复合函数知识总结及例题docWord格式.docx
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中x应满足
即
故函数
的定义域为
（2）、已知
设
，由此得
，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以
为
例3.已知
的定义域为_________。
所以f的作用范围为
，又f对x作用，作用范围不变，所以
即函数
例4.已知
的定义域为-------
，f的作用范围为
（3）、已知
，
的作用范围为E，又f对
，F为
例5.若函数
，则
的定义域为____________。
的作用范围为
，又f对
作用，所以
评注：
函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。
利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
三、复合函数单调性问题
（1）引理证明
已知函数
.若
在区间
）上是减函数，其值域为（c，d），又函数
在区间（c,d）上是减函数，那么，原复合函数
）上是增函数.
证明：
）内任取两个数
，使
因为
）上是减函数，所以
记
因为函数
在区间（c,d）上是减函数，所以
即
）上是增函数.
（2）．复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
增↗
减↘
以上规律还可总结为：
“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数
的单调性判断步骤：
ⅰ
确定函数的定义域；
ⅱ
将复合函数分解成两个简单函数：
与
。
ⅲ
分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ
若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数
为增函数；
若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数
为减函数。
（4）例题演练
例1、求函数
的单调区间，并用单调定义给予证明
解：
定义域
单调减区间是
设
则
=
∵
∴
∴
>
又底数
即
在
上是减函数
同理可证：
上是增函数
［例］2、讨论函数
的单调性.
［解］由
得函数的定义域为
则当
时，若
，∵
为增函数，∴
为增函数.
若
为减函数.
当
为减函数，若
例3、.已知y=
（2-
）在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2-
0是减函数
由y=
（2-
）在［0，1］上x的减函数，知y=
t是增函数，
∴a＞1
由x
［0，1］时，2-
2-a＞0,得a＜2,
∴1＜a＜2
当0<
a<
1时，函数t=2-
0是增函数
t是减函数，
∴0<
1
2-1＞0,∴0<
综上述，0<
1或1＜a＜2
例4、已知函数
（
为负整数）的图象经过点
，设
.问是否存在实数
使得
上是减函
数，且在区间
上是减函数？
并证明你的结论。
［解析］由已知
，得
其中
为负整数，∴
假设存在实数
，使得
满足条件，设
，当
时，
为减函数，
，∴
∴
①
时,
增函数,∴
.②
由①、②可知
，故存在
一．指数函数与对数函数
．同底的指数函数
与对数函数
互为反函数；
（二）主要方法：
1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；
2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的讨论；
3．比较几个数的大小的常用方法有：
①以
和
为桥梁；
②利用函数的单调性；
③作差．
（三）例题分析：
例1．
（1）若
从小到大依次为；
（2）若
，且
都是正数，则
（3）设
），则
的大小关系是（）
（
）
（
（1）由
得
，故
．
（2）令
；
同理可得：
．（3）取
，知选（
）．
例2．已知函数
求证：
（1）函数
上为增函数；
（2）方程
没有负数根．
（1）设
则
，∴函数
（2）假设
是方程
的负数根，且
即
，①
当
，而由
知
∴①式不成立；
，而
∴①式不成立．
综上所述，方程
例3．已知函数
且
的图象在
轴的一侧；
（2）函数
图象上任意两点连线的斜率都大于
得：
∴当
，即函数
，此时函数
轴的右侧；
轴的左侧．
∴函数
（2）设
、
是函数
图象上任意两点，且
，则直线
的斜率
时，由
（1）知
，又
同步练习
（二）同步练习：
1、已知函数
，求函数
答案：
2、已知函数
，求
3、已知函数
4、设
的定义域为（）
A.
B.
C.
D.
选C.由
得，
故
5、已知函数
［解析］由已知，有
（1）当
时，定义域为
（2）当
时，有
定义域为
（3）当
.
故当
［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。
练习二
（5）同步练习：
1．函数y＝
（x2－3x＋2）的单调递减区间是（ ）
A．（－∞，1）B．（2，＋∞）
C．（－∞，
）D．（
，＋∞）
先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝
（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．
B
2找出下列函数的单调区间.
（1）
（2）
（1）在
上是增函数，在
上是减函数。
（2）单调增区间是
，减区间是
3、讨论
的单调性。
时
为增函数，
为增函数。
4．求函数y＝
（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．
由
（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛
｜
＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝
（x2－5x＋4）是由y＝
（x）与
（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝
（x）在其定义域上是单调递减的，函数
（x）＝x2－5x＋4在（－∞，
）上为减函数，在［
，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝
（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝
（x）为减函数、
（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；
y＝
（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝
（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．
变式练习
一、选择题
1．函数f（x）＝
的定义域是（ ）
A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）
C．（－∞，2）D．
解析：
要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，
所以
解得1＜x≤2．
答案：
D
2．函数y＝
A．（－∞，1）B．（2，＋∞）
C．（－∞，
3．若2
（x－2y）＝
x＋
y，则
的值为（ ）
A．4B．1或
C．1或4D．
错解：
由2
y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有
＝
或
＝1．
选B
正解：
上述解法忽略了真数大于0这个条件
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