（2）z＝

＝

＝

[（m－4）－2（m＋1）i

]，

其实部为

（m－4），虚部为－

（m＋1），

由

得

此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．

[答案]　

（1）A　

（2）A

[类题通法]

在复平面内确定复数对应点的步骤

（1）由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）．

（2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）．

1．（全国卷Ⅲ）设（1＋i）x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝（　　）

A．1B.

C.

D．2

解析：

选B　∵（1＋i）x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.

又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.

∴|x＋yi|＝|

1＋i|＝

，故选B.

2．若复数（－6＋k2）－（k2－4）i所对应的点在第三象限，则实数k的取值范围是________．

解析：

由已知得

∴4

∴－

.

答案：

（－

，－2）∪（2，

）

3．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若

＝2

＋

，则a＝________，b＝________.

解析：

∵

＝2

＋

∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋bi）

即

　∴

答案：

－3　

－10

复数的代数运算

（1）复数运算是本章的重要内容，是高考的考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主．

（2）解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则，用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解．

复数运算中常见的结论

（1）（1±i）2＝±2i，

＝i，

＝－i.

（2）－b＋ai＝i（a＋bi）；

（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；

（4）i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.

[典例]　

（1）设复数z满足

＝i，则|z|＝（　　）

A．1　　　　　　　　　　B.

C.

D．2

（2）（全国卷Ⅱ）若z＝1＋2i，则

＝（　　）

A．1B．－1

C．iD．－i

[解析]　

（1）由

＝i，得z＝

＝

＝

＝i，所以|z|＝|i|＝1，故选A.

（2）因为z＝1＋2i，则

＝1－2i，所以z

＝（1＋2i）（1－2i）＝5，则

＝

＝i.故选C.

[答案]　

（1）A　

（2）C

[类题通法]

进行复数代数运算的策略

（1）复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算．

①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算（合并同类项）．

②复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分（a＋bi）2＝a2＋2abi－b2与（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”（分子、分母同乘以分母的共轭复数），此时要注意区分（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2与（a＋b）（a－b）＝a2－b2.

（2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．

（3）利用复数相等，可实现复数问题的实数化．

1．复数z满足z（

＋1）＝1＋i，其中i是虚数单位，则z＝（　　）

A．1＋i或－2＋iB．i或1＋i

C．i或－1＋iD．－1－i或－2＋i

解析：

选C　设z＝a＋bi（a，b∈R），由z（

＋1）＝1＋i得a2＋b2＋a＋bi＝1＋i，所以b＝1，a2＋a＋1＝1，所以a＝0或a＝－1.故z＝i或z＝－1＋i.

2．i是虚数单位，

2016＋

6＝________.

解析：

原式＝

1008＋

6＝

1008＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝i4＋i2＝0.

答案：

0

框图

（1）题型为选择题、填空题．主要考查基本知识和技能，如对条件结构和循环结构的灵活应用或补全程序框图．

（2）在画框图时，需要有较高的抽象概括能力和逻辑思维能力，要熟悉事物的来龙去脉，从头至尾抓住主要脉络进行分解，弄清各步的逻辑关系．

1．流程图

（1）流程图是动态图示，包括程序流程图、工序流程图、生活中的流程图等，流程图一般要按照从左到右，从上到下的顺序来观察．

（2）画流程图时，要先将实际问题分解成若干个步骤，注意各个步骤之间的先后顺序和逻辑关系，再用简洁的语言表述步骤，最后绘制成流程图．

2．结构图

（1）结构图是一种静态图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．结构图一般主要包括知识结构图和组织结构图．

（2）结构图的书写顺序是：

根

据系统各要素的具体内容，按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．

[典例]　

（1）执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．

（2）据有关人士预测，我国的消费观念正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费；农村消费热点是住房、家电，试设计出表示消费情况的结构图．

[解析]　

（1）第1次循环：

a＝0＋1＝1，b＝9－1＝8，a

第2次循环：

a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，a

第3次循环：

a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3，a>b，输出i＝3.

答案：

3

（2）解：

如图所示．

[类题通法]

（1）解决循环结构框图问题，首先要找出控制循环的变量的初值、步长、终值（或控制循环的条件），然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出即可获解，循环次数较多时可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误．

（2）画复杂的组织结构图或分类结构图时，首先要分清各个要素的从属关系，即上下位关系，然后从最上位开始往下位展开，既可以画成上下结构，也可以画成左右结构．

1．读下面的流程图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．

解析：

①A＝－5＜0，②A＝－5＋2＝－3＜0，③A＝－3＋2＝－1＜0，④A＝－1＋2＝1＞0，⑤A＝2×1＝2.

答案：

2

2．“大气热力作用”有关知识是：

太阳辐射地面，产生地面辐射传递给大气和宇宙空间，大气向外辐射至宇宙空间，同时，大气对地面产生逆辐射，对太阳辐射产生削弱作用（吸收、反射、散射），不仅如此，大气还对地面产生保温作用．试画出上述知识的结构图．

解：

如图所示．

1．若i为虚数单位，则复数z＝5i（3－4i）在复平面内对应的点所在的象限为（　　）

A．第一象限　　　　　　　B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析：

选A　z＝5i（3－4i）＝20＋15i，则复数对应的点在第一象限．

2．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则（a＋bi）2＝（　　）

A．3－4iB．3＋4i

C．4－3iD．4＋3i

解析：

选A　由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则（a＋bi）2＝（2－i）2＝3－4i.

3.如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是（　　）

A．3B．4

C．5D．6

解析：

选B　本程序计算的是S＝1＋2＋22＋…＋2A，则S＝

＝2A＋1－1，由2A＋1－1＝31，得2A＋1＝32，解得A＝4，则A＋1＝5时，条件不成立，所以M＝4.故选B.

4．若复数z满足2z＋

＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝（　　）

A．1＋2iB．1－2i

C．－1＋2iD．－1－2i

解析：

选B　法一：

设z＝a＋bi（a，b∈R），则2z＋

＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.

法二：

由已知条件2z＋

＝3－2i①，得2

＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，