人教A高中数学选修23培优新方案同步课件12第4课时组合的应用习题课.docx
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人教A高中数学选修23培优新方案同步课件12第4课时组合的应用习题课
细探究》
第4课时组合的应用（习题课）
突破重难
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探究点一有限制条件的组合问题
［典例精析］
某医院从10名医疗专家中抽调6名组成医疗小组到社区义诊，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家.问：
⑴抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
（2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
（3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
［解］⑴分步：
首先从4名外科专家中任选2名,有&种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C：
种选法，所以共有Cid=90种抽调方法.
（2）（直接法）按选取的外科专家的人数分类：
1选2名外科专家，共有种选法；
2选3名外科专家，共有W种选法；
3选4名外科专家，共有种选法，
所以至少有2名外科专家的抽调方法共有C：
C：
+C：
C：
+C：
&=185种.
（3）至多有2名外科专家的抽调方法有d+C；C：
+CiC：
=115种.
［类题通法］
有限制条件的组合问题分类及解题策略
有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类：
一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即
数;
意找准对立面，确保不重不漏.
［针对训练］
1•有男运动员6名，女运动员4名,其中男女队长各1名•选
派5人外出比赛，按下列要求求各有多少种选派方法?
（1）男运动员3名，女运动员2名;
（2）至少有1名女运动员;
⑶至少有1名队长参加;
⑷既要有队长，又要有女运动员.
解：
⑴第一步：
选3名男运动员，有&种选法.
第二步：
选2名女运动员，有&种选法.
所以共有C*C：
=120种选法.
（2）法一（直接法）：
至少有1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男,2女3男,3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得共有C：
c：
+c：
c：
++cld=246种选法.
法二（间接法）：
“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.
从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有&（种）.
所以“至少有1名女运动员”的选法为Cf0-c1=246（种）.
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C：
种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C殳种选法，其中不含女运动员的选法有C?
种，所以不选女队长时的选法共有c?
—c?
（种）.所以既有队长又有女运动员的选法共有cHc^-c^=191（种）.
探究点二分组（分配）问题
［典例精析］6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法?
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分为三份，每份2本；
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本.
［解］
（1）先从6本书中选2本给甲，有C：
种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C：
种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C；种选法；
所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有C?
C：
C；=90种分法.
（2）可以分两步完成:
第1步，将6本书分为三份，每份2本，设有兀种方法；第2步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有A；种方法.
根据
（1）的结论和分步乘法计数原理得到CiC^=xAl，所
C
2^>i2「2
tAX—a3—15>
a3
因此分为三份，每份2本，一共有15种分法.
（3）这是“不均匀分组”问题，按照⑴的方法得到一共有CjC?
C3=6x（5x2）x1=60种分法.
（4）在⑶的基础上再进行全排列，所以一共有C：
WA；=
360种分法.
［类题通法］
1・组合应用题中分配问题的常见形式及处理方法如下表所
示:
常见形式
处理方法
〃个不同元素分成加组，每组元素数目均不相同，
非均匀不
编号分组
且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为：
A=Cm1wC/n2H——（/ni+加2）•・・•9Cmmn—+加2+・•・+加加一i）
均匀不编
号分组
将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中尸组元素个数相等，
A不管是否分尽，其分法种数为©（其中A为非均匀不编号分组中的分法数）.如果再有k组均匀组应再除以
非均匀编号分组
〃个不同元素分成加组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为A・A化
均匀编号分组
〃个不同元素分成加组，其中厂组元素个数相同且考虑各组间的顺
4
序，其分法种数为
2.分配问题的处理途径.
将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两个元素个数相同，但因人不同,仍然是可区分的.对于这类问题必须遵循先分组后排列的原则.
［针对训练］
2.将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中.
（2）每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的
编号相同，有多少种放法?
（3）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒,
有多少种放法？
（4）把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒
内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？
解：
⑴这是全排列问题，共有A：
=24种放法.
（2）1个球的编号与盒子编号相同的选法有C：
种，当1个
球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C；・2=8种放法•
（3）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有C：
C；=12种
放法.
III
（4）（隔板法）先将编号为1，2,3,4的4个盒子分别放入
04,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在
OOOOOOOOOOOOOO这14个球中间的13个空中放入三块隔
共有C13=286种放法，如ooloooooloooloooo,即编号
为1,2,3,4的盒子分别放入2血5,7个球.
探究点三排列、组合的综合问题
［典例精析］
已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止.
（1）若恰在第5次测试才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
⑵若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
［解］⑴先排前4次测试，只能取正品，有A?
种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试,有（种）测法，再排余下4件的测试位置，有A：
种测法.所以共有不同测试方法AMrAl=103680（种）.
⑵第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现,从而前4次中有一件正品出现.所以共有不同测试方法C：
・（d・Q）A：
=576（种）.
［类题通法］
解决排列、组合综合问题要遵循两个原则:
（1）按事情发生的过程进行分步；
（2）按元素的性质进行分类.解决时通常从三个途径考
虑:
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑
其他元素;
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑
其他位置;
③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不
合要求的排列或组合数.
［针对训练］
3.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
（1）有女生但人数必须少于男生；
（2）某女生一定担任语文科代表；
（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；
（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.
解:
⑴先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有QG+dc；种，后排有朋种，共（clci+c1cl）-Af=5400种选法.
（2）除去该女生后，先选后排有C*A；=840种选法.
⑶先选后排，但先安排该男生有C*C：
・A：
=3360种选法.
（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有C：
种,再安排该男生有C；种，其余3人全排有朋种，共C*W=360种选法.
［课堂归纳领悟］
1・本节课的重点是有限制条件的组合问题.分组（分配）
问题以及排列、组合的综合问题，也是本节课的难点.
2.本节课要重点掌握的规律方法⑴有限制条件的组合问题的解法，见讲1；
（2）分组（分配）问题的求法，见讲2；
⑶排列、组合的综合问题的解法，见讲3.
3.本节课的易错点是平均分组问题.
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