技巧点拨
带电粒子(带电体)在叠加场中运动的分析方法
1.弄清叠加场的组成.
2.进行受力分析.
3.确定带电粒子的运动状态,注意运动情况和受力情况的结合.
4.画出粒子运动轨迹,灵活选择不同的运动规律.
(1)当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动时,根据受力平衡列方程求解.
(2)当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动时,应用牛顿定律结合圆周运动规律求解.
(3)当带电粒子做复杂曲线运动时,一般用动能定理或能量守恒定律求解.
(4)对于临界问题,注意挖掘隐含条件.
5.记住三点:
(1)受力分析是基础;
(2)运动过程分析是关键;
(3)根据不同的运动过程及物理模型,选择合适的定理列方程求解.
突破训练1
如图11所示,空间存在着垂直纸面向外的水平匀强磁场,
磁感应强度为B,在y轴两侧分别有方向相反的匀强电场,电场强
度均为E,在两个电场的交界处左侧,有一带正电的液滴a在电场
力和重力作用下静止,现从场中某点由静止释放一个带负电的液滴
b,当它的运动方向变为水平方向时恰与a相撞,撞后两液滴合为一
体,速度减小到原来的一半,并沿x轴正方向做匀速直线运动,已图11
知液滴b与a的质量相等,b所带电荷量是a所带电荷量的2倍,且相撞前a、b间的静
电力忽略不计.
(1)求两液滴相撞后共同运动的速度大小;
(2)求液滴b开始下落时距液滴a的高度h.
答案
(1)
(2)
解析 液滴在匀强磁场、匀强电场中运动,同时受到洛伦兹力、电场力和重力作用.
(1)设液滴a质量为m、电荷量为q,则液滴b质量为m、电荷量为-2q,
液滴a平衡时有qE=mg①
a、b相撞合为一体时,质量为2m,电荷量为-q,速度为v,由题意知处于平衡状态,
重力为2mg,方向竖直向下,电场力为qE,方向竖直向上,洛伦兹力方向也竖直向上,
因此满足qvB+qE=2mg②
由①、②两式,可得相撞后速度v=
(2)对b,从开始运动至与a相撞之前,由动能定理有
WE+WG=ΔEk,即(2qE+mg)h=mv③
a、b碰撞后速度减半,即v=,则v0=2v=
再代入③式得h===
考点二 带电粒子在组合场中的运动
1.近几年各省市的高考题在这里的命题情景大都是组合场模型,或是一个电场与一个磁场相邻,或是两个或多个磁场相邻.
2.解题时要弄清楚场的性质、场的方向、强弱、范围等.
3.要进行正确的受力分析,确定带电粒子的运动状态.
4.分析带电粒子的运动过程,画出运动轨迹是解题的关键.
例2
(2012·山东理综·23)如图12甲所示,相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场
区,磁场方向垂直纸面向里,在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ,两极
板中心各有一小孔S1、S2,两极板间电压的变化规律如图乙所示,正反向电压的大小均
为U0,周期为T0.在t=0时刻将一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的粒子由S1静止释放,
粒子在电场力的作用下向右运动,在t=时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区.(不
计粒子重力,不考虑极板外的电场)
图12
(1)求粒子到达S2时的速度大小v和极板间距d.
(2)为使粒子不与极板相撞,求磁感应强度的大小应满足的条件.
(3)若已保证了粒子未与极板相撞,为使粒子在t=3T0时刻再次到达S2,且速度恰好为零,求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小.
审题指导 1.粒子的运动过程是什么?
2.要在t=3T0时使粒子再次到达S2,且速度为零,需要满足什么条件?
解析
(1)粒子由S1至S2的过程,根据动能定理得
qU0=mv2①
由①式得v=②
设粒子的加速度大小为a,由牛顿第二定律得q=ma③
由运动学公式得d=a()2④
联立③④式得d=⑤
(2)设磁感应强度的大小为B,粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,由牛顿第二定律得qvB=m⑥
要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞,需满足2R>⑦
联立②⑥⑦式得B<
(3)设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程所用时间为t1,有d=vt1⑧
联立②⑤⑧式得t1=⑨
若粒子再次到达S2时速度恰好为零,粒子回到极板间应做匀减速运动,设匀减速运动的时间为t2,根据运动学公式得d=t2⑩
联立⑧⑨⑩式得t2=⑪
设粒子在磁场中运动的时间为t
t=3T0--t1-t2⑫
联立⑨⑪⑫式得t=⑬
设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T,由⑥式结合运动学公式得T=
⑭
由题意可知T=t⑮
联立⑬⑭⑮式得B=.
答案
(1)
(2)B<
(3)
方法点拨
解决带电粒子在组合场中运动问题的思路方法
突破训练2
如图13所示装置中,区域Ⅰ和Ⅲ中分别有竖直向
上和水平向右的匀强电场,电场强度分别为E和;区域Ⅱ
内有垂直向外的水平匀强磁场,磁感应强度为B.一质量为
m、带电荷量为q的带负电粒子(不计重力)从左边界O点正
上方的M点以速度v0水平射入电场,经水平分界线OP上
的A点与OP成60°角射入区域Ⅱ的磁场,并垂直竖直边界图13
CD进入Ⅲ区域的匀强电场中.求:
(1)粒子在区域Ⅱ匀强磁场中运动的轨迹半径;
(2)O、M间的距离;
(3)粒子从M点出发到第二次通过CD边界所经历的时间.
答案
(1)
(2)(3)+
审题指导 1.粒子的运动过程是怎样的?
2.尝试画出粒子的运动轨迹.
3.注意进入磁场时的速度的大小与方向.
解析
(1)粒子的运动轨迹如图所示,其在区域Ⅰ的匀强电场中做类平抛运动,设粒子过A点时速度为v,由类平抛运动规律知v=
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得
Bqv=m,所以R=
(2)设粒子在区域Ⅰ的电场中运动时间为t1,加速度为a.则有qE=ma,v0tan60°=at1,即t1=
O、M两点间的距离为L=at
=
(3)设粒子在Ⅱ区域磁场中运动时间为t2
则由几何关系知t2==
设粒子在Ⅲ区域电场中运动时间为t3,a′==
则t3=2×=
粒子从M点出发到第二次通过CD边界所用时间为
t=t1+t2+t3=++=+
42.带电粒子在交变电场和交变磁场中的运动模型问题的分析
解析
(1)粒子在磁场中运动时qvB=(2分)
T=(1分)
解得T==4×10-3s(1分)
(2)粒子的运动轨迹如图所示,t=20×10-3s时粒子在坐标系内做了两个
圆周运动和三段类平抛运动,水平位移x=3v0T=9.6×10-2m(1分)
竖直位移y=a(3T)2(1分)
Eq=ma(1分)
解得y=3.6×10-2m
故t=20×10-3s时粒子的位置坐标为:
(9.6×10-2m,-3.6×10-2m)(1分)
(3)t=24×10-3s时粒子的速度大小、方向与t=20×10-3s时相同,设与水平方向夹角为
α(1分)
则v=(1分)
vy=3aT(1分)
tanα=(1分)
解得v=10m/s(1分)
与x轴正向夹角α为37°(或arctan)斜向右下方(1分)
答案
(1)4×10-3s
(2)(9.6×10-2m,-3.6×10-2m) (3)10m/s 方向与x轴正向夹角
α为37°(或arctan)
突破训练3
如图15甲所示,与纸面垂直的竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上的场强
大小为E=2.5×102N/C的匀强电场(上、下及左侧无界).一个质量为m=0.5kg、电荷
量为q=2.0×10-2C的可视为质点的带正电小球,在t=0时刻以大小为v0的水平初速度
向右通过电场中的一点P,当t=t1时刻在电场所在空间中加上一如图乙所示随时间周期
性变化的磁场,使得小球能竖直向下通过D点,D为电场中小球初速度方向上的一点,
PD间距为L,D到竖直面MN的距离DQ为L/π.设磁感应强度垂直纸面向里为正.(g=
10m/s2)
图15
(1)如果磁感应强度B0为已知量,使得小球能竖直向下通过D点,求磁场每一次作用时
间t0的最小值(用题中所给物理量的符号表示);
(2)如果磁感应强度B0为已知量,试推出满足条件的时刻t1的表达式(用题中所给物理量
的符号表示);
(3)若小球能始终在电磁场所在空间做周期性运动,则当小球运动的周期最大时,求出磁感应强度B0及运动的最大周期T的大小(用题中所给物理量的符号表示).
答案
(1)
(2)+ (3)
解析
(1)当小球仅有电场作用时:
mg=Eq,小球将做匀速直线运
动.在t1时刻加入磁场,小球在时间t0内将做匀速圆周运动,圆周
运动周期为T0,若竖直向下通过D点,由图甲分析可知:
t0==
(2)-=R,即:
甲
v0t1-L=R
qv0B0=mv
/R
所以v0t1-L=,t1=+
(3)小球运动的速率始终不变,当R变大时,T0也增加,小球在电
磁场中的运动的周期T增加,在小球不飞出电磁场的情况下,当T
最大时有:
=2R==
B0=,T0==乙
由图分析可知小球在电磁场中运动的最大周期:
T=8×=,小球运动轨迹如图乙所示.
高考题组
1.(2012·课标全国·25)如图16,一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面
(纸面).在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场,一质量为m、
电荷量为q的粒子沿图中直线从圆上的a点射入柱形区域,从圆上的b
点离开该区域,离开时速度方向与直线垂直.圆心O到直线的距离为
R.现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场,同一粒子以同样图16
速度沿直线从a点射入柱形区域,也从b点离开该区域.若磁感应强度大小为B,不计
重力,求电场强度的大小.
答案
解析 粒子在磁场中做圆周运动.设圆周的半径为r,由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得qvB=m①
式中v为粒子在a点的速度.
过b点和O点作直线的垂线,分别与直线交于c点和d点.由几何关系知,线段、和过a、b两点的圆弧轨迹的两条半径(未画出)围成一正方形.因此
==r②
设=x,由几何关系得=R+x③
=R+④
联立②③④式得r=R⑤
再考虑粒子在电场中的运动.设电场强度的大小为E,粒子在电场中做类平抛运动.设
其加速度大小为a,由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得
qE=ma⑥
粒子在电场方向和直线方向运动的距离均为r,由运动学公式得r=at2⑦
r=vt⑧
式中t是粒子在电场中运动的时间.联立①⑤⑥⑦⑧式得
E=.
2.(2012·浙江理综·24)如图17所示,两块水平放置、相距为d的长
金属板接在电压可调的电源上.两板之间的右侧区域存在方向
垂直纸面向里的匀强磁场.将喷墨打印机的喷口靠近上板下表
面,从喷口连续不断喷出质量均为m、水平速度均为v0、带相等电荷图17
量的墨滴.调节电源电压至U,墨滴在电场区域恰能沿水平向右做匀速直线运动;进入
电场、磁场共存区域后,最终垂直打在下板的M点.
(1)判断墨滴所带电荷的种类,并求其电荷量;
(2)求磁感应强度B的值;
(3)现保持喷口方向不变,使其竖直下移到两板中间的位置.为了使墨滴仍能到达下板M
点,应将磁感应强度调至B′,则B′的大小为多少?
答案
(1)负电荷
(2) (3)
解析
(1)墨滴在电场区域做匀速直线运动,有
q=mg①
由①式得:
q=②
由于电场方向向下,电荷所受电场力向上,可知:
墨滴带负电荷.
(2)墨滴垂直进入电场、磁场共存区域后,重力仍与电场力平衡,合力等于洛伦兹力,
墨滴做匀速圆周运动,有
qv0B=m③
考虑墨滴进入电场、磁场共存区域和下板的几何关系,可知墨滴在该区域恰完成四分之
一圆周运动,则半径
R=d④
由②③④式得B=
(3)根据题设,墨滴运动轨迹如图所示,设墨滴做圆周运动的半径为R′,有
qv0B′=m⑤
由图可得:
R′2=d2+(R′-)2⑥
由⑥式得:
R′=d⑦
联立②⑤⑦式可得:
B′=.
3.(2012·重庆理综·24)有人设计了一种带电颗粒的速率
分选装置,其原理如图18所示,两带电金属板间有
匀强电场,方向竖直向上,其中PQNM矩形区域内
还有方向垂直纸面向外的匀强磁场.一束比荷(电荷
量与质量之比)均为的带正电颗粒,以不同的速率
沿着磁场区域的水平中心线O′O进入两金属板之间,图18
其中速率为v0的颗粒刚好从Q点处离开磁场,然后做匀速直线运动到达收集板,重力加
速度为g,PQ=3d,NQ=2d,收集板与NQ的距离为l,不计颗粒间的相互作用.求:
(1)电场强度E的大小;
(2)磁感应强度B的大小;
(3)速率为λv0(λ>1)的颗粒打在收集板上的位置到O点的距离.
答案 见解析
解析
(1)设带电颗粒的电荷量为q,质量为m.由于粒子从Q点离开磁场后做匀速直线运
动,则有Eq=mg
将=代入,得
E=kg.
(2)如图所示,粒子在磁场区域内由洛伦兹力提供其做圆周运动的
向心力,则有qv0B=m①
而由几何知识有
R2=(3d)2+(R-d)2②
联立①②解得
B=.③