二次函数图像与系数关系含答案Word文档下载推荐.docx
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计算题;
压轴题.
分析:
①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(﹣1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;
②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;
③根据两根之积
=﹣3,得到a=﹣
,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围;
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=
c,利用c的取值范围可以求得n的取值范围.
解答:
解:
①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴直线是x=1,
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),
∴根据图示知,当x>3时,y<0.
故①正确;
②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.
∵对称轴x=﹣
=1,
∴b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.
故②错误;
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),
∴﹣1×
3=﹣3,
∴
=﹣3,则a=﹣
.
∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),
∴2≤c≤3,
∴﹣1≤﹣
≤﹣
,即﹣1≤a≤﹣
故③正确;
④根据题意知,a=﹣
,﹣
∴b=﹣2a=
,
∴n=a+b+c=
c.
∵2≤c≤3,
≤
c≤4,即
≤n≤4.
故④错误.
综上所述,正确的说法有①③.
故选D.
点评:
本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
2.(2013•烟台)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:
①abc<0;
②2a﹣b=0;
③4a+2b+c<0;
④若(﹣5,y1),(
,y2)是抛物线上两点,则
y1>y2.其中说法正确的是( )
②③
①②④
②③④
根据图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;
把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,求出点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大即可判断④.
∵二次函数的图象的开口向上,
∴a>0,
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c<0,
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1,
∴﹣
=﹣1,
∴b=2a>0,
∴abc<0,∴①正确;
2a﹣b=2a﹣2a=0,∴②正确;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).
∴与x轴的另一个交点的坐标是(1,0),
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得:
y=4a+2b+c>0,∴③错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=﹣1,
∴点(﹣5,y1)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y1),
根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大,
∵
<3,
∴y2<y1,∴④正确;
故选C.
本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力.
3.(2013•十堰)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:
①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是( )
5个
4个
3个
2个
由抛物线的对称轴在y轴右侧,可以判定a、b异号,由此确定①正确;
由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac>0,又抛物线过点(0,1),得出c=1,由此判定②正确;
由抛物线过点(﹣1,0),得出a﹣b+c=0,即a=b﹣1,由a<0得出b<1;
由a<0,及ab<0,得出b>0,由此判定④正确;
由a﹣b+c=0,及b>0得出a+b+c=2b>0;
由b<1,c=1,a<0,得出a+b+c<a+1+1<2,由此判定③正确;
由图象可知,当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时,函数值y>0,由此判定⑤错误.
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)过点(0,1)和(﹣1,0),
∴c=1,a﹣b+c=0.
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴x=﹣
>0,
∴a与b异号,∴ab<0,正确;
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴b2﹣4ac>0,
∵c=1,∴b2﹣4a>0,b2>4a,正确;
④∵抛物线开口向下,∴a<0,
∵ab<0,∴b>0.
∵a﹣b+c=0,c=1,∴a=b﹣1,
∵a<0,∴b﹣1<0,b<1,
∴0<b<1,正确;
③∵a﹣b+c=0,∴a+c=b,
∴a+b+c=2b>0.
∵b<1,c=1,a<0,
∴a+b+c=a+b+1<a+1+1=a+2<0+2=2,
∴0<a+b+c<2,正确;
⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(﹣1,0),设另一个交点为(x0,0),则x0>0,
由图可知,当x0>x>﹣1时,y>0,错误;
综上所述,正确的结论有①②③④.
故选B.
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,不等式的性质,难度适中.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a的符号由抛物线开口方向决定;
b的符号由对称轴的位置及a的符号决定;
c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定;
抛物线与x轴的交点个数,决定了b2﹣4ac的符号,此外还要注意二次函数与方程之间的转换.
4.(2012•沙坪坝区模拟)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( )
abc<0
a+c<b
b>2a
4a>2b﹣c
二次函数图象与系数的关系;
二次函数与不等式(组).4946047
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
A、∵图象开口向下,∴a<0,∵与y轴交于正半轴,∴c>0,∵对称轴在y轴左侧,﹣
<0,∴b<0,∴abc>0,故本选项错误;
B、∵当x=﹣1时,对应的函数值y>0,即a﹣b+c>0,∴a+c>b,故本选项错误;
C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
>﹣1,又a<0,∴b>2a,故本选项正确;
D、∵当x=﹣2时,对应的函数值y<0,即4a﹣2b+c<0,∴4a<2b﹣c,故本选项错误.
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与不等式的关系,难度中等.
5.(2013•鄂州)小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:
①ab>0;
②a+b+c<0;
③b+2c>0;
④a﹣2b+4c>0;
⑤
你认为其中正确信息的个数有( )
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
①如图,∵抛物线开口方向向下,∴a<0.
=﹣
,∴b=
a<0,
∴ab>0.故①正确;
②如图,当x=1时,y<0,即a+b+c<0.
故②正确;
③如图,当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
∴2a﹣2b+2c>0,即3b﹣2b+2c>0,
∴b+2c>0.
④如图,当x=﹣
时,y>0,即
a﹣
b+c>0.
∴a﹣2b+4c>0,
故④正确;
⑤如图,对称轴x=﹣
,则
.故⑤正确.
综上所述,正确的结论是①②③④⑤,共5个.
6.(2013•德州)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:
①b2﹣4c>0;
②b+c+1=0;
③3b+c+6=0;
④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0.
其中正确的个数为( )
1
2
3
4
由函数y=x2+bx+c与x轴无交点,可得b2﹣4c<0;
当x=1时,y=1+b+c=1;
当x=3时,y=9+3b+c=3;
当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,可得x2+bx+c<x,继而可求得答案.
∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点,
∴b2﹣4c<0;
故①错误;
当x=1时,y=1+b+c=1,
∵当x=3时,y=9+3b+c=3,
∴3b+c+6=0;
③正确;
∵当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,
∴x2+bx+c<x,
∴x2+(b﹣1)x+c<0.
故④正确.
主要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
7.(2012•天门)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:
①b﹣2a=0;
②abc<0;
③a﹣2b+4c<0;
④8a+c>0.其中正确的有( )
1个
0个
首先根据二次函数图象开口方向可得a>0,根据图象与y轴交点可得c<0,再根据二次函数的对称轴x=﹣
,结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1,结合对称轴公式可判断出①的正误;
根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0,根据a、b、c的正负即可判断出②的正误;
利用a﹣b+c=0,求出a﹣2b+4c<0,再利用当x=4时,y>0,则16a+4b+c>0,由①知,b=﹣2a,得出8a+c>0.
解