《线性代数》知识点归纳整理Word格式.docx

1、（3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题02、主对角线一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1, 2, 3 n，即从左上到右下的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。03、转置行列式即元素与元素的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，与的位置对调、的位置对调。04、行列式的性质详见课本P5-8（性质1.1.1 1.1.7）其中，性质1.1.7可以归纳为这个： （i表示第i行，k表示第k列）熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。 例题：作业P1第2题05、计算行列式（1）计算二阶行列式：

2、方法（首选）：（即，左上角右下角右上角左下角）方法：课本P14（2）计算三阶行列式 （1）11M11 （1）12M12 （1）13M13N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r是row，即行。c是column，即列）例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：D（主对角线上元素的乘积）课本P10、作业P3第4小题有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式课本P11（4）范德蒙行列式：详见课本P12-13（

3、5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全为1的一行，方便化简行列式。作业P2第1小题、作业P2第2小题06、矩阵中未写出的元素课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为007、几类特殊的方阵详见课本P30-32（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式（2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0（3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同（4）零矩阵：所有元素都为0，记作O（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En （其行列式的值为1）08、矩阵的运算规则（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的

4、行数与矩阵B的行数相同；矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）：课本P32“AB”、“AB”加法交换律：ABBA加法结合律：A（BC）（AB）C（2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：数与矩阵的乘法：I.课本P33“kA”II.kn（因为k只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式）同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：描述：令左边的矩阵为，令右边的矩阵为，令计算得到的矩阵为A的值为：中第1行的每个元素分别乘以中第1列的每个元素，并将它们相加。即AB的值为：中第1行的每个元素分别乘以中第2列的每个元素，并将它们相加。即BC的值为：中第2行的每个元素分别乘以中第1列的每个元素

5、，并将它们相加。即CD的值为：中第2行的每个元素分别乘以中第2列的每个元素，并将它们相加。即D.B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。数乘结合律：k（lA）（kl）A ，（kA）BA（kB）k（AB）数乘分配律：（kl）AkAlA ，k（AB）kAkB乘法结合律：（AB）CA（BC）乘法分配律：A（BC）ABAC ，（AB）CACBC需注意的：I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立III.一般来讲，（AB）k A k B k，因为矩阵乘法不满足交换律IV.课本P40习题第2题：（AB）2不一定等于A22ABB2 ，（AB

6、）2不一定等于A22ABB2，（AB）（AB）不一定等于A2B2 . 当ABBA时，以上三个等式均成立（3）矩阵的转置运算规律： （AT ）TA （AB）TA TB T （kA）TkAT （AB）TB TAT （ABC）TCTB TAT （ABCD）TDTCTB TAT（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本P46）（5）例题：课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业P5第4大题09、矩阵多项式详见课本P 3610、对称矩阵（1）对称矩

7、阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）（2）同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵数 与 对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵11、矩阵的分块线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本P38-4012、矩阵的初等变换三种行变换与三种列变换：详见课本P 42作业P6全部13、矩阵等价若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为AB14、初等矩阵（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49（2）设A为mn矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m

8、阶初等矩阵；A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.详见课本P50-51（3）课本P51第3大题15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。课本P45、

9、作业P6全部、课本P51第2大题16、逆矩阵（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得ABBAE，则称方阵A是可逆的，并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A1，AA1E（3）n阶方阵A可逆的充要条件为0，并且，当A可逆时，A1（证明详见课本P54）课本P59第1大题（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）（5）性质：设A，B都是n阶的可逆方阵，常数k0，那么 （A1）1A AT也可逆，并且（AT ）-1（A-1）T kA也可逆，并且 （kA）-1A-1 AB也可逆，并且（AB） -1B-

10、1A-1 AB不一定可逆，而且即使AB可逆，一般（AB）-1A-1B-1 AA-1E AA-1E1 AA-11 课本P58例2.3.7、作业P7第1题（6）分块对角矩阵的可逆性：课本P57（7）由方阵等式求逆矩阵：课本P58例2.3.6（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=10可逆，所以初等矩阵可逆）（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵（11）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：课本P67）（12）利用

11、初等行变换求逆矩阵：（例题：课本P68、课本P71）（13）形如AXB的矩阵方程，当方阵A可逆时，有A-1 AXA-1B，即XA-1B.此时有：矩阵方程的例题：课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题矩阵方程计算中易犯的错误：课本P56“注意不能写成”17、充分性与必要性的证明题（1）必要性：由结论推出条件（2）充分性：由条件推出结论课本P41第8大题、作业P5第5大题18、伴随矩阵（1）定义：课本P52 定义2.3.2（2）设A为n阶方阵（n2），则AA*A*AEn（证明详见课本P53-

12、54）（3）性质：（注意伴随矩阵是方阵） A*A1 （kA）* （kA）-1 k nA-1 k n A-1 k n-1A*（k0） |A*| | A1 | n| A1| （因为存在A1，所以0 ） n-1 （A*）* （A1）* | A1 |（A1）1 n | A1|（A1）1 nA n-2A （因为AA1 E，所以A1的逆矩阵是A，即（A1）1 ） （AB） *B*A* （A*）-1（A-1） *（4）例题：课本P53、课本P55 、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、作业P8全部19、矩阵的标准形：课本P61-62（2）任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形20、矩阵的秩：课本P63（2）性质：设A是mn的矩阵，B是pq的矩阵，则 若k是非零数，则R （kA）R （A） R （A）R （AT ） 等价矩阵有相同的秩，即若AB，则R （A）R （B） 0R （Amn）min R （AB）min 设A与B都是mn矩阵