当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列；
当q＝－1时，{an}是摆动数列．
2．记住等比数列的几个常用结论
（1）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），
，{a
}，{an·bn}，
仍是等比数列．
（2）在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
（3）一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．
（4）{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，
，
，…成等比数列．
（5）当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn（k≠0）是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝
.
（6）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
二、习题改编
1．（必修5P54A组T8改编）在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
解析：
设该数列的公比为q，由题意知，
192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.
所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48.
答案：
12，48
2．（必修5P51例3改编）已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝
，则公比q＝________．
解析：
由题意知q3＝
＝
，所以q＝
.
答案：
3．（必修5P61A组T1改编）等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若
＝
，则{an}的通项公式an＝________．
解析：
因为
＝
，所以
＝－
，因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，所以q5＝－
，q＝－
，则an＝－1×
＝－
.
答案：
－
一、思考辨析
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．（ ）
（2）公比q是任意一个常数，它可以是任意实数．（ ）
（3）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）×
二、易错纠偏
（1）忽视项的符号判断；
（2）忽视公比q＝1的特殊情况；
（3）忽视等比数列的项不为0.
1．在等比数列{an}中，a3＝4，a7＝16，则a3与a7的等比中项为________．
解析：
设a3与a7的等比中项为G，因为a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.
答案：
±8
2．数列{an}的通项公式是an＝an（a≠0），则其前n项和Sn＝________．
解析：
因为a≠0，an＝an，所以{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时Sn＝
.
答案：
3．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________．
解析：
因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，
所以（2x＋2）2＝x（3x＋3），
即x2＋5x＋4＝0，
解得x＝－1或x＝－4.
当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，
不是等比数列，舍去．
答案：
－4
[学生用书P101]
等比数列基本量的运算（师生共研）
（1）（2019·高考全国卷Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝（ ）
A．16 B．8
C．4 D．2
（2）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
【解】
（1）选C.设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1（1＋q＋q2＋q3）＝a1（1＋2＋4＋8）＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
（2）①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0（舍去）或q＝－2或q＝2.
故an＝（－2）n－1或an＝2n－1.
②若an＝（－2）n－1，则Sn＝
.由Sm＝63得（－2）m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.
解决等比数列有关问题的2种常用思想
方程的思想
等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a1和q，问题可迎刃而解
分类讨论的思想
等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝
＝
1．（一题多解）（2019·高考全国卷Ⅰ）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝
，a
＝a6，则S5＝________．
解析：
通解：
设等比数列{an}的公比为q，因为a
＝a6，所以（a1q3）2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝
，所以q＝3，所以S5＝
＝
＝
.
优解：
设等比数列{an}的公比为q，因为a
＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝
，所以q＝3，所以S5＝
＝
＝
.
答案：
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
（1）若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3＝21，求S3.
解：
设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋（n－1）d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
（1）由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得
（舍去），
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
（2）由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
等比数列的判定与证明（师生共研）
（2018·高考全国卷Ⅰ）已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝
.
（1）求b1，b2，b3；
（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
（3）求{an}的通项公式．
【解】
（1）由条件可得an＋1＝
an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，
而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，
所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得
＝
，
即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由
（2）可得
＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
等比数列的4种常用判定方法
定义法
若
＝q（q为非零常数，n∈N*）或
＝q（q为非零常数且n≥2，n∈N*），则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且a
＝an·an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列
通项
公式法
若数列通项公式可写成an＝c·qn－1（c，q均是不为0的常数，n∈N*），则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k（k为常数且k≠0，q≠0，1），则{an}是等比数列
[提醒]
（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2（n∈N*），若bn＝an＋1－2an，求证：
{bn}是等比数列．
证明：
因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以
＝
＝
＝
＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n（n∈N*）．
（1）求a1，a2，a3的值；
（2）是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？
若存在，求出λ的值和通项公式an，若不存在，请说明理由．
解：
（1）当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，
当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
（2）假设{an＋λ}是等比数列，则（a2＋λ）2＝（a1＋λ）（a3＋λ），即（9＋λ）2＝（3＋λ）（21＋λ），解得λ＝3.
下面证明{an＋3}为等比数列：
因为Sn＝2an－3n，所以Sn＋1＝2an＋1－3n－3，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，
所以2（an＋3）＝an＋1＋3，所以
＝2，
所以存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列．
所以an＋3＝6×2n－1，即an＝3（2n－1）（n∈N*）．
等比数列的性质（多维探究）
角度一 等比数列项的性质
（1）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．
（2）等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝________．
【解析】
（1）因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，
所以a10a11＝e5.
所以lna1＋lna2＋…＋lna20
＝ln（a1a2…a20）
＝ln[（a1a20）·（a2a19）·…·（a10a11）]
＝ln（a10a11）10＝10ln（a10a11）
＝10lne5＝50lne＝50.
（2）由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由
且an>0，q>1，得a3＝4，a5＝16，所以
解得
所以S5＝
＝31.
【答案】
（1）50
（2）31
角度二 等比数列前n项和的性质
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