第3讲 等比数列及其前n项和.docx

1、第3讲 等比数列及其前n项和第3讲等比数列及其前n项和学生用书P100一、知识梳理1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(q0，nN*)(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项G2ab“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：Sn3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r

2、，kN*)(1)若mnpq2r，则amanapaqa(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)常用结论1正确理解等比数列的单调性当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时 ，an是递减数列；当q1时，an是常数列；当q1时，an是摆动数列2记住等比数列的几个常用结论(1)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列(2)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组

3、成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂(4)an为等比数列，若a1a2anTn，则Tn，成等比数列(5)当q0，q1时，Snkkqn(k0)是an成等比数列的充要条件，此时k.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方二、习题改编1(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_解析：设该数列的公比为q，由题意知，1923q3，q364，所以q4.所以插入的两个数分别为3412，12448.答案：12，482(必修5P51例3改编)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q_解析：由题意知q3

4、，所以q.答案：3(必修5P61A组T1改编)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则an的通项公式an_解析：因为，所以，因为S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，所以q5，q，则an1.答案：一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数()(2)公比q是任意一个常数，它可以是任意实数()(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()答案：(1)(2)(3)二、易错纠偏(1)忽视项的符号判断；(2)忽视公比q1的特殊情况；(3)忽视等比数列的项不为0.1在等比数列an中，a34，a716，则a3

5、与a7的等比中项为_解析：设a3与a7的等比中项为G，因为a34，a716，所以G241664，所以G8.答案：82数列an的通项公式是anan(a0)，则其前n项和Sn_解析：因为a0，anan，所以an是以a为首项，a为公比的等比数列当a1时，Snn；当a1时Sn.答案：3已知x，2x2，3x3是一个等比数列的前三项，则x的值为_解析：因为x，2x2，3x3是一个等比数列的前三项，所以(2x2)2x(3x3)，即x25x40，解得x1或x4.当x1时，数列的前三项为1，0，0，不是等比数列，舍去答案：4学生用书P101等比数列基本量的运算(师生共研) (1)(2019高考全国卷)已知各项均

6、为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8 C4 D2(2)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.【解】(1)选C.设等比数列an的公比为q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因为数列an的各项均为正数，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.(2)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正

7、整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn1(一题多解)(2019高考全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和，若a1，aa6，则S5_解析：通解：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.优解：设等比数列an的公比为

8、q，因为aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.答案：2已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通项公式；(2)若T321，求S3.解：设an的公差为d，bn的公比为q，则an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.联立和解得(舍去)，因此bn的通项公式为bn2n1.(2)由b11，T321得q2q200，解得q5或q4.当q5时，由得d8，则S321.当q4时，由得d1，则S36.等比数列的判定与证明(师生共研) (2018高考全国卷)已知数列an

9、满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式【解】(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.等比数列的4种常用判定方法定义法若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aa

10、nan2(nN*)，则数列an是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可 1已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn14an2(nN*)，若bnan12an，求证：bn是等比数列证明：因为an2Sn2Sn14an124an24an14an，所以2.因为S2a1a24a12，

11、所以a25.所以b1a22a13.所以数列bn是首项为3，公比为2的等比数列2已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数，使得an为等比数列？若存在，求出的值和通项公式an，若不存在，请说明理由解：(1)当n1时，S1a12a13，解得a13，当n2时，S2a1a22a26，解得a29，当n3时，S3a1a2a32a39，解得a321.(2)假设an是等比数列，则(a2)2(a1)(a3)，即(9)2(3)(21)，解得3.下面证明an3为等比数列：因为Sn2an3n，所以Sn12an13n3，所以an1Sn1Sn2an12an3，

12、即2an3an1，所以2(an3)an13，所以2，所以存在3，使得数列an3是首项为a136，公比为2的等比数列所以an362n1，即an3(2n1)(nN*)等比数列的性质(多维探究)角度一等比数列项的性质 (1)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_(2)等比数列an的前n项和为Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，则S5_【解析】(1)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)由等比数列的性质，得a3a5a2a664，于是由且an0，q1，得a34，a516，所以解得所以S531.【答案】(1)50(2)31角度二等比数列前n项和的性质