浅谈导数在中学数学中的应用_毕业设计论文Word格式.docx
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关键词：
Abstract:
Keywords:
引言
1.导数
1.1定义
1.2导数的几何意义
1.3
利用定义求在点处的导数的三个步骤
1.4注意
1.5导数的四则运算
1.6基本求导公式
2．导数法在中学数学解题中的应用
2.1利用导数发确定函数的解析式
2.2
利用导数研究函数的单调性问题
2.3利用导数确定函数的值域
2.4利用导数研究曲线的切线方程问题
2.5利用导数求函数的极值、最值
2.6
利用导数求参数值的问题
2.7利用导数处理不等式证明的问题
2.8利用导数解决数列问题
2.9用导数处理实际生活中的问题
结束语
参考文献
致谢
导数是数学学习中的重要内容，是高等数学与初等数学的纽带。
许多初等数学不能解决或难以解决的问题，通过建立数学模型，把初等数学中的问题变为函数问题，用函数的思想，利用导数研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性，使问题的解决有更广泛的思维性。
许多中学问题，例如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题以及数列问题都可以运用到导数。
本文一一对其进行了阐述，期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨、研究，拓宽学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力。
导数法
解题
函数
不等式
Thederivativeisthemathematicalstudyoftheimportantcontent,isthehighermathematicsandelementarymathematics.Manyelementarymathematicstobesolvedordifficulttoresolvetheproblem,throughtheestablishmentofthemathematicalmodel,theelementarymathematicsproblemintothefunctionproblem,usingtheideaoffunction,usingderivativetostudyitsnature,givefullplaytothederivativetoolsandapplications,andmakesthesolutionofproblemwithbroaderthinking.Manyofthesecondaryproblems,suchasfunction（analytictype,range,the（very）value,monotoneinterval）problem,tangentproblem,inequalitiesandsequencecanbeappliedtothederivative.Thisarticleoneoneofitwereanalyzed,withthederivativeinthenewcurriculuminthepositionaswellasinthemiddleschoolmathematicsproblemsolvingapplicationdiscuss,study,broadenstudents'
problem-solvingideas,improvestudents'
abilitytoanalyzeandsolveproblems.
Key
words:
derivativeMethod
problemsolving
Function
Ineguality
导数的出现，为解决中学数学中的一些问题提供了新的方法，在中学数学教材中处于一种特殊的地位，它起到承上启下的作用。
承上许多初等数学不能解决或难以解决的问题，通过建立数学模型，把初等数学中的问题变为函数问题，利用函数的思想并导数研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性，使问题的解决有更广泛的思路。
本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨、研究，拓宽学生的解题思路，提高学生分析和解决问题的能力．
设在点的内有定义，且当自变量在点有一增量仍在该领域中）时，函数相应的有增量，若即存在，就称其值为在点的导数，记为，,，即，这时也称在点可导或有导数,或导数存在.
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线斜率，即。
相应地，切线方程为。
1.3利用定义求在点处的导数的三个步骤
1.求函数的增量；
2.求平均变化率；
3.取极限求导数.
例1
利用定义求函数的导数
解：
，
即
1.导数常见形式有：
；
.
2.若极限即存在，就称在点不可导，特别地，若，称的切线存在，它是垂直于轴的.
1.6基本求导公式
，
例2
求下列函数的导数
（1）
（2）
解析：
（1）
（2）
函数关系用解析式表示，有利于研究函数的性质，利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会更加明显．
例3
给定函数，该函数的图像与轴交点为点，且函数在点处的切线方程为，若在处取得极值，利用已知条件确定函数解析式．
解
因函数的图像与轴交为点，点的坐标为，又曲线在A点处的切线方程为，点满足此方程，从而，又切线斜率，故在处的导数，而，，从而，又函数在处取得极值，所以
解方程组得，带入原函数得解析式为
1.求的定义域；
2.求出导数；
3.令，并求出全部驻点（补充定义，若函数在点处的导数
，则称点为函数的驻点）
4.驻点把定义域分成几个区间，列表考察在这几个区间内的符号，因而可确定的单调区间。
定理：
若在上连续，在内可导，则在上单调上升（或单调下降）的充要条件为在内，即
在上单调上升；
在上单调下将.
例4：
已知函数为自然对数的底数，试讨论函数的单调型。
（04年湖南高考题）
因，所以
（1）当时，令解得
若，则，从而在上单调递增；
若，则，从而在上单调递减；
（2）当时，令解得或
若，则，从而在上单调递增。
例5：
（2004年高考全国卷Ⅲ18题）求函数（x）=ln（1+x）-
14x2在[0，2]上的最大值和最小值。
（x）=-=2-x-x22（1+x）
又（x）的定义域为x＞-1，令（x）=0，得2-x-x2=0
即x=-2，x=1,
又∵x＞-1，
∴x=-2（舍去）
∴x=1,又x∈[0，2]，
∴当0≤x＜1时，（x）＞0
当1＜x≤2时，（x）＜0
所以在区间[0，1]上是增函数在（1，2]是减函数。
∴（x）在x=1处取得极大值，（x）极大值==ln2-14，又=ln1-0=0，=ln3-
14×
22=ln3-1
∴在[0，2]上的最大值为ln2-
14，最小值为0。
求函数的值域是中学数学中的难点，也是重点，方法因题而异，不易操作．但是，如果采用导数来求解，就较为容易，且一般问题都可行．
例6：
已知函数为，求它的值域．
根据已知条件得，定义域为，由于
又
可当时，．所以,在上是增函数．
而，所以函数的值域是．
传统方法求曲线的切线方程的一般步骤：
设过点p（x）的切线方程为y-y=k（x-x），代入曲线方程，消去y可得到一个关于x的一元方程，根据△=0时，可以得到一个关于k的一元方程，求出k的值，最后得到曲线的切线方程。
导数法求曲线的切线方程：
根据导数的曲线切线方程几何意义，（x）的几何意义是曲线y
=（x）在点p（x，（x））处的切线斜率，用点斜式写出切线方程。
例:
7：
（2004年全国考卷Ⅲ文科19题）已知直线为曲线y=x2+x-2，在点（1，0）处的切线，求切线方程。
∵y=x2+x-2，∴y′=2x+1
又∵点（1，0）在曲线上
∴由点斜式可得：
y-0=3（x-1）即，切线方程为y=3x-3
评注：
根据导数的几何意义求曲线在某点处的切线步骤：
先求曲线在这点处的导数，则这点对应的导数值即为过该点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程。
例8：
（2004年全国高考天津卷理科20题）
已知函数：
（x）=ax3+bx2－3x在x=±
1处取得极值，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程。
∵（x）=ax3+bx2-3x，∴（x）=3ax2+2bx-3
又∵（x）在x=±
1处取得极值
∴（x）
=0且
=0
即：
解得：
=x3-3x
（x）
=3x2-2
而点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（xo,yo）则点M的坐标满足yo=xo3-3xo
。
∵（x）
=3x2-3
=3xo2-3，即通过点M的切线斜率为k=（x）
=3x-3，由点斜式可知，过点M的切线方程为y-yo=（3xo2-3）（x-xo）
又∵yo=xo3-3xo
∴切线方程为y=3（xo2-1）x-2xo2
又∵切线经过点A（0，16），
∴16=3（xo2－1）×
0-2xo3
即:
xo3=-8，
∴
xo=-2
故切点M（-2，-2）
∴切线方程为y=3（4-1）x-2x（-2）3
即为9x-y+16=0
定义:
在上是连续的，若对于，存在的某一领域，
使对此领域中的任意点，都有，则称在有一极大值，称为极大点.如
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