一阶微分方程的解的存在定理.docx

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一阶微分方程的解的存在定理

第三章一阶微分方程的解的存在定理

教学目的

讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理

教学要求

掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。

教学重点

几个主要定理的条件及其证明

教学难点

逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法

教学方法

讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段

传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

课题导入

在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。

解决了几个特殊的方程。

但是，对许多微分方程，为，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？

或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？

当有解时，农的解是否是唯一的呢？

毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理，

§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法

教学目的

讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。

教学要求

熟练掌握Picard逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard逼近法求近似解，

教学重点

Picard存在唯一性定理及其证明

教学难点

逐次逼近分析法的应用及其思想.

教学方法

讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段

传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

一．存在唯一性定理

1．定理1，考虑初值问题

（3.1）

其中f（x,y）在矩形区域

R：

（3.2）

上连续，并且对y满足Lipsthits条件：

即存在常数L>0，使对所有常存成立，

则初值问题（cauchy问题）（3.1）在区间上解存在唯一，这里

证明思路：

1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程（3.5）的连续解。

2.构造（3.5）所得解函数序列{}

任取一连续函数，代入（3.5）左端的y，得

3.函数序列{}在上一致收敛到。

这里为3

=

即则需由则需由于从而{}在上的一收敛性等价于函数项级数

在一收敛性。

4．为（3.5）的连续解且唯一。

首先在区间是讨论，在上类似。

命题3.1初值问题（3.1）等价于积分方程

（3，5）

Proof:

若为（3.1）的解，则：

对第一式从到x取定积分可得

即

反之，若为（3.5）的连续解。

，则有

由于对f（x,y）在R上连续，从而连续故对上两式两边求导得

且即为（3.1）的连续解。

下面取，构造picard逐步逼近函数如下：

（3.7）

命题2，对于所有；连续且满足

Proof（用数学归纳法证明）

N=1时，虽然在上连续且

设命题2为时成立即在上连续，且

当时

由在R上连续可知，在上连续从而在上连续且

而命题2，在时成立，故由数学归纳法得知，命题跋对所有n成立

命题3。

函数序列在上一致收敛

Proof:

考虑函数级数：

（3.9）

它前几项和为

于是{}一致收敛性等于（级数3.9）的一致收敛性等价，我们对级数（3.9）的通项进行诂计

其中第二个方程不等式是由Lipsthits条件得到的，高对正整数n有不等式

则当时，由Lipsthits条件有

于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n有

（3.11）

从而当时

由于正级数收敛，由weierstrass判别法知，级数（3.9）在一致收敛，因而{}在上一致收敛。

现设，则由连续性和一致收敛性得在上连续且

命题4.是积分方程（3.5）的定义于上的连续解.

Proof:

由Lipschits条件

以及{}在上的一致收敛,解出函数列{},在上的一致收敛于函数.因而对（3.7）两边取极限.得到

即

这表明.是积分方程（3.5）在的连续解.命题目四得证.

命题5.设,是积分方程（3.5）的定义于上的一个连续解.则,

Prof:

令则是定义在的的非负连续函数.由和所满足的积分方程式和的Lipschits条件得

令则是定义在上的连续中微函且

于是

对最后一个不等式从到x积分得

故,即

综合命题1-5得到存在任一性定理的证明,

2存在任一性定理的证明

（1）定理中的Lipschits条件比较困难,我们经常用R上连续偏导数这一较但容易验证的条件来代替,如果在R上连续,则在R上有界,令||在R上成立,则由微分中值定理可以得出

但反过来,满足Lipschits条件的函数f（x,y）不一定有偏导数存在,例如函数在任何区域满足Lipschits条件,但它在y=0处偏导数不存在.

（2）定理中的几何意义，在矩形R中有故初值问题（3.1）的解曲线的斜率定于-M与M之间，过点分别作斜率为—M到M的直线，当时如图（a）所示，解在中有定义，而当时劝图（b）所示。

不能保证解在中有定义。

它有可能在区间内跑到矩形R外去，使得无定义，只有时才能保证解在R内，故需求解在存在范围为

图（a）图（b）

则当上连续时，定理1的条件才能满足且任一初值所确定的解在存在定义，连续

定理2考虑一阶微分方程

（3.5）

如果在点的某一个域中满足

1对所以变化（）连续。

且存在连续偏导数

2）=0

3

则方程（3.5）存在唯一解

满足条件

分析：

由1，2，3及验证函数存在定理，=0能确定一阶函数且在内连续。

且满足因从而连续，解唯一。

二定似计算和误差估计

存在唯一性定理不公肯定了解的存在唯恐天下不乱一性，并且给出了求方程近似解的一种方法——Picrcl逐步逼近法，对方程的第n次近似解

它和正真解内的误差估计为

（3.19）

上式可用数学归纳法证明

这样，我们在进行近似计算的时候，可以根根据误差的要求，先取适当的逐步逼近函数。

例1．

讨论初值问题

解存在唯一区间。

并求在此区间上与真正解的误工费差不超过0.05

的近似解的表达式，其中R：

解：

这里在R上,由于

由（3.19）=<0.05

因而可取n=3,因此我们可以作出如下的近似表达式

就是所求的近似解,在区间[]上与真正解的误差不超过0.05.

例2讨论初值问题

解存在且唯一区间.

解:

对任意给定的正数a,b,函数均在矩形区域R=内连续且对y有连续的偏导数,计算

由于a和b都可以任意取,我们先取b,使最大,虽然b=1时为的最大值,故可取a=1,b=1,此时依定理得到初值问题解存在唯一的区间是.

例3.

利用选代法求初值问题,

的解.

解;初值问题等价于积分方程

其选代序列分别为

取极限得

即初值问题的解为