专题44三角恒等变换高考数学一轮复习Word文件下载.docx

专题44三角恒等变换高考数学一轮复习Word文件下载.docx

《专题44三角恒等变换高考数学一轮复习Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题44三角恒等变换高考数学一轮复习Word文件下载.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

）的值是．

【解析】　

（1）依题意得sinα＝

＝

，

cos（α＋β）＝±

＝±

.

又α，β均为锐角，所以0<

α<

α＋β<

π，cosα>

cos（α＋β）．

因为

>

－

，所以cos（α＋β）＝－

于是cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝－

×

＋

【答案】　

（1）A　

（2）－

点拨　

（1）解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．

（2）常见的配角技巧：

2α＝（α＋β）＋（α－β），α＝（α＋β）－β，β＝

，α＝

＝（α＋

）－（

＋β）等．

巩固2若sin（

＋α）＝

，则cos（

－2α）等于（　　）

B．－

例3　

（1）化简：

（0<

θ<

π）；

（2）求值：

－sin10°

（

－tan5°

）．

【解析】　

（1）由θ∈（0，π），得0<

<

，∴cos

0，

∴

＝2cos

又（1＋sinθ＋cosθ）（sin

－cos

）

＝（2sin

cos

＋2cos2

）（sin

＝2cos

（sin2

－cos2

）＝－2cos

cosθ.

故原式＝

＝－cosθ.

（2）原式＝

·

－2cos10°

巩固3

（1）（2018全国新课标Ⅱ理）若

在

是减函数，则

的最大值是（）

A．

B．

C．

D．

（2）计算：

sin50°

（1＋

tan10°

）＝.

二、三角函数式的化简

例4　

（1）化简：

（2）已知cos

，θ∈

，则sin

（2）由题意可得，cos2

，cos

＝－sin2θ＝－

，即sin2θ＝

因为cos

0，θ∈

所以0<

，2θ∈

根据同角三角函数基本关系式可得cos2θ＝

由两角差的正弦公式可得

sin

＝sin2θcos

－cos2θsin

【答案】　

（1）

cos2x　

（2）

点拨　三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．

巩固4

（1）已知cos（x－

）＝－

，则cosx＋cos（x－

（2）若α∈

，且3cos2α＝sin

，则sin2α的值为（　　）

B．－

三、三角函数的求值

例5已知tanα＝2.

①求tan（α＋

）的值；

②求

的值．

巩固5已知α∈

，且2sin2α－sinα·

cosα－3cos2α＝0，则

例6若sin2α＝

，sin（β－α）＝

，且α∈[

，π]，β∈[π，

]，则α＋β的值是（　　）

D.

【解析】因为α∈[

，π]，sin2α＝

0，所以2α∈[

，π]，

所以cos2α＝－

且α∈[

]，

又因为sin（β－α）＝

0，β∈[π，

]，所以β－α∈[

所以cos（β－α）＝－

因此sin（α＋β）＝sin[（β－α）＋2α]

＝sin（β－α）cos2α＋cos（β－α）sin2α

（－

）＋（－

）×

＝－

cos（α＋β）＝cos[（β－α）＋2α]＝cos（β－α）cos2α－sin（β－α）sin2α

＝（－

）－

又α＋β∈[

，2π]，所以α＋β＝

，故选A.

【答案】　A

变式（2018江苏）已知

为锐角，

．

（1）求

的值；

（2）求

【解析】

（1）因为

，所以

，因此，

【答案】

（1）

；

（2）

巩固6已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝

，tanβ＝－

，则2α－β的值为．

四、三角恒等变换的应用

例7　已知函数f（x）＝4tanxsin

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间

上的单调性．

【解析】　

（1）f（x）的定义域为{x|x≠

＋kπ，k∈Z}．

f（x）＝4tanxcosxcos

＝4sinxcos

＝4sinx

＝2sinxcosx＋2

sin2x－

＝sin2x＋

（1－cos2x）－

＝sin2x－

cos2x＝2sin

所以f（x）的最小正周期T＝

＝π.

点拨：

把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝

sin（x＋φ），可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．

巩固7

（1）（2018北京文）已知函数

的最小正周期；

（2）若

在区间

上的最大值为

，求

的最小值．

（2）已知函数f（x）＝2cos2ωx－1＋2

cosωxsinωx（0＜ω＜1），直线x＝

是f（x）图象的一条对称轴．

（1）求ω的值；

（2）已知函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移

个单位长度得到的，若g

，α∈

，求sinα的值．

答案与解析

巩固1【解析】　

（1）tanα＝

，则cos2α＋2sin2α＝

【答案】　

（1）A　

（2）B

巩固2【解析】　∵sin（

，∴cos（

－α）＝

∴cos（

－2α）＝cos2（

－α）＝2×

－1＝－

【答案】　D

【答案】A

【解析】sin50°

）＝sin50°

＝sin50°

＝1.

【答案】　1

巩固4【解析】　

（1）cosx＋cos（x－

）＝cosx＋

cosx＋

sinx

sinx＝

cos（x－

）＝

）＝－1.

（2）cos2α＝sin

＝sin

＝2sin

代入原式，得

6sin

∵α∈

，∴cos

∴sin2α＝cos

＝2cos2

【答案】　

（1）－1　

（2）D

巩固5【解析】　∵α∈

cosα－3cos2α＝0，

则（2sinα－3cosα）·

（sinα＋cosα）＝0，

∴2sinα＝3cosα，

又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝

，sinα＝

巩固7

（1）

所以

的最小正周期为

（2）由

（1）知

要使得

，即

上的最大值为1．

．所以

的最小值为

（2）解　

（1）f（x）＝2cos2ωx－1＋2

cosωxsinωx＝cos2ωx＋

sin2ωx＝2sin

由于直线x＝

是函数f（x）＝2sin

图象的一条对称轴，

∴sin

1.∴

ω＋

＝kπ＋

（k∈Z），

∴ω＝

k＋

（k∈Z）．又0＜ω＜1，∴－

＜k＜

又∵k∈Z，从而k＝0，∴ω＝