高考数学总复习配套教案83直线与平面的位置关系2Word文档格式.docx

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在平面内射影是直线的图形可能是平面，所以是②错的；

③④显然也是错的，所以正确的个数为0.

4.（必修2P42习题9改编）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A、B的任一点，则图中直角三角形的个数为________．　

4

因为AB是圆O的直径，所以AC⊥BC，△ACB是直角三角形；

由PA⊥平面ABC可得，PA⊥AB，PA⊥AC，所以△PAB与△PAC是直角三角形；

因为PA⊥平面ABC，且

BC

平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.而PC

平面PAC，所以BC⊥PC，△PCB是直角三角形；

故直角三角形的个数为4.

5.（必修2P42习题11、16改编）P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC内的射影．

（1）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，则O是△ABC的________心；

（2）若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的________心；

（3）若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．

（1）内　

（2）垂　（3）外

（1）P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC的内部，可知O到△ABC三边距离相等，即O是△ABC的内心；

（2）由PO⊥平面ABC且BC平面ABC，得PO⊥BC，又PA⊥BC，PO与PA是平面POA内两条相交直线，所以BC⊥平面POA，从而BC⊥AO.同理AC⊥BO，所以O是△ABC的垂心；

由PA、PB、PC与底面所成的角相等，易得Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，从而OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心．

1.直线与平面垂直的定义：

如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．

2.结论：

过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

3.直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

性质定理：

如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

[备课札记]

题型1　直线与平面垂直的判定

例1　（2013·

常州期末调研）如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝

AD＝2，CD＝3，直线PA与底面ABCD所成角为60°

，点M、N分别是PA、PB的中点．求证：

（1）MN∥平面PCD；

（2）四边形MNCD是直角梯形；

（3）DN⊥平面PCB.

证明：

（1）因为点M、N分别是PA、PB的中点，所以MN∥AB.

因为CD∥AB，所以MN∥CD.

又CD

平面PCD，MN

平面PCD，所以MN∥平面PCD.

（2）因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.

因为PD⊥底面ABCD，CD平面ABCD，

所以CD⊥PD.

因为AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.

因为MD

平面PAD，所以CD⊥MD.

又MN∥CD，MN≠CD，

所以四边形MNCD是直角梯形．

（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，

从而∠PAD＝60°

.

在Rt△PDA中，AD＝

，PD＝

，PA＝2

，MD＝

在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝

，CD＝3，CN＝

＝

，

从而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.

在Rt△PDB中，PD＝DB＝

，N是PB的中点，则DN⊥PB.

又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.

（2013·

南京调研）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，A1A＝

AC，D、E、F分别为线段AC、A1A、C1B的中点．

（1）证明：

EF∥平面ABC；

（2）证明：

C1E⊥平面BDE.

（1）取BC的中点G，连结AG、FG.

因为F为C1B的中点，所以FG∥=

C1C.

在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A∥=C1C，且E为A1A的中点，所以FG∥=EA.

所以四边形AEFG是平行四边形.所以EF∥AG.

因为EF

平面ABC，AG

平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，BD

平面ABC，所以A1A⊥BD.

因为D为AC的中点，BA＝BC，所以BD⊥AC.

因为A1A∩AC＝A，A1A

平面A1ACC1，AC

平面A1ACC1，所以BD⊥平面A1ACC1.

因为C1E

平面A1ACC1，所以BD⊥C1E.

根据题意，可得EB＝C1E＝

AB，C1B＝

AB，

所以EB2＋C1E2＝C1B2.从而∠C1EB＝90°

，即C1E⊥EB.

因为BD∩EB＝B，BD

平面BDE,EB

平面BDE，所以C1E⊥平面BDE.

题型2　直线与平面垂直性质的应用

例2　已知如图①所示，矩形纸片AA′A1′A1，点B、C、B1、C1分别为AA′、A1A1′的三等分点，将矩形纸片沿BB1、CC1折成如图②形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证：

A1C⊥AB1.

（图①）

（图②）

作AD∥BC，BD∥AC交于D，作A1D1∥B1C1，B1D1∥A1C1交于D1.

连结BD1、DD1（如图），

∵A1C1B1D1为菱形，

∴A1B1⊥D1C1.

又AA1⊥平面A1D1B1C1，

∴AA1⊥D1C1.

又D1C1⊥平面ABB1A1，∴D1C1⊥AB1.

又AB1⊥BC1，

∴AB1⊥平面BC1D1，∴AB1⊥BD1.

又BD1∥CA1，∴AB1⊥A1C.

泰州期末）在三棱锥SABC中，SA⊥平面ABC，SA＝AB＝AC＝

BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE＝3DE，点M是线段SD上一点，

（1）求证：

BC⊥AM；

（2）若AM⊥平面SBC，求证：

EM∥平面ABS.

（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

BC⊥AM.

（2）∵AM⊥平面SBC，AM⊥SD，设SA＝AB＝AC＝1，则BC＝

，SD＝

，∵SA⊥AD，AM⊥SD，AD2＝MD·

SD，故MD＝

，SM＝

，即SM＝3MD，又AE＝3DE，∴ME∥SA，又ME

平面ABS，SA

平面，故EM∥平面ABS.

题型3　直线与平面垂直的探索题

例3　在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1.

（1）若P是CC1上任一点，求证：

AP不可能与平面BCC1B1垂直；

（2）试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1.

反证法．假设AP⊥平面BCC1B1，

因为BC

平面BCC1B1，所以AP⊥BC.

又正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥BC，AP∩CC1＝P，AP

平面ACC1A1，CC1

平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1.

而AC

平面ACC1A1，所以BC⊥AC，这与△ABC是正三角形矛盾．

故AP不可能与平面BCC1B1垂直．

（2）M为CC1的中点．

∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝BB1，∴四边形BCC1B1是正方形．

∵M为CC1的中点，D是BC的中点，∴△B1BD≌△BCM，∴∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB.

∵∠BB1D＋∠BDB1＝

，∠CBM＋∠BDB1＝

∴BM⊥B1D.

∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD

平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C.

∵BM

平面BB1C1C，∴AD⊥BM.

∵AD∩B1D＝D，∴BM⊥平面AB1D.

∵AB1

平面AB1D，∴MB⊥AB1.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点．

AB1⊥BF；

（2）求证：

AE⊥BF；

（3）棱CC1上是否存在点F，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P的位置；

若不存在，说明理由．

连结A1B，CD1，∵AB1⊥A1B，AB1⊥BC，A1B∩BC＝B，

∴AB1⊥平面A1BCD1，又BF

平面A1BCD1，所以AB1⊥BF.

取AD中点M，连结FM，BM，∴AE⊥BM，

又∵FM⊥AE，BM∩FM＝M，∴AE⊥平面BFM，又BF

平面BFM，∴AE⊥BF.

（3）解：

存在，P是CC1的中点．易证PE∥AB1，故A、B1、E、P四点共面．

由

（1）

（2）知AB1⊥BF，AE⊥BF，AB1∩AE＝A，∴BF⊥平面AEB1，即BF⊥平面AEP.

【示例】　（本题模拟高考评分标准，满分14分）

由平面α外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为A、B、C，O为△ABC的外心，求证：

OP⊥α.

学生错解：

因为O为△ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以△POA，△POB，△POC都全等，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°

，所以OP⊥α.

审题引导：

要记OP⊥α，需记OP垂直于α内两条相交的直线，由图形易知，可考虑证OP垂直于△ABC的两条边，注意到图中的等腰三角形PBC、OBC，不准找到证题途径．

规范解答：

证明：

取BC的中点D，连结PD、OD，

∵PB＝PC，OB＝OC，∴BC⊥PD，BC⊥OD，（5分）

又PD

平面POD，OD平面POD，且PD∩OD＝D，∴BC⊥平面POD.（8分）

∵PO

平面POD，∴BC⊥PO.

同理AB⊥PO.（12分）

又AB、BC是α内的两条相交直线，∴PO⊥α.（14分）

错解分析：

上述解法中∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°

，是对的，但它们为什么是直角呢？

这里缺少必要的证明．

1.（2013·

苏锡常镇调研）已知l，m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：

①若