数学实验线性方程组的J迭代GS迭代SOR迭代解法实验报告内含matlab程序代码.docx
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数学实验线性方程组的J迭代GS迭代SOR迭代解法实验报告内含matlab程序代码
西京学院数学软件实验任务书
课程名称
数学软件实验
班级
数0901
学号
姓名
李亚强
实验课题
线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。
实验目的
熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代方法。
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成。
实验内容
线性方程组的J-迭代；
线性方程组的GS-迭代；
线性方程组的SOR-迭代。
成绩
教师
实验四实验报告
一、实验名称：
线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代。
二、实验目的：
熟悉线性方程组的J-迭代，GS-迭代，SOR-迭代，SSOR-迭代方法，编程实现雅可比方法和高斯-赛德尔方法求解非线性方程组
的根，提高matlab编程能力。
三、实验要求：
已知线性方程矩阵，利用迭代思想编程求解线性方程组的解。
四、实验原理：
1、雅可比迭代法（J-迭代法）：
线性方程组
，可以转变为：
迭代公式
其中
，称
为求解
的雅可比迭代法的迭代矩阵。
以下给出雅可比迭代的分量计算公式，令
，由雅可比迭代公式有
，既有
，于是，解
的雅可比迭代法的计算公式为
2、高斯-赛德尔迭代法（GS-迭代法）：
GS-迭代法可以看作是雅可比迭代法的一种改进，给出了迭代公式：
其余部分与雅克比迭代类似。
3、逐次超松弛迭代法（SOR-迭代法）：
选取矩阵A的下三角矩阵分量并赋予参数w，将之作为分裂矩阵M，
，其中，w>0，为可选择的松弛因子，又
（1）公式构造一个迭代法，其迭代矩阵为
从而得到解
的逐次超松弛迭代法。
其中：
由此，解
的SOR-迭代法的计算公式为
（2）
观察
（2）式，可得结论：
（1）、当w=1时，SOR-迭代法为J-迭代法。
（2）、当w>1时，称为超松弛迭代法，当w<1时，称为低松弛迭代法。
五、实验内容：
%1.J-迭代
functionx1=jacobi（A,b,y）;
m=input（'请输入迭代次数m:
'）;
eps=input（'请输入精度eps:
'）;
D=diag（diag（A））;
L=triu（A）-A;
U=tril（A）-A;
M=D\（L+U）;
g=D\b;
a=1;
k=0;
whilea>eps
x2=M*x1+g;
a=norm（x2-x1,inf）;
x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp（'近似解：
'）;
disp（x1）;
x2=x1-y;
a=norm（x2,inf）;
fprintf（'误差：
%.6f;迭代次数：
%d\n',a,k）;
%2.GS-迭代
functionx1=G_S（A,b,y）
n=100;
m=input（'请输入迭代次数m:
'）;
eps=input（'请输入精度eps:
'）;
D=diag（diag（A））;
L=triu（A）-A;
U=tril（A）-A;
%生成矩阵M,向量g
M=（D-L）\U;
g=（D-L）\b;
%迭代首项
x1=eye（n-1,1）;
x2=eye（n-1,1）;
fori=1:
n-1
x1（i）=1;
x2（i）=0;
end
a=1;
k=0;
whilea>eps
x2=M*x1+g;
a=norm（x2-x1,inf）;
x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp（'近似解：
'）；
x2=x1-y;
a=norm（x2,inf）;
fprintf（'误差：
%.4f;迭代次数：
%d\n',a,k）;
%3.SOR-迭代
functiona=p（A）
[n,n]=size（A）;
x=eig（A）;
a=0;
fori=1:
n
b=abs（x（i））;
ifb>a
a=x（i）;
end
end
a=abs（a）;
functionx1=SOR（A,b,y）%y为精确解
%超松弛迭代
D=diag（diag（A））;
L=triu（A）-A;
U=tril（A）-A;
%求最佳松弛因子w
M=D\（L+U）;
w=p（M）;
w=2/（1+sqrt（1-w^2））;
ifw<0||w>2
disp（'迭代不收敛'）;
return;
end
%生成矩阵M,向量g
M=（D-w*L）\（（1-w）*D+w*U）;
g=（D-w*L）\b*w;
%进行迭代
w=1;
k=0;
%x1=eye（n,1）;
whilew>1e-6
x2=M*x1+g;
w=norm（x2-x1,inf）;
x1=x2;
k=k+1;
end
%输出方程组的近似解、精确值及误差
disp（'近似解：
'）;
disp（x1）;
x2=x1-y;
w=norm（x2,inf）;
disp（'误差:
'）;
disp（w）;
disp（'迭代次数：
'）;
disp（k）;
六、实验结果：
A=[520;641;125];b=[1018-14]';
X1=G_S（A,b,[000]'）
X1=
-0.8750
7.1874
-5.5000
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