河南省洛阳市届高三上学期尖子生第二次联考数学文试题 word版含答案.docx

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河南省洛阳市届高三上学期尖子生第二次联考数学文试题word版含答案

河南省洛阳市2018-2019学年上学期尖子生第二次联考高三

数学试题文科201901

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，集合，则等于（）

A．B．C．D．

2.已知复数，，则下列命题中错误的是（）

A．B．C．D．，互为共轭复数

3.已知数列的前项和为，，，则（）

A．B．C．D．

4.经过点，且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为（）

A．B．C.D．

5.运行下边的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数的值是（）

A．5B．6C.7D．8

6.在平行四边形中，，，则等于（）

A．B．C.D．

7.已知定义在上的函数满足，，且当时，，则（）

A．-1B．0C.1D．2

8.已知正三角形三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（）

A．B．C.D．

9.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为，，则椭圆的离心率的概率是（）

A．B．C.D．

10.已知实数，满足：

，，则的取值范围是（）

A．B．C.D．

11.已知定义域为的奇的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（）

A．B．C.D．

12.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（）

A．B．C.D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的体积为．

14.已知关于的方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是．

15.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于，于点，若四边形的面积为，则．

16.已知函数，，，则数列的通项公式为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图，在平面四边形中，为锐角，，平分，，，的面积为.

（1）求；

（2）求.

18.某港口有一个泊位，现统计了某100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：

小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如下表：

（1）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时，求的值；

（2）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.

19.如图，已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点.

（1）求证：

平面平面；

（2）若是线段上一点，求三棱锥的体积.

20.如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，的最大值为，的最小值为，满足.

（1）若线段垂直于轴时，，求椭圆的方程；

（2）设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点，是坐标原点，记的面积为，的面积为，求的取值范围.

21.已知函数，.

（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）试讨论函数在区间上的最大值；

（3）若时，函数恰有两个零点，求证：

.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：

.

（1）若曲线的参数方程为（为参数），求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）若曲线的参数方程为（为参数），，且曲线与曲线的交点分别为、，求的取值范围.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知，（其中）.

（1）若，求的解集；

（2）若，不等式恒成立，求实数的值.

试卷答案

一、选择题

1-5:

6-10:

11、12：

二、填空题

13.14.15.216.

三、解答题

17.解：

（1）在中，，

，，

.

为锐角，

.

在中，由余弦定理得：

.

.

（2）在中，由正弦定理得，

即，解得.

，

也为锐角.

.

在中，由正弦定理得，

即.①

在中，由正弦定理得，

即.②

平分，

.

由①②得，解得.

因为为锐角，所以.

18.解：

（1）.

（2）设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为，

则

若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘需要等待，

则，

符合题意的区域为阴影部分（不包括，轴），

记“这两艘船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待”为事件，

则.

答：

这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为.

19.

（1）证明：

平面平面，

平面平面，平面，且，

平面.

又在中，，分别是，的中点，

，

平面.

平面.

平面平面.

（2）解：

，平面，平面，

平面.

因此上的点到平面的距离等于点到平面的距离，

，

取的中点，连接，，，则.

.

20.解：

（1）设，则椭圆性质得：

，，而，

有，即，，

又且，得，，

因此椭圆的方程为：

.

（2）由

（1）可知，，椭圆的方程为.

由题意知直线的斜率一定存在不为零，设直线的方程为，，，则由消去并整理得.

，，

.

，

，

.

由与相似得.

故的取值范围为.

21.解：

（1）由，，

由于函数在处的切线与直线平行，

，解得.

（2），由，得；由，得.

①当时，函数在上单调递减，

；

②当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

.

③若时，恰有两个零点，，

由，，

得，

，

设，，，故，

，

记函数，因，

在递增，，，

又，，故成立.

22.解：

（1），则.

又，，

曲线的直角坐标方程为：

.

又消参可得曲线的普通方程为：

.

（2）将的参数方程：

（为参数）代入的方程：

得：

，

，

，

，.

，.

，，同号，.

由的几何意义可得：

，

.

23.解：

（1）若，则，即为，

等价为或

或

解得：

或或，

原不等式的解集为：

.

（2），且，，，

，，

则，不等式恒成立，

等价于：

，恒成立，

，即，又，.