遗传算法及优化问题重要有代码.docx
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遗传算法及优化问题重要有代码
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实验十遗传算法与优化问题
一、问题背景与实验目的
遗传算法（GeneticAlgorithm—GA），是模拟达尔文的遗传选择和自然淘汰的生物进化过程的计算模型，它是由美国Michigan大学的J.Holland教授于1975
年首先提出的．遗传算法作为一种新的全局优化搜索算法，以其简单通用、鲁棒
性强、适于并行处理及应用范围广等显著特点，奠定了它作为21世纪关键智能
计算之一的地位．
本实验将首先介绍一下遗传算法的基本理论，然后用其解决几个简单的函数最值问题，使读者能够学会利用遗传算法进行初步的优化计算．
1．遗传算法的基本原理
遗传算法的基本思想正是基于模仿生物界遗传学的遗传过程．它把问题的参
数用基因代表，把问题的解用染色体代表（在计算机里用二进制码表示），从而得到一个由具有不同染色体的个体组成的群体．这个群体在问题特定的环境里生存竞争，适者有最好的机会生存和产生后代．后代随机化地继承了父代的最好特征，并也在生存环境的控制支配下继续这一过程．群体的染色体都将逐渐适应环境，不断进化，最后收敛到一族最适应环境的类似个体，即得到问题最优的解．值得注意的一点是，现在的遗传算法是受生物进化论学说的启发提出的，这种学说对我们用计算机解决复杂问题很有用，而它本身是否完全正确并不重要（目前生物界对此学说尚有争议）．
（1）遗传算法中的生物遗传学概念
由于遗传算法是由进化论和遗传学机理而产生的直接搜索优化方法；故而在这个算法中要用到各种进化和遗传学的概念．
首先给出遗传学概念、遗传算法概念和相应的数学概念三者之间的对应关系．这些概念如下：
序号
遗传学概念
遗传算法概念
数学概念
1
个体
要处理的基本对象、结构
也就是可行解
2
群体
个体的集合
被选定的一组可行解
3
染色体
个体的表现形式
可行解的编码
4
基因
染色体中的元素
编码中的元素
5
基因位
某一基因在染色体中的位置
元素在编码中的位置
6
适应值
个体对于环境的适应程度，
可行解所对应的适应函数
或在环境压力下的生存能力
值
7
种群
被选定的一组染色体或个体
根据入选概率定出的一组
可行解
8
选择
从群体中选择优胜的个体，
保留或复制适应值大的可
淘汰劣质个体的操作
行解，去掉小的可行解
9
交叉
一组染色体上对应基因段的
根据交叉原则产生的一组
交换
新解
10
交叉概率
染色体对应基因段交换的概
闭区间[0,1]上的一个值，
率（可能性大小）
一般为0.65~0.90
11
变异
染色体水平上基因变化
编码的某些元素被改变
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12
变异概率
染色体上基因变化的概率
开区间（0,1）内的一个值,
（可能性大小）
一般为0.001~0.01
13
进化、
个体进行优胜劣汰的进化，
目标函数取到最大值，最
适者生存
一代又一代地优化
优的可行解
（2）遗传算法的步骤
遗传算法计算优化的操作过程就如同生物学上生物遗传进化的过程，
主要有
三个基本操作（或称为算子）：
选择（Selection）、交叉（Crossover）、变异（Mutation）．
遗传算法基本步骤主要是：
先把问题的解表示成“染色体”，在算法中也就是以二进制编码的串，在执行遗传算法之前，给出一群“染色体”，也就是假设的可行解．然后，把这些假设的可行解置于问题的“环境”中，并按适者生存的原则，从中选择出较适应环境的“染色体”进行复制，再通过交叉、变异过程产生更适应环境的新一代“染色体”群．经过这样的一代一代地进化，最后就会收敛到最适应环境的一个“染色体”上，它就是问题的最优解．
下面给出遗传算法的具体步骤，流程图参见图1：
第一步：
选择编码策略，把参数集合（可行解集合）转换染色体结构空间；第二步：
定义适应函数，便于计算适应值；
第三步：
确定遗传策略，包括选择群体大小，选择、交叉、变异方法以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；
第四步：
随机产生初始化群体；
第五步：
计算群体中的个体或染色体解码后的适应值；
第六步：
按照遗传策略，运用选择、交叉和变异算子作用于群体，形成下一代群体；
第七步：
判断群体性能是否满足某一指标、或者是否已完成预定的迭代次数，不满足则返回第五步、或者修改遗传策略再返回第六步．
产生初始群体
得到结果是是否满足终止条件
否
结束程序
计算每个个体的适应值
以概率选择遗传算子
选择一个个体选择两个个体进行选择一个个体进行
复制到新群体交叉插入到新群体变异插入到新群体
得到新群体
图1一个遗传算法的具体步骤
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遗传算法有很多种具体的不同实现过程，以上介绍的是标准遗传算法的主要步骤，此算法会一直运行直到找到满足条件的最优解为止．
2．遗传算法的实际应用
例1：
设f（x）x22x0.5，求maxf（x）,x[1,2]．
注：
这是一个非常简单的二次函数求极值的问题，相信大家都会做．在此我们要研究的不是问题本身，而是借此来说明如何通过遗传算法分析和解决问题．
在此将细化地给出遗传算法的整个过程．
（1）编码和产生初始群体
首先第一步要确定编码的策略，也就是说如何把1到2这个区间内的数用计
算机语言表示出来．
编码就是表现型到基因型的映射，编码时要注意以下三个原则：
完备性：
问题空间中所有点（潜在解）都能成为GA编码空间中的点（染色体位串）的表现型；
健全性：
GA编码空间中的染色体位串必须对应问题空间中的某一潜在解；非冗余性：
染色体和潜在解必须一一对应．
这里我们通过采用二进制的形式来解决编码问题，将某个变量值代表的个体表示为一个{0，1}二进制串．当然，串长取决于求解的精度．如果要设定求解精
度到六位小数，由于区间长度为2
（
1）
3，则必须将闭区间[1,2]分为3106
等分．因为2097152
221
3
106
2
22
4194304
所以编码的二进制串至少需要
22位．
将一个二进制串（b21b20b19⋯b1b0）转化为区间[1,2]内对应的实数值很简单，只需采取以下两步（Matlab程序参见附录4）：
1）将一个二进制串（b21b20b19⋯b1b0）代表的二进制数化为10进制数：
21
（b21b20b19b1b0）2（bi2i）10x'
i0
2）x'对应的区间[1,2]内的实数：
2
（1）
x1x'
2221
例如，一个二进制串a=<1000101110110101000111>表示实数0.637197．
x'=（1000101110110101000111）2=2288967
x
12288967
3
0.637197
22
2
1
二进制串<0000000000000000000000>，<1111111111111111111111>，则分别表示区间的两个端点值-1和2．
利用这种方法我们就完成了遗传算法的第一步——编码，这种二进制编码的方法完全符合上述的编码的三个原则．
首先我们来随机的产生一个个体数为4个的初始群体如下：
pop
（1）={
<1101011101001100011110>，%%a1<1000011001010001000010>，%%a2<0001100111010110000000>，%%a3<0110101001101110010101>}%%a4（Matlab程序参见附录2）
化成十进制的数分别为：
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pop
（1）={1.523032，0.574022，-0.697235，0.247238}
接下来我们就要解决每个染色体个体的适应值问题了．
（2）定义适应函数和适应值
由于给定的目标函数f（x）x22x0.5在[1,2]内的值有正有负，所以必
须通过建立适应函数与目标函数的映射关系，保证映射后的适应值非负，而且目标函数的优化方向应对应于适应值增大的方向，也为以后计算各个体的入选概率
打下基础．
对于本题中的最大化问题，定义适应函数
g（x），采用下述方法：
f（x）Fmin,
若f（x）Fmin0
g（x）
其他
0,
式中Fmin既可以是特定的输入值，也可以是当前所有代或最近
K代中f（x）的最
小值，这里为了便于计算，将采用了一个特定的输入值．
若取Fmin
1，则当f（x）1时适应函数g（x）2；当f（x）
1.1时适应函数
g（x）0．
由上述所随机产生的初始群体，我们可以先计算出目标函数值分别如下
（Matlab程序参见附录3）：
f[pop
（1）]={1.226437,1.318543,-1.380607,0.933350}
然后通过适应函数计算出适应值分别如下（Matlab程序参见附录5、附录6）：
取Fmin
1，
g[pop
（1）]={2.226437,2.318543,
0,1.933350}
（3）确定选择标准
这里我们用到了适应值的比例来作为选择的标准，得到的每个个体的适应值比例叫作入选概率．其计算公式如下：
对于给定的规模为n的群体pop={a1,a2,a3,,an}，个体ai的适应值为g（ai），
则其入选概率为
Ps（ai）
g（ai）
i1,2,3,,n
n
g（ai）
i1
由上述给出的群体，我们可以计算出各个个体的入选概率．
4
首先可得
，
g（ai）6.478330
i
1
4
然后分别用四个个体的适应值去除以g（ai），得：
i1
P（a1）=2.226437/6.478330=0.343675%%a1
P（a2）=2.318543/6.478330=0.357892%%a2
P（a3）=0/6.478330=0%%a3
P（a4）=1.933350/6.478330=0.298433%%a4（Matlab程序参见附录7）
（4）产生种群
计算完了入选概率后，就将入选概率大的个体选入种群，淘汰概率小的个体，并用入选概率最大的个体补入种群，得到与原群体大小同样的种群（Matlab程序参见附录8、附录11）．
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要说明的是：
附录11的算法与这里不完全相同．为保证收敛性，附录11的算法作了修正，采用了最佳个体保存方法（elitistmodel），具体内容将在后面给出介绍．
由初始群体的入选概率我们淘汰掉a3，再加入a2补足成与群体同样大小的种群得到newpop
（1）如下：
newpop
（1）={
<1101011101001100011110>，%%a1
<1000011001010001000010>，%%a2
<1000011001010001000010>，%%a2
<0110101001101110010101>}%%a4
（5）交叉
交叉也就是将一组染色体上对应基因段的交换得到新的染色体，然后得到新的染色体组，组成新的群体（Matlab程序参见附录9）．
我们把之前得到的newpop
（1）的四个个体两两组成一对，重复的不配对，进行交叉．（可以在任一位进行交叉）
<110101110
1001100011110>，
<1101011101010001000010>
交叉得：
<100001100
1010001000010>，
<1000011001001100011110>
<10000110010100
01000010>，
<1000011001010010010101>
交叉得：
<01101010011011
10010101>，
<0110101001101101000010>
通过交叉得到了四个新个体，得到新的群体
jchpop
（1）如下：
jchpop
（1）={
<1101011101010001000010>，
<1000011001001100011110>，
<1000011001010010010101>，
<0110101001101101000010>}
这里采用的是单点交叉的方法，当然还有多点交叉的方法，不过有些烦琐，
这里就不着重介绍了．
（6）变异
变异也就是通过一个小概率改变染色体位串上的某个基因（Matlab程序参见附录10）．
现把刚得到的jchpop
（1）中第3个个体中的第9位改变，就产生了变异，得到了新的群体pop
（2）如下：
pop
（2）={
<1101011101010001000010>，
<1000011001001100011110>，
<1000011011010010010101>，
<0110101001101101000010>}
然后重复上述的选择、交叉、变异直到满足终止条件为止．
（7）终止条件
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遗传算法的终止条件有两类常见条件：
（1）采用设定最大（遗传）代数的方法，一般可设定为50代，此时就可能得出最优解．此种方法简单易行，但可能不是很精确（Matlab程序参见附录1）；
（2）根据个体的差异来判断，通过计算种群中基因多样性测度，即所有基因位相似程度来进行控制．
3．遗传算法的收敛性
前面我们已经就遗传算法中的编码、适应度函数、选择、交叉和变异等主要操作的基本内容及设计进行了详细的介绍．作为一种搜索算法，遗传算法通过对这些操作的适当设计和运行，可以实现兼顾全局搜索和局部搜索的所谓均衡搜索，具体实现见下图2所示．
图2均衡搜索的具体实现图示
应该指出的是，遗传算法虽然可以实现均衡的搜索，并且在许多复杂问题的求解中往往能得到满意的结果，但是该算法的全局优化收敛性的理论分析尚待解决．目前普遍认为，标准遗传算法并不保证全局最优收敛．但是，在一定的约束条件下，遗传算法可以实现这一点．
下面我们不加证明地罗列几个定理或定义，供读者参考（在这些定理的证明中，要用到许多概率论知识，特别是有关马尔可夫链的理论，读者可参阅有关文献）．
定理1如果变异概率为Pm（0,1），交叉概率为Pc[0,1]，同时采用比例选
择法（按个体适应度占群体适应度的比例进行复制），则标准遗传算法的变换矩阵P是基本的．
定理2标准遗传算法（参数如定理1）不能收敛至全局最优解．
由定理2可以知道，具有变异概率Pm（0,1），交叉概率为Pc[0,1]以及按比
例选择的标准遗传算法是不能收敛至全局最最优解．我们在前面求解例1时所用
的方法就是满足定理1的条件的方法．这无疑是一个令人沮丧的结论．
然而，庆幸的是，只要对标准遗传算法作一些改进，就能够保证其收敛性．具体如下：
我们对标准遗传算法作一定改进，即不按比例进行选择，而是保留当前
所得的最优解（称作超个体）．该超个体不参与遗传．
最佳个体保存方法（elitistmodel）的思想是把群体中适应度最高的个体不
进行配对交叉而直接复制到下一代中．此种选择操作又称复制（copy）．DeJong
对此方法作了如下定义：
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定义
设到时刻t（第t代）时，群体中
*
（t）为最佳个体．又设A（t＋1）
a
为新一代群体，若A（t＋1）中不存在a*（t），则把a*（t）作为A（t＋1）中的第n+1个个体（其中，n为群体大小）（Matlab程序参见附录11）．
采用此选择方法的优点是，进化过程中某一代的最优解可不被交叉和变异操作所破坏．但是，这也隐含了一种危机，即局部最优个体的遗传基因会急速增加而使进化有可能限于局部解．也就是说，该方法的全局搜索能力差，它更适合单峰性质的搜索空间搜索，而不是多峰性质的空间搜索．所以此方法一般都与其他选择方法结合使用．
定理3具有定理1所示参数，且在选择后保留当前最优值的遗传算法最终能收敛到全局最优解．
当然，在选择算子作用后保留当前最优解是一项比较复杂的工作，因为该解在选择算子作用后可能丢失．但是定理3至少表明了这种改进的遗传算法能够收敛至全局最优解．有意思的是，实际上只要在选择前保留当前最优解，就可以保证收敛，定理4描述了这种情况．
定理4具有定理1参数的，且在选择前保留当前最优解的遗传算法可收敛于全局最优解．
例2：
设f（x）3x2x，求maxf（x）,x[0,2]，编码长度为5，采用上述
定理4所述的“在选择前保留当前最优解的遗传算法”进行．
此略，留作练习．
二、相关函数（命令）及简介
本实验的程序中用到如下一些基本的Matlab函数：
ones,zeros,sum,size,length,subs,double等，以及for,while等基本程序结构语句，读者可参考前面
专门关于Matlab的介绍，也可参考其他数学实验章节中的“相关函数（命令）
及简介”内容，此略．
三、实验内容
上述例1的求解过程为：
群体中包含六个染色体，每个染色体用22位0—1码，变异概率为0.01，变
量区间为[1,2]，取Fmin=2，遗传代数为50代，则运用第一种终止条件（指
定遗传代数）的Matlab程序为：
[Count,Result,BestMember]=Genetic1（22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,50）
执行结果为：
Count=
50
Result=
1.0316
1.0316
1.0316
1.0316
1.0316
1.0316
1.4990
1.4990
1.4990
1.4990
1.4990
1.4990
BestMember=
1.0316
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1.4990
图2例1的计算结果
（注：
上图为遗传进化过程中每一代的个体最大适应度；
而下图为目前为止的个体最大适应度——单调递增）
我们通过Matlab软件实现了遗传算法，得到了这题在第一种终止条件下的最
优解：
当x取1.0316时，Maxf（x）1.4990．
），
当然这个解和实际情况还有一点出入（应该是x取1时，
f（x）1.5000
Max
但对于一个计算机算法来说已经很不错了．
我们也可以编制Matlab程序求在第二种终止条件下的最优解．
此略，留作练
习．实践表明，此时的遗传算法只要经过
10代左右就可完成收敛，得到另一个
“最优解”，与前面的最优解相差无几．
四、自己动手
1．用Matlab编制另一个主程序Genetic2.m，求例1的在第二种终止条件下的最
优解．
提示：
一个可能的函数调用形式以及相应的结果为：
[Count,Result,BestMember]=Genetic2（22,6,'-x*x+2*x+0.5',-1,2,-2,0.01,0.00001）
Count=
13
Result=
1.0392
1.0392
1.0392
1.0392
1.0392
1.0392
1.4985
1.4985
1.4985
1.4985
1.4985
1.4985
BestMember=
1.0392
1.4985
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可以看到：
两组解都已经很接近实际结果，对于两种方法所产生的最优解差
异很小．可见这两种终止算法都是可行的，而且可以知道对于例1的问题，遗传算法只要经过10代左右就可以完成收敛，达到一个最优解．
2．按照例2的具体要求，用遗传算法求上述例2的最优解．
3．附录9子程序Crossing.m中的第3行到第7行为注解语句．若去掉前面的%
号，则程序的算法思想有什么变化？
4．附录9子程序Crossing.m中的第8行至第13行的程序表明，当Dim
（1）>=3时，将交换数组Population的最后两行，即交换最后面的两个个体．其目的是什么？
5．仿照附录10子程序Mutation.m，修改附录9子程序Crossing.m，使得交叉过程也有一个概率值（一般取0.65~0.90）；同时适当修改主程序Genetic1.m或主程序Genetic2.m，以便代入交叉概率．
6．设f（x）x24x1，求maxf（x）,x[2,2]，要设定求解精度到15位小数．
五、附录
附录1：
主程序Genetic1.m
function
[Count,Result,BestMember]=Genetic1（MumberLength,MemberNumber,FunctionFitness,MinX,MaxX,Fmin,MutationProbability,Gen）
Population=PopulationInitialize（MumberLength,MemberNumber）;globalCount;
globalCurrentBest;
Count=1;
PopulationCode=Population;
PopulationFitness=Fitness（PopulationCode,FunctionFitness,MinX,MaxX,MumberLength）;
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