秋新课堂高中数学人教A版必修4教师用书 第1章 16 三角函数模型的简单应用文档格式.docx
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=100(cm).
(3)正确.
[答案]
(1)×
(2)×
(3)√
2.如图161为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要________s往返一次.
图161
0.8 [观察图象可知此简谐运动的周期T=0.8,所以这个简谐运动需要0.8s往返一次.]
3.如图162所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24h内的变化情况,则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________.
图162
y=-6sin
x [设y与x的函数关系式为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)则A=6,
T=
=12,ω=
.
当x=9时,ymax=6.故
×
9+φ=
+2kπ,k∈Z.
取k=1得φ=π,即y=-6sin
x.]
[合作探究·
攻重难]
三角函数图象的应用
(1)函数y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是( )
A B C D
(2)作出函数y=|cosx|的图象,判断其奇偶性、周期性并写出单调区间.
【导学号:
84352127】
[思路探究]
(1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断.
(2)依据y=|cosx|=
画图,并判断此函数的性质.
(1)C [
(1)y=x+sin|x|是非奇非偶函数,
图象既不关于y轴对称,也不关于原点对称,故选C.
(2)y=|cosx|图象如图所示.
由图象可知:
T=π;
y=|cosx|是偶函数;
单调递增区间为
,k∈Z,
单调递减区间为
,k∈Z.]
[规律方法]
(1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决,如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域,此外零点也可以作为判断的依据.
(2)一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到.例如:
①由函数y=f(x)的图象要得到y=|f(x)|的图象,只需将y=f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不动,即“上不动,下翻上”.②由函数y=f(x)的图象要得到y=f(|x|)的图象,应保留y=f(x)位于y轴右侧的图象,去掉y轴左侧的图象,再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象,即“右不动,右翻左”.
[跟踪训练]
1.函数f(x)=2sinx(x∈[-π,π])的图象大致为( )
A B C D
A [f(-π)=2sin(-π)=20=1,f
=2sin
=2-1=0.5,f(0)=2sin0=20=1,f
=2,f(π)=2sinπ=20=1.由此知选项A符合要求.]
三角函数模型在物理学中的应用
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin
,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?
(3)经过多长时间小球往复振动一次?
【导学号:
84352128】
[思路探究] 确定函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ的物理意义是解题关键.
[解] 列表如下:
t
-
2t+
π
2π
sin
1
-1
s
4
-4
描点、连线,图象如图所示.
(1)将t=0代入s=4sin
,得s=4sin
=2
,所以小球开始振动时的位移是2
cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和-4cm.
(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是πs.
[规律方法] 在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律,A为振幅,表示物体离开平衡位置的最大距离,T=
为周期,表示物体往复振动一次所需的时间,f=
为频率,表示物体在单位时间内往复振动的次数.
2.交流电的电压E(单位:
V)与时间t(单位:
s)的关系可用E=220
来表示,求:
(1)开始时电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
[解]
(1)当t=0时,E=110
(V),即开始时的电压为110
V.
(2)T=
=
(s),即时间间隔为0.02s.
(3)电压的最大值为220
V,当100πt+
,即t=
s时第一次取得最大值.
三角函数模型的实际应用
[探究问题]
在处理曲线拟合和预测的问题时,通常需要几个步骤?
提示:
(1)根据原始数据给出散点图.
(2)通过考察散点图,画出与其“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
0.99
经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acosωt+b的图象.
(1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式;
(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据
(1)的结论,判断一天内的8:
00到20:
00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?
84352129】
[思路探究]
(1)根据y的最大值和最小值求A,b,定周期求ω.
(2)解不等式y>1,确定有多少时间可供冲浪者活动.
[解]
(1)由表中数据可知,T=12,∴ω=
.又t=0时,y=1.5,∴A+b=1.5;
t=3时,y=1.0,得b=1.0,所以振幅为
,函数解析式为y=
cos
t+1(0≤t≤24).
(2)∵y>1时,才对冲浪爱好者开放,∴y=
t+1>1,cos
t>0,2kπ-
<
t<2kπ+
,即12k-3<t<12k+3,(k∈Z).又0≤t≤24,所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24,所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动,即9<t<15.
母题探究:
1.若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何?
[解] 由y=
t+1>1.25得cos
t>
,
2kπ-
,k∈Z,即12k-2<t<12k+2,k∈Z.
又0≤t≤24,所以0≤t<2或10<t<14或22<t≤24,
所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动,
即10<t<14.
2.若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表:
t(时)
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.1
用y=Asinωt+b刻画水深与时间的对应关系,试求此函数解析式.
[解] 函数y=Asinωt+b在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h),此为半个周期,∴函数的最小正周期为12h,因此
又∵当t=0时,y=10;
当t=3时,ymax=13,
∴b=10,A=13-10=3,
∴所求函数的解析式为y=3sin
t+10(0≤t≤24).
[规律方法] 解三角函数应用问题的基本步骤
提醒:
关注实际意义求准定义域.
[当堂达标·
固双基]
1.与图163中曲线对应的函数解析式是( )
图163
A.y=|sinx| B.y=sin|x|
C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|
C [注意题图所对的函数值正负,因此可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin|x|>
0,而图中显然是小于零,因此排除选项B,故选C.]
2.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin
,s2=10cos2t确定,则当t=
s时,s1与s2的大小关系是( )
84352130】
A.s1>s2B.s1<s2
C.s1=s2D.不能确定
C [当t=
时,s1=5sin
=5sin
=-5,
当t=
时,s2=10cos
=10×
故s1=s2.]
3.如图164表示电流强度I与时间t的关系为I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,则该函数解析式为( )
图164
A.I=300sin
B.I=300sin
C.I=300sin
D.I=300sin
C [A=300,T=2
,ω=
=100π,I=300sin(100πt+φ).代入点
,得100π×
+φ=0,得φ=
,∴I=300sin
.]
4.一根长lcm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=3cos
,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1s时,线长l=________cm.
[由已知得
=1,所以
=2π,
=4π2,l=
5.如图165,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
图165
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式;
(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
84352131】
[解]
(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),
则
解得A=100,b=800.
又周期T=2×
(6-0)=12,
∴ω=
∴y=100sin
+800.
又当t=6时,y=900,
∴