正态分布Word格式文档下载.docx

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b），随机变量X满足P（a<

X≤b）＝

φμ，σ（x）dx，则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N（μ，σ2），如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N（μ，σ2）.

知识点三　3σ原则

1.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

（1）P（μ－σ<

X≤μ＋σ）＝0.6826；

（2）P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）＝0.9544；

（3）P（μ－3σ<

X≤μ＋3σ）＝0.9974.

2.通常服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取（μ－3σ，μ＋3σ）之间的值.

类型一　正态曲线的图象的应用

例1　如图所示的是一个正态分布，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体期望和方差.

解　从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是

，

所以μ＝20.由

，解得σ＝

.

于是正态分布密度函数的解析式是：

x∈（－∞，＋∞），随机变量总体的数学期望是μ＝20，方差是σ2＝（

）2＝2.

反思与感悟　利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：

一是对称轴x＝μ，一是最大值

.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f（x）中便可求出相应的解析式.

跟踪训练1　设X～N（μ1，σ

），Y～N（μ2，σ

），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（　　）

A.P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）

B.P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）

C.对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）

D.对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）

答案　C

解析　由题图可知μ1<

0<

μ2，σ1<

σ2，

∴P（Y≥μ2）<

P（Y≥μ1），故A错；

P（X≤σ2）>

P（X≤σ1），故B错；

当t为任意正数时，由题图可知P（X≤t）≥P（Y≤t），

而P（X≤t）＝1－P（X≥t），P（Y≤t）＝1－P（Y≥t），

∴P（X≥t）≤P（Y≥t），故C正确，D错.

类型二　利用正态分布的对称性求概率

例2　设X～N（1,22），试求：

（1）P（－1<

X≤3）；

（2）P（3<

X≤5）；

（3）P（X>

5）.

解　因为X～N（1,22），

所以μ＝1，σ＝2.

X≤3）＝P（1－2<

X≤1＋2）

＝P（μ－σ<

X≤μ＋σ）＝0.6826.

（2）因为P（3<

X≤5）＝P（－3≤X<

－1），

所以P（3<

X≤5）＝

[P（－3<

X≤5）－P（－1<

X≤3）]

[P（1－4<

X≤1＋4）－P（1－2<

X≤1＋2）]

[P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）－P（μ－σ<

X≤μ＋σ）]

×

（0.9544－0.6826）＝0.1359.

5）＝P（X≤－3）＝

[1－P（－3<

X≤5）]＝

[1－P（1－4<

X≤1＋4）]＝0.0228.

反思与感悟　利用正态分布求概率的两个方法

（1）对称法：

由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：

①P（X<

a）＝1－P（X≥a）；

②P（X<

μ－a）＝P（X>

μ＋a）.

（2）“3σ”法：

利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解.

跟踪训练2　

（1）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<

4）＝0.8，则P（0<

ξ<

2）＝（　　）

A.0.6B.0.4

C.0.3D.0.2

解析　∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），

∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P（ξ<

4）＝0.8，

∴P（ξ≥4）＝P（ξ≤0）＝0.2，

∴P（0<

4）＝0.6.∴P（0<

2）＝0.3.故选C.

（2）设X～N（6,1），求P（4<

X≤5）.

解　由已知得μ＝6，σ＝1.

∵P（5<

X≤7）＝P（μ－σ<

P（4<

X≤8）＝P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）＝0.9544.

如图，由正态分布的对称性知

x≤5）＝P（7<

x≤8），

∴P（4<

x≤5）＝

[P（4<

x≤8）－P（5<

x≤7）]

0.2718＝0.1359.

类型三　正态分布的应用

例3　设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N（110,202），已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分以上）的人数和130分以上的人数.

解　由题可知μ＝110，σ＝20，

P（X≥90）＝P（X－110≥－20）＝P（X－μ≥－σ），

∵P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）＝2P（X－μ≤σ）＋0.6826＝1，

∴P（X－μ≤－σ）＝0.1587，

∴P（X≥90）＝1－P（X－μ≤－σ）

＝1－0.1587＝0.841.3.

∴54×

0.8413≈45（人），即及格人数约为45人.

∵P（X≥130）＝P（X－110≥20）＝P（X－μ≥σ），

∴P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）＝0.6826＋2P（X－μ≥σ）＝1，

∴P（X－μ≥σ）＝0.1587，即P（X≥130）＝0.1587.

0.1587＝9（人），即130分以上的人数约为9人.

反思与感悟　1.本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出；

2.解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.

跟踪训练3　某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N（4,0.52），质量检查人员从该厂生产的1000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7cm，该厂生产的这批零件是否合格？

解　由于X服从正态分布N（4,0.52），

由正态分布的性质，可知

正态分布N（4,0.52）在（4－3×

0.5,4＋3×

0.5）之外的取值的概率只有0.003，

而5.70∉（2.5,5.5），

这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的.

1.某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是（　　）

A.甲科总体的标准差最小

B.丙科总体的平均数最小

C.乙科总体的标准差及平均数都居中

D.甲、乙、丙总体的平均数不相同

答案　A

解析　本题考查μ，σ的意义以及它们在正态曲线中的作用.由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；

σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.

2.设X～N

，则X落在（－3.5，－0.5]内的概率是（　　）

A.95.44%B.99.74%

C.4.56%D.0.26%

答案　B

解析　由X～N

知，μ＝－2，σ＝

，则P（－3.5<

X≤－0.5）＝P

＝0.9974.

3.设随机变量X～N（1,22），则D

等于.

答案　1

解析　因为X～N（1,22），所以D（X）＝4，

所以D

D（X）＝

4＝1.

4.如图是三个正态分布X～N（0,0.25），Y～N（0,1），Z～N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的、、.

答案　①　②　③

解析　在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；

σ越小，曲线越“瘦高”.

5.设随机变量X～N（0,1），求P（X≤0），P（－2<

X<

2）.

解　对称轴X＝0，故P（X≤0）＝0.5，

P（－2<

2）＝P（0－2×

1<

0＋2×

1）＝0.9544.

1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质.

2.正态总体在某个区间内取值的概率求法：

（1）熟记P（μ－σ<

X≤μ＋σ），P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ），P（μ－3σ<

X≤μ＋3σ）的值.

（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.

①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等.

a）＝1－P（X≥a），P（X<

μ－a）＝P（X≥μ＋a），

若b<

μ，则P（X<

μ－b）＝

一、选择题

1.正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为（　　）

A.1B.－1

C.0D.不确定

解析　均值即为其对称轴，∴μ＝0.

2.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），P（X<

4）＝0.84，则P（X≤0）＝（　　）

A.0.16B.0.32

C.0.68D.0.84

解析　由X～N（2，σ2），可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P（X≤0）＝P（X≥4）＝1－P（X<

4）＝1－0.84＝0.16.

3.如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N（0，σ2）的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是（　　）

A.σ1>

1>

σ2>

σ3>

B.0<

σ1<

σ2<

σ3

C.σ1>

D.0<

σ2＝1<

答案　D

解析　当μ＝0，σ＝1时，正态曲线

在x＝0处取最大值

，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”.故选D.

4.若随机变量X的密度为

，X在区间（－2，－1）和（1,2）内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为（　　）

A.p1>

p2B.p1<

p2

C.p1＝p2D.不确定

解析　由正态曲线的对称性及题意知：

μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.

5.对于总体密度曲线是函数

x∈R的图象的正态总体有以下问题：

①正态曲线关于直线x＝μ对称；

②正态曲线关于直线x＝σ对称；

③正态曲线与x轴一定不相交；

④正态曲线与x轴一定相交，其中正确的命题是（　　）

A.②④B.①④

C.①③D.②③

解析　利用正态函数图象的基本特征判断.

6.已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<

2）等于（　　）