第三章多维随机变量及其分布精文档格式.docx
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又如，在制定我国的服装标准时，需同时考虑人体的上身长、臂长、胸围、下肢长、腰围、臀围等多个变量。
对于同一个实验结果的各个随机变量之间，一般有某种联系，因而需要把它们作为一个整体来研究。
本章只介绍二维情况，有关的内容可以推广到多于二维的情况。
Definition3.1设
为随机试验
的样本空间,
是定义在
上的随机变量，则称有序数组
为二维随机变量或称为二维随机向量，称
的取值规律为二维分布.（Suppose
isasamplespaceforrandomexperiment,
arerandomvariablesonS,thendefineorderedarray
istwo-dimensionrandomvariableortwo-dimensionrandomvector,theruleofvaluefor
istwo-dimensiondistribution.）
Definition3.2设
是二维随机变量，对于任意实数
，称二元函数
为二维随机变量
的分布函数，或称为
的联合分布函数。
（Suppose
istwo-dimensionrandomvariable,forarbitraryrealvalue
，call
distributionfunctionfortwo-dimensionrandomvariable
orunitydistributionfunction.）
如果把二维随机变量
看作平面上具有随机坐标
的点，那末分布函数
在
处的函数值就是随机点
落在以点
为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。
二维随机变量的分布函数的性质（Thepropertiesofdistributionfunctionfortwo-dimensionrandomvariable）：
（1）
;
（2）
是变量
的不减函数，即：
对于任意固定的
，当
时有
；
时有
.
（3）对于任意固定的
，
并且
，
二、二维离散型随机变量的概率分布（Probabilitydistributionoftwo-dimensiondiscreterandomvariable）
Definition3.3如果二维随机变量
可能取的值只有有限个或可列个，则称
为二维离散型随机变量。
（Ifthevalueoftwo-dimensionrandomvariable
isfiniteorcountable,then
iscalledtwo-dimensiondiscreterandomvariable.）
显然，如果
是二维离散型随机变量，则
均为一维离散型随机变量；
反之亦成立。
Definition3.4设二维随机变量
所有可能取的值为
则称
为
的概率分布，或称为
的联合分布。
（Ifallvalueoftwo-dimensionrandomvariable
is
thencall
probabilitydistributionorunitydistribution.）
二维离散型随机变量
的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示：
…
...
...
...............
...............
显然，
具有以下性质：
（1）
;
（3）如果
是二维离散型随机变量，那末它的分布函数可按下式求得：
，这里和式是对一切满足不等式
的
来求和的。
Example3.11个口袋中有大小形状相同的2红、4白6个球，从袋中不放回地取两次球。
设随机变量
，
。
求
的分布律及
Solution利用概率的乘法公式及条件概率定义，可得二维随机变量
的联合分布律
把
的联合分布律写成表格的形式：
Y
X
0
1
1
三、二维连续型随机变量的概率分布（Probabilitydistributionoftwo-dimensioncontinuousrandomvariable）
Definition3.5设
是二维随机变量，如果存在一个非负函数
，使得对于任意实数
，都有
是二维连续型随机变量，函数
称为二维连续型随机变量
的分布密度，或称为
的联合密度。
（Suppose
istwo-dimensionrandomvariable,ifthereisnonnegative
forarbitraryrealvalue
suchthat
thencall
two-dimensioncontinuousrandomvariable.
iscalledthedistributiondensityoftwo-dimensioncontinuousrandomvariable
.）
二维分布密度具有以下性质：
（1）
（3）
，其中
平面上的任意一个区域；
（4）如果二维连续型随机变量
的密度
连续，
的分布函数为
，则
二元函数
在几何上表示一个曲面，通常称这个曲面为分布曲面（distributioncurvedsurface）。
由性质
（2）知，介于分布曲面和
平面之间的空间区域的全部体积等于1；
由性质（3）知，
落在区域
内的概率等于以
为底、曲面
为顶的柱体体积。
这里的性质
（1），
（2）是概率密度的基本性质。
我们不加证明地指出：
任何一个二元实函数
，若它满足性质
（1），
（2），则它可以成为某二维随机变量的概率密度。
二维均匀分布（two-dimensionuniformdistribution）设
为二维随机变量，
是平面上的一个有界区域，其面积为
，又设
若
的密度为上式定义的函数
，则称二维随机变量
上服从二维均匀分布。
可验证
满足概率密度的基本性质。
二维正态分布（two-dimensionnormaldistribution）若二维随机变量
的概率密度为
其中
都是常数，且
，则称
服从二维正态分布
可以证明
满足概率密度的两条基本性质。
3.2边缘分布（MarginalDistribution）
作为
的整体的二维随机变量
的取值情况，可由它的联合分布函数为
或它的联合密度函数
全面地描述。
由于
都是随机变量，因此也可以单独考虑某一个随机变量的概率分布问题。
Definition3.6设
是二维随机变量，称分量
的概率分布为
关于
的边缘分布；
分量
的边缘分布。
它们的分布函数与密度函数分别记作
与
istwo-dimensionrandomvariable,calltheprobabilitydistributionofmeasure
marginaldistributionon
for
theprobabilitydistributionofmeasureYmarginaldistributiononYfor
.Theirdistributionfunctionanddensityfunctionmarkedby
and
leaveeachother.）
的联合分布全面的描述了
的取值情况，因此，当已知
的联合分布时，是容易求得关于
或关于
先看离散情况：
（其中
是必然事件）
若已知
，则随机变量
的边缘分布如下：
同样得到
的边缘分布：
记
所以关于
的边缘分布列为：
...
...
下面看连续型的情形：
Theorem3.1设
是
的联合密度函数，则
分别是
的边缘分布密度函数。
istheunitydensityfunctionof
then
isthemarginaldistributiondensityfunctionfor
on
3.3条件分布（ConditionalDistribution）
描述二维随机变量（X,Ｙ）整体的统计规律用联合分布；
描述单个分量的统计规律用边缘分布，当一个分量取定一个值，在此条件下考虑另一个分量的统计规律，就是所谓的条件分布.
一、离散型
设
是二维离散型随机变量，其分布率为
和
的边缘分布率为
，我们考虑事件
已经发生的条件下事件
发生的概率，由条件概率公式可得
易知上述条件概率具有分步率的性质：
（2）
于是我们引入下面的定义.
Definition3.7设
是二维离散型随机变量，对于固定的
，若
条件下随机变量
的条件分布率。
同样，对于固定的
为在
条件分布率就是在边缘分布率的基础上都加上“另一个随机变量取定某值”这个条件.
从定义易知，条件分布率也满足非负性和规范性.
Example3.2设
的联合分布率为
012
0.10.30.1
0.20.20.1
求在
的条件下，
的条件分布率；
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