全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全09 解三角形.docx

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全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全09解三角形

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（09解三角形）

一、选择题：

1.（2015广东文）设

的内角

，

，

的对边分别为

，

，

．若

，

，

，且

，则

（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】试题分析：

由余弦定理得：

，所以

，即

，解得：

或

，因为

，所以

，故选B．

考点：

余弦定理．

二、填空题：

1.（2015安徽文）在

中，

，

，

，则

.

2、（2015北京文）在

中，

，

，

，则

．

【答案】

【解析】

试题分析：

由正弦定理，得

，即

，所以

，所以

.

考点：

正弦定理.

3.（2015北京理）在

中，

，

，

，则

．

【

答案】1

【解析】

试题分析：

考点：

正弦

定理、余弦定理

4．（2015福建文）若

中，

，

，

，则

_______．

【答案】

【解析】

试题分析：

由题意得

．由正弦定理得

，则

，

所以

．

考点：

正弦定理．

5．（2015福建理）若锐角

的面积为

，且

，则

等于________．

【答案】

【解析】

试题分析：

由已知得

的面积为

，所以

，

，所以

．由余弦定理得

，

．

考点：

1、三角形面积公式；2、余弦定理．

6．（2015广东理）设

的内角

，

，

的对边分别为

，

，

，若

，

，

，则

【答案】

．

【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．

7.（2015湖北文、理）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到

处时测得公路北侧一山顶D在西偏北

的方向上，行驶600m后到达

处，测得此山顶在西偏北

的方向上，仰角为

，则此山的高度

______

___m.

【答案】

.

【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.

【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.

考点：

1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.

8.（2015全国新课标Ⅰ卷理）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

【答案】（

，

）

【解析】

试题分析：

如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得

，即

，解得

=

，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，

，即

，解得BF=

，所以AB的取值范围为（

，

）.

考点：

正余弦定理；数形结合思想

9.（2015天津理）在

中，内角

所对的边分别为

，已知

的面积为

，

则

的值为.

【答案】

【解析】试题分析：

因为

，所以

，

又

，解方程组

得

，由余弦定理得

，所以

.

考点：

1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

10.（2015重庆文）设

的内角A，B，C的对边分别为

且

则c=________.

【答案】4

【解析】

试题分析：

由

及正弦定理知：

3a=2b,又因为a=2,所以b=3；

由余弦定理得：

，所以c=4;

故填：

4.

考点：

正弦定理与余弦定理.

11．（2015重庆理）在

ABC中，B=

，AB=

，A的角平分线AD=

则AC=_______.

【答案】

【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）

三、解答题：

1.（2015安徽理）在

中，

点D在

边上，

，求

的长.

2.（2015江苏）在

中，已知

.

（1）求

的长；

（2）求

的值.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

考点：

余弦定理，二倍角公式

3、（2015全国新课标Ⅰ卷文）已知

分别是

内角

的对边，

.

（I）若

，求

（II）若

，且

求

的面积.

【答案】（I）

（II）1

（II）由

（1）知

.

因为

90°，由勾股定理得

.

故

，得

.

所以

ABC的面积为1.

【考点定位】正弦定理；余弦定理；运算求解能力

【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.

4.（2015全国新课标Ⅱ卷文）△ABC中D是BC上的点,AD平分

BAC,BD=2DC.

（I）求

；

（II）若

求

.

【答案】（I）

；

.

考点：

解三角形

试题解析：

（I）由正弦定理得

因为AD平分

BAC,BD=2DC,所以

.

（II）因为

所以

由（I）知

所以

考点：

解三角形

5．（2015全国新课标Ⅱ卷理）

中，

是

上的点，

平分

，

面积是

面积的2倍．

（Ⅰ）求

；

（Ⅱ）若

，

，求

和

的长．

【答案】（Ⅰ）

；（Ⅱ）

．

（Ⅱ）因为

，所以

．在

和

中，由余弦定理得

，

．

．由（Ⅰ）知

，所以

．

考点：

1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．

6.（2015山东文）

中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知

。

求

和

的值.

【答案】

由正弦定理可得

，结合

即得.

试题解析：

在

中，由

，得

.

因为

，所以

，

因为

，所以

，

为锐角，

，

因此

.

由

可得

，又

，所以

.

考点：

1.两角和差的三角函数；2.正弦定理.

7.（2015山东理）设

.

（Ⅰ）求

的单调区间；

（Ⅱ）在锐角

中，角

的对边分别为

若

求

面积的最大值.

【答案】（I）单调递增区间是

；

单调递减区间是

（II）

面积的最大值为

【考点定位】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.

【名师点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.

8．（2015陕西文）

的内角

所对的边分别为

，向量

与

平行.

（I）求

；

（II）若

求

的面积.

【答案】（I）

；（II）

.

试题解析：

（I）因为

，所以

由正弦定理，得

，

又

，从而

，

由于

所以

（II）解法一：

由余弦定理，得

，而

，

，

得

，即

因为

，所以

，

故

面积为

.

解法二：

由正弦定理，得

从而

又由

知

，所以

故

，

所以

面积为

.

考点：

1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.

9．（2015陕西理）

的内角

，

，

所对的边分别为

，

，

．向量

与

平行．

（I）求

；

（II）若

，

求

的面积．

【答案】（I）

；（II）

．

试题解析：

（I）因为

，所以

，

由正弦定理，得

又

，从而

，

由于

，所以

（II）解法一：

由余弦定理，得

而

得

，即

因为

，所以

.

故

ABC的面积为

.

考点：

1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.

10.（2015上海文）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.

如图，

三地有直道相通，

千米，

千米，

千米.现甲、乙两警员同时从

地出发匀速前往

地，经过

小时，他们之间的距离为

（单位：

千米）.甲的路线是

，速度为5千米/小时，乙的路线是

，速度为8千米/小时.乙到达

地后原地等待.设

时乙到达

地.

（1）求

与

的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当

时，求

的表达式，并判断

在

上得最大值是否超过

3？

说明理由.

【答案】

（1）

，

千米；

（2）超过了3千米

.

【

解析】

（1）

，设此时甲运动到点

，则

千米，

所以

千米.

【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.

【

名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，

分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.

11、（2015上海理）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分

如图，

，

，

三地有直道相通，

千米，

千米，

千米.现甲、乙两警员同时从

地出发匀速前往

地，经过

小时，他们之间的距离为

（单位：

千米）.甲的路线是

，速度为

千米/小时，乙的路线是

，速度为

千米/小时.乙到达

地后原地等待.设

时乙到达

地.

（1）求

与

的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是

千米.当

时，求

的表达式，并判断

在

上得最大值是否超过

？

说明理由.

【答案】

（1）

，

（2）

，不超过

.

（2）甲到达

用时

小时；乙到达

用时

小时，从

到

总用时

小时．

当

时，

；

当

时，

.

所以

.

因为

在

上的最大值是

，

在

上的最大值是

，所以

在

上的最大值是

，不超过

.

【考点定位】余弦定理

12.（2015四川理）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四

个内角.

（1）证明：

（2）若

求

的值.

【答案】

（1）详见解析；

（2）

.

【考点定位】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程、化归与转化等数学思想.

【名师点睛】本题第

（1）小题为课本必修4第142页练习1，体现了立足课本的要求.高考中常常将三角恒等变换与解三角形结合起来考，本题即是如此.本题的关键体现在以下两点，一是利用角的关系消角，体现了消元的思想；二是用余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想.

13、（2015四川文）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA、tanB是关于方程x2＋

px－p＋1＝0（p∈R）两个实根.

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB＝1，AC＝

，求p的值

【解析】（Ⅰ）由已知，方程x2＋

px－p＋1＝0的判别式

△＝（

p）2－4（－p＋1）＝3p2＋4p－4≥0

所以p≤－2或p≥

由韦达定理，有tanA＋tanB＝－

p，tanAtanB＝1－p

于是1－tanAtanB＝1－（1－p）＝p≠0

从而tan（A＋B）＝

所以tanC＝－tan（A＋B）＝

所以C＝60°

（Ⅱ）由正弦定理，得

sinB