第三章多维随机变量及其分布精文档格式.docx

1、又如，在制定我国的服装标准时，需同时考虑人体的上身长、臂长、胸围、下肢长、腰围、臀围等多个变量。对于同一个实验结果的各个随机变量之间，一般有某种联系，因而需要把它们作为一个整体来研究。本章只介绍二维情况，有关的内容可以推广到多于二维的情况。Definition 3.1 设为随机试验的样本空间,是定义在上的随机变量，则称有序数组为二维随机变量或称为二维随机向量，称的取值规律为二维分布. （Suppose is a sample space for random experiment, , are random variables on S, then define ordered array i

2、s two-dimension random variable or two-dimension random vector, the rule of value for is two-dimension distribution.）Definition 3.2 设是二维随机变量，对于任意实数，称二元函数为二维随机变量的分布函数，或称为的联合分布函数。（Suppose is two-dimension random variable, for arbitrary real value ，call distribution function for two-dimension random va

3、riable or unity distribution function . ）如果把二维随机变量看作平面上具有随机坐标的点，那末分布函数在处的函数值就是随机点落在以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。二维随机变量的分布函数的性质（The properties of distribution function for two-dimension random variable） ： （1） ;（2） 是变量的不减函数，即：对于任意固定的，当时有 ；时有.（3） 对于任意固定的，,并且 ，二、 二维离散型随机变量的概率分布（Probability distribution of tw

4、o-dimension discrete random variable） Definition 3.3 如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个，则称为二维离散型随机变量。（If the value of two-dimension random variable is finite or countable, then is called two-dimension discrete random variable.）显然，如果是二维离散型随机变量，则均为一维离散型随机变量；反之亦成立。Definition 3.4 设二维随机变量所有可能取的值为则称为的概率分布，或称为的联合分布。（I

5、f all value of two-dimension random variable isthen callprobability distribution or unity distribution .）二维离散型随机变量的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示： . . . . . . . . . . . 显然，具有以下性质：（1） ;（3）如果是二维离散型随机变量，那末它的分布函数可按下式求得：，这里和式是对一切满足不等式的来求和的。Example 3.1 1个口袋中有大小形状相同的2红、4白6个球，从袋中不放回地取两次球。设随机变量， 。 求的分布律及Solution 利用概率的乘

6、法公式及条件概率定义，可得二维随机变量的联合分布律把的联合分布律写成表格的形式： Y X 0 11三、 二维连续型随机变量的概率分布（Probability distribution of two-dimension continuous random variable）Definition 3.5 设是二维随机变量，如果存在一个非负函数，使得对于任意实数，都有是二维连续型随机变量，函数称为二维连续型随机变量的分布密度，或称为的联合密度。 （Suppose is two-dimension random variable, if there is nonnegative, for arbitr

7、ary real value such thatthen call two-dimension continuous random variable. is called the distribution density of two-dimension continuous random variable .）二维分布密度具有以下性质：（1） （3） ，其中平面上的任意一个区域；（4）如果二维连续型随机变量的密度连续，的分布函数为，则二元函数在几何上表示一个曲面，通常称这个曲面为分布曲面（distribution curved surface）。由性质（2）知，介于分布曲面和平面之间的空间区

8、域的全部体积等于1；由性质（3）知，落在区域内的概率等于以为底、曲面为顶的柱体体积。这里的性质（1），（2）是概率密度的基本性质。我们不加证明地指出：任何一个二元实函数，若它满足性质（1），（2），则它可以成为某二维随机变量的概率密度。二维均匀分布（two-dimension uniform distribution） 设为二维随机变量，是平面上的一个有界区域，其面积为，又设若的密度为上式定义的函数，则称二维随机变量上服从二维均匀分布。可验证满足概率密度的基本性质。二维正态分布（two-dimension normal distribution） 若二维随机变量的概率密度为其中都是常数，且，则

9、称服从二维正态分布可以证明满足概率密度的两条基本性质。3.2 边缘分布（Marginal Distribution）作为的整体的二维随机变量的取值情况，可由它的联合分布函数为或它的联合密度函数全面地描述。由于都是随机变量，因此也可以单独考虑某一个随机变量的概率分布问题。Definition 3.6 设是二维随机变量，称分量的概率分布为关于的边缘分布；分量的边缘分布。它们的分布函数与密度函数分别记作与 is two-dimension random variable, call the probability distribution of measuremarginal distributio

10、n on for the probability distribution of measure Y marginal distribution on Y for .Their distribution function and density function marked by andleave each other.）的联合分布全面的描述了的取值情况，因此，当已知的联合分布时，是容易求得关于或关于先看离散情况：（其中是必然事件）若已知，则随机变量的边缘分布如下：同样得到的边缘分布：,记,所以关于的边缘分布列为：. .下面看连续型的情形：Theorem 3.1 设是的联合密度函数，则分别是

11、的边缘分布密度函数。is the unity density function of , then is the marginal distribution density function for on3.3条件分布（Conditional Distribution）描述二维随机变量（X,）整体的统计规律用联合分布；描述单个分量的统计规律用边缘分布，当一个分量取定一个值，在此条件下考虑另一个分量的统计规律，就是所谓的条件分布.一、离散型设是二维离散型随机变量，其分布率为和的边缘分布率为，我们考虑事件已经发生的条件下事件发生的概率，由条件概率公式可得易知上述条件概率具有分步率的性质：（2）于是我们引入下面的定义.Definition 3.7 设是二维离散型随机变量，对于固定的，若条件下随机变量的条件分布率。同样，对于固定的为在条件分布率就是在边缘分布率的基础上都加上“另一个随机变量取定某值”这个条件.从定义易知，条件分布率也满足非负性和规范性.Example 3.2 设的联合分布率为 0 1 20.1 0.3 0.10.2 0.2 0.1求在的条件下，的条件分布率；