电动力学第22讲42唯一性定理Word文档格式.docx

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设区域V内给定自由电荷分布，在V的边界上S上给定

（1）电势φ|s

或

（2）电势的法向导数∂φ/∂n|s，

则V内的电场唯一确定。

也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程（4.2---1），在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足该给定的φ或∂φ/∂n值。

证明设有两组不同的解φ'

和φ'

'

满足唯一性条件定理的条件。

令

（4.2---3）

则由▽2φ'

=−ρ/εi，▽2φ'

=−ρ/εi，得

（在每个均匀区Vi内）（4.2---4）

在两均匀区界面上有

（4.2---5）

在整个区域V的边界S上有

（4.2---6a）

=0（4.2---6b）

考虑第i个均匀区Vi的界面Si上的积分

由附录（Ⅰ.7）式，这积分可以变换为体积分

由（4.2---4）式，右边最后一项为零，因此

对所有分区Vi求和得

（4.2---7）

在两均匀区Vi和Vj的界面上，由（4.2---5）式，φ和ε▽φ的法向分量分别相等，但dSi=−dSj。

因此，在（4.2---7）式左边的和式中，内部分界面的积分互相抵消，因而只剩下整个V的边界S上的积分。

但在S上，由（4.2---6）式，或者φ|s，或者∂φ/∂n|s，两情形下面积分都等于零。

因此由（4.2---7）式有

由于被积分函数ε（▽φ）2≥0，上式成立的条件是在V内各点上都有

即在V内

=常量

由（4.2---3）式，φ'

至多只能相差一个常量。

但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。

2.有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需条件有两种类型：

一类是给定每个导体上的电势φi，另一个是给定每个导体上的总电荷Qi。

为简单起见，我们只讨论区域内含一种均匀介质的情形。

如图2-3，设在某区域V内有一些导体，我们把除去导体内部以后的区域称为V'

，因而V'

的边界包括界面S以及每个导体的表面Si。

设V'

内有给定电荷分布ρ，S上给定φ|s或∂φ/∂n|s值。

对上述第一种类型的问题，每个导体上的电势φi亦给定，即给出了V'

所有边界上的φ或∂φ/∂n值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V'

内的电场唯一地被确定。

对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下：

设区域V内由一些导体，给定导体之外的电荷分布ρ，给定各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的φ或∂φ/∂n值，则V内的电场唯一确定。

也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程

（4.2---8）

在第i个导体上满足总电荷条件（4.2---9）

（4.2---9）

（n为导体面的外法线）和等势面条件

常量，（4.2---10）

以及在V的边界S上具有给定的φ|s或∂φ/∂n|s值。

证明设有两个解φ'

和φ"

满足上述条件，令

则φ满足

（

体内）（4.2---11）

=常量（4.2---12）

=0或

=0（4.2---13）

对区域V'

用公式

（4.2---14）

上式左边的面积分包括V的边界S以及每个导体的表面Si上的积分。

作为V'

的边界，Si的法线指向导体内部。

若我们用n表示导体向外的法线分量，由（4.2---12）式，在Si上的积分为

由（4.2---13）式，在S上的面积分亦为零。

因而（4.2---14）式左边等于零。

该式右边最后一项由（4.2---11）式得零，因此，

由此得

即φ'

至多只能相差一个常量，因而电场唯一确定。

当导体外的电势确定后，由边值关系

（4.2---15）

因而导体上的电荷面密度亦同时确定。

由本定理的证明可以看出电场与电荷的相互制约关系。

若空间内有一些导体，给定各导体上的总电荷后，在空间中就激发了电场。

同时导体上的电荷受到电场作用。

在静止情况，导体上的电荷分布使得导体表面为一个等势面。

因此，由导体上的总电荷和导体面为等势面的条件同时确定空间中的电场以及导体上的电荷面密度。

例如图2-4，两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为ε1，右半部电容率为ε2。

设内球壳带总电荷Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。

解设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为φ1,E1，D1和φ2，E2，D2。

由于左右两半是不同介质，因此电场一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。

在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系

（4.2---16）

（4.2---17）

如果我们假设E仍保持球对称性，即

，（左半部）

，（右半部）（4.2---18）

（A为待定常数），则在分界面两侧电场与界面相切，并有相同数值。

因而边值关系（4.2---16）得到满足。

而且由于D2n=D1n=0，因而（4.2---17）式亦被满足。

球对称的E再到体面上处处与球面垂直，因而保证导体球面为等势面。

为了满足内导体总电荷等于Q的条件，我们计算内导体球面上的积分

（4.2---19）

其中S1和S2分别为左右半球面。

把（4.2---18）式代入得

解得

代入（4.2---18）式得

（左半部）

（右半部）（4.2---20）

此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。

虽然E仍保持球对称性，但是D和导体上的电荷面密度σ不具有球对称性。

设内导体球半径为a,则球面上的电荷面密度为

（右半部）

注意导体两半球上的面电荷密度是不同的，但E却保持球对称性。

读者试解释这一点。

第21讲习题解答：

第35-36页，第7，8，9，11，12，13题。

7．有一内外半径分别为

和

的空心介质球，介质的介电常数为ε使介质内均匀带静止自由点荷

求：

（1）空间各点的电场

（2）极化体电荷和极化面电荷分布

解：

（1）在

内取同心球面，以

（

）为半径

∵

∴

在

内取同心球面

，

在

取同心球：

方向：

为正，均为圆心射线方向，

为负，均为汇聚圆心方向

（2）∴

处是真空∴

）

即，介质的总极化电荷为零。

8.内外半径分别为

的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有稳恒均匀自由电流

，导体的磁导率为

，求磁感应强度和磁化电流。

解：

∵

又∵是稳恒

内：

：

导体外和空心部分

则：

∴

9.证明均匀介质内部的体极化电荷密度

总是等于体自由电荷密度

的

倍。

证：

得证。

11、平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，电容率为

，今在两板接上电动势为E的电池，求

（1）电容器两板上的自由电荷面密度

；

（2）介质分界面上的自由电荷面密度

。

（3）若介质是漏电的，电导率分别为

，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？

1.在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向，则

（介质界面上

故：

又根据

，（n从介质1指向介质2）

在上极板的交界面上，

即：

（上极板处）

两绝缘介质界面处：

在下极板的交界面上，

（下极板处）

2.若有漏电，并有稳定电流时，

电流稳定流动，电荷不积累。

两导电介质界面处：

12、证明

（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足

其中

分别为两种介质的介电常数，

分别力界面两侧电场线与法线的夹角。

（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线曲折满足

分别为两种介质的电导率。

证明：

（1）∵

（2）∵

又∵

（稳恒电流

13、用边值关系证明：

在绝缘介质与导体的分界而上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；

在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。

导体内

∴

∴绝缘介质与导体分界面导体外电场

总是垂直于导体表面

∵导体内

，恒定电流时有

补充题：

1．直接给出介质电极化强度P的定义，并推导公式

2．直接给出介质磁化强度M的定义，并推导公式

3．直接给出介质中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义，并给出反映介质性质的介质方程。

4．根据介质中麦可斯韦方程组，推导出介质界面上E、D、B、H的边值关系。

5．

无穷大平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为

，求电场和束缚电荷分布。

6．根据介质中的麦可斯韦方程组，证明均匀介质内部的体磁化电流密度JM总是等于体自由电荷电流密度Jf的

7．由静电场界面间的边值关系，导出电势

的边值关系。