《线性代数》知识点归纳整理Word格式.docx

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（3）例题：

课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题

02、主对角线

一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3…n，即从左上到右下

的一条斜线。

与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。

03、转置行列式

即元素

与元素

的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，

与

的位置对调、

的位置对调。

04、行列式的性质

详见课本P5-8（性质1.1.1~1.1.7）

其中，性质1.1.7可以归纳为这个：

＋

＋…＋

（i表示第i行，k表示第k列）

熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。

例题：

作业P1第2题

05、计算行列式

（1）计算二阶行列式

：

①方法（首选）：

＝

（即，左上角×

右下角－右上角×

左下角）

②方法：

课本P14

（2）计算三阶行列式

（－1）1＋1M11＋

（－1）1＋2M12＋

（－1）1＋3M13

N阶行列式的计算以此类推。

通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r是row，即行。

c是column，即列）

例题：

课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题

（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝

…

（主对角线上元素的乘积）

课本P10、作业P3第4小题

有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式

课本P11

（4）范德蒙行列式：

详见课本P12-13

（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全为1的一行，方便化简行列式。

作业P2第1小题、作业P2第2小题

06、矩阵中未写出的元素

课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为0

07、几类特殊的方阵

详见课本P30-32

（1）上（下）三角矩阵：

类似上（下）三角行列式

（2）对角矩阵：

除了主对角线上的元素外，其他元素都为0

（3）数量矩阵：

主对角线上的元素都相同

（4）零矩阵：

所有元素都为0，记作O

（5）单位矩阵：

主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En（其行列式的值为1）

08、矩阵的运算规则

（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同；

矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）：

①课本P32“A＋B”、“A－B”

②加法交换律：

A＋B＝B＋A

③加法结合律：

A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C

（2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：

①数与矩阵的乘法：

I.课本P33“kA”

II.

＝kn

（因为k

只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式）

②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：

×

描述：

令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为

A的值为：

①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝

B的值为：

①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即B＝

C的值为：

①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即C＝

D的值为：

①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即D＝

.

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。

③数乘结合律：

k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）

④数乘分配律：

（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB

⑤乘法结合律：

（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：

A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC

⑦需注意的：

I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵

II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立

III.一般来讲，（AB）k≠AkBk，因为矩阵乘法不满足交换律

IV.课本P40习题第2题：

（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2.当AB＝BA时，以上三个等式均成立

（3）矩阵的转置运算规律：

①（AT）T＝A

②（A±

B）T＝AT±

BT

③（kA）T＝kAT

④（AB）T＝BTAT

⑤（ABC）T＝CTBTAT

⑥（ABCD）T＝DTCTBTAT

（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：

（详见课本P46）

（5）例题：

课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1

大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业

P5第4大题

09、矩阵多项式

详见课本P36

10、对称矩阵

（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）

（2）①同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵

②数与对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵

③对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵

11、矩阵的分块

线代老师说这部分的内容做了解即可。

详见课本P38-40

12、矩阵的初等变换

三种行变换与三种列变换：

详见课本P42

作业P6全部

13、矩阵等价

若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为A

B

14、初等矩阵

（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。

详见课本P48-49

（2）设A为m×

n矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的

m阶初等矩阵；

A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.详见课本P50-51

（3）课本P51第3大题

15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵

（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵

（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：

若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。

在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。

课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题

16、逆矩阵

（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称方阵A是可逆的，

并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）

（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A－1，AA－1＝E

（3）n阶方阵A可逆的充要条件为

≠0，并且，当A可逆时，

A－1＝

（证明详见课本P54）

课本P59第1大题

（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）

（5）性质：

设A，B都是n阶的可逆方阵，常数k≠0，那么

①（A－1）－1＝A②AT也可逆，并且（AT）-1＝（A-1）T

③kA也可逆，并且

（kA）-1＝A-1

④AB也可逆，并且（AB）-1＝B-1A-1

⑤A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般（A＋B）-1≠A-1＋B-1

⑥AA-1＝E

AA-1

E

＝1

A

A-1

＝1

课本P58例2.3.7、作业P7第1题

（6）分块对角矩阵的可逆性：

课本P57

（7）由方阵等式求逆矩阵：

课本P58例2.3.6

（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到

的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=1≠0可逆，所

以初等矩阵可逆）

（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵

（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵

（11）方阵A可逆的充要条件是：

A可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：

课本P67）

（12）利用初等行变换求逆矩阵：

（例题：

课本P68、课本P71）

（13）形如AX＝B的矩阵方程，当方阵A可逆时，有A-1AX＝A-1B，即X＝A-1B.

此时有：

矩阵方程的例题：

课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、

课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题

矩阵方程计算中易犯的错误：

课本P56“注意不能写成……”

17、充分性与必要性的证明题

（1）必要性：

由结论推出条件

（2）充分性：

由条件推出结论

课本P41第8大题、作业P5第5大题

18、伴随矩阵

（1）定义：

课本P52定义2.3.2

（2）设A为n阶方阵（n≥2），则AA*＝A*A＝

En（证明详见课本P53-54）

（3）性质：

（注意伴随矩阵是方阵）

①

A*＝A－1

②（kA）*＝

·

（kA）-1＝kn

A-1＝kn

A-1＝kn-1A*（k≠0）

③|A*|＝|

A－1|＝

n·

|A－1|＝

（因为存在A－1，所以

≠0）＝

n-1

④（A*）*＝（

A－1）*＝|

A－1|·

（

A－1）－1＝

n|A－1|·

（A－1）－1

＝

n

A＝

n-2A（因为AA－1＝E，所以A－1的逆矩阵是A，即（A－1）－1）

⑤（AB）*＝B*A*

⑥

（A*）-1＝（A-1）*＝

（4）例题：

课本P53、课本P55、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、

作业P8全部

19、矩阵的标准形：

课本P61-62

（2）任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形

20、矩阵的秩：

课本P63

（2）性质：

设A是m×

n的矩阵，B是p×

q的矩阵，则

①若k是非零数，则R（kA）＝R（A）

②R（A）＝R（AT）

③等价矩阵有相同的秩，即若A

B，则R（A）＝R（B）

④0≤R（Am×

n）≤min

⑤R（AB）≤min

⑥设A与B都是m×

n矩阵