九年级数学中考复习专题二次函数综合考察动点坐标长度面积等一.docx

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九年级数学中考复习专题二次函数综合考察动点坐标长度面积等一

2021年九年级数学中考复习专题：

二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）

（一）

1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）△APD能否构成直角三角形？

若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．

2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？

若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．

（1）求这个抛物线的表达式．

（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．

（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；

②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．

4．如图，抛物线y＝

x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝

CD．

（1）求b，c的值；

（2）求直线BD的函数解析式；

（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．

5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．

①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

②当S取得最值时，求点P的坐标．

（3）在

（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？

如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；

（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？

若存在，直接写出点E的坐标．

7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；

（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．

8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．

（1）求二次函数的解析式．

（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝

，求点K的坐标．

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝

x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）用配方法求点D的坐标；

（3）点P是线段OB上的动点．

①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；

②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；

③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．

10．如图1，已知：

抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB＝2CO．

（1）求二次函数解析式；

（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．解：

（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），

∴

，

解得

，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；

（2）令x＝0，则y＝3，

∴点C（0，3），

则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，

设点P（x，x2﹣4x+3），

∵PD∥y轴，

∴点D（x，﹣x+3），

∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣

）2+

，

∵a＝﹣1＜0，

∴当x＝

时，线段PD的长度有最大值

；

（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，

此时，点P（1，0），

②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），

∵A（3，0），

∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，

此时，点P（2，﹣1），

综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．

2．解：

（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，

∴

，

解得：

，

∴抛物线解析式为：

y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵点B（3，0），点C（0，3），

∴直线BC解析式为：

y＝﹣x+3，

如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，

设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），

∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，

∵S△PBC＝

×PG×OB＝

×3×（﹣m2+3m）＝﹣

（m﹣

）2+

，

∴当m＝

时，S△PBC有最大值，

∴点P（

，

）；

（3）存在N满足条件，

理由如下：

∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，

∴点A（﹣1，0），

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点M为（1，4），

∵点M为（1，4），点C（0，3），

∴直线MC的解析式为：

y＝x+3，

如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，

∴点E（﹣3，0），

∴DE＝4＝MD，

∴∠NMQ＝45°，

∵NQ⊥MC，

∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，

∴MQ＝NQ，

∴MQ＝NQ＝

MN，

设点N（1，n），

∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，

∴NQ＝AN，

∴NQ2＝AN2，

∴（

MN）2＝AN2，

∴（

|4﹣n|）2＝4+n2，

∴n2+8n﹣8＝0，

∴n＝﹣4±2

，

∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2

）或（1，﹣4﹣2

）．

3．解：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），

∴抛物线的表达式为：

y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，

即﹣3a＝2，解得：

a＝﹣

，

故抛物线的表达式为：

y＝﹣

x2﹣

x+2；

（2）连接OP，设点P（x，﹣

x2﹣

x+2），

∵抛物线y＝﹣

x2﹣

x+2交y轴于点C，

∴点C（0，2），

∵S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝

×AO×yP+

×OC×|xP|﹣

×CO×OD＝4，

∴

×3×（﹣

x2﹣

x+2）+

×2×（﹣x）﹣

×1×2＝4，

∴x1＝﹣1，x2＝﹣2，

∴点P（﹣1，

）或（﹣2，2）；

（3）①如图2，若点M在CD左侧，连接AM，

∵∠MDC＝90°，

∴∠MDA+∠CDO＝90°，且∠CDO+∠DCO＝90°，

∴∠MDA＝∠DCO，且AD＝CO＝2，MD＝CD，

∴△MAD≌△DOC（SAS）

∴AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，

∴点M坐标（﹣3，1），

若点M在CD右侧，同理可求点M'（1，﹣1）；

②如图3，

∵抛物线的表达式为：

y＝﹣

x2﹣

x+2＝﹣

（x+1）2+

；

∴对称轴为：

直线x＝﹣1，

∴点D在对称轴上，

∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，

∴点D是MM'的中点，

∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，

∴∠MCM'＝90°，

∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，

当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，

∵点C（0，2），点D（﹣1，0）

∴DC＝

，

∴DN＝DN'＝

，且点N在抛物线对称轴上，

∴点N（﹣1，

），点N'（﹣1，﹣

）

延长M'C交对称轴与N''，

∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），

∴直线M'C解析式为：

y＝﹣3x+2，

∴当x＝﹣1时，y＝5，

∴点N''的坐标（﹣1，5），

∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），

∴N''C＝

＝M'C，且∠MCM'＝90°，

∴MM'＝MN''，

∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°

∴点N''（﹣1，5）符合题意，

综上所述：

点N的坐标为：

（﹣1，

）或（﹣1，﹣

）或（﹣1，5）．

4．解：

（1）∵BO＝3AO＝3，

∴点B（3，0），点A（﹣1，0），

∴抛物线解析式为：

y＝

（x+1）（x﹣3）＝

x2﹣

x﹣

，

∴b＝﹣

，c＝﹣

；

（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，

∴CO∥DE，

∴

，

∵BC＝

CD，BO＝3，

∴

＝

，

∴OE＝

，

∴点D横坐标为﹣

，

∴点D坐标为（﹣

，

+1），

设直线BD的函数解析式为：

y＝kx+b，

由题意可得：

，

解得：

，

∴直线BD的函数解析式为y＝﹣

x+

；

（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣

，

+1），

∴AB＝4，AD＝2

，BD＝2

+2，对称轴为直线x＝1，

∵直线BD：

y＝﹣

x+

与y轴交于点C，

∴点C（0，

），

∴OC＝

，

∵tan∠CBO＝

＝

，

∴∠CBO＝30°，

如图2，过点A作AK⊥BD于K，

∴AK＝

AB＝2，

∴DK＝

＝

＝2，

∴DK＝AK，

∴∠ADB＝45°，

如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），

若∠CBO＝∠PBO＝30°，

∴BN＝

PN＝2，BP＝2PN，

∴PN＝

，BP＝

，

当△BAD∽△BPQ，

∴

，

∴BQ＝

＝2+

，

∴点Q（1﹣

，0）；

当△BAD∽△BQP，

∴

，

∴BQ＝

＝4﹣

，

∴点Q（﹣1+

，0）；

若∠PBO＝∠ADB＝45°，