数学课本多项式的运算与应用.docx
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数学课本多项式的运算与应用
多项式的运算与应用
本节介绍一般的多项式,并学习其运算。
1多项式的定义
形如axn的式子称为单项式(a是实数,x是未知数,n是正整数或0)。
例如:
2x3,-x,7,0都是单项式。
将有限个单项式用加号连结起来的式子称为多项式。
※多项式的定义
若n是正整数或0,则形如
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
的式子称为多项式,其中an,an-1,…,a1,a0为实数。
例如:
3x2-
x+0.9,7,2x6,0都是多项式。
但是,-
,
,2|x|就不是多项式。
随堂练习
下列哪些是多项式?
(A)x2-
x(B)3-
(C)
+x3
(D)
(E)12(F)4x3+|x|
上面定义中需注意一些事项:
(1)anxn,an-1xn-1,…,a1x,a0称为多项式f(x)的项;其中anxn为n次项,an-1xn-1为(n-1)次项,…,等等。
a0称为常数项。
(2)当an≠0时,anxn是x次数最高的非零项,我们称f(x)是一个n次多项式,n称为f(x)的次数,并记为deg(f(x))=n。
例如:
x9-x6+5x3是九次多项式,即deg(x9-x6+5x3)=9;而3是零次多项式,deg(3)=0。
(3)0也是一个多项式,特别称为零多项式。
我们不规定它的次数。
(4)各次项的系数就是每个单项前的数字。
其中当最高次项的系数an≠0时,an称为首项系数(领导系数)。
例如:
x9-x6-5x3的首项系数为1,三次项系数为-5,常数项为0。
(5)习惯上将多项式由高次项写到低次项,称为降序排列;或者由低次项写到高次项,称为升幂排列。
例如:
多项式-3x+4x4+6+3x2-x3的降序排列为4x4-x3+3x2-3x+6,升幂排列为6-3x+3x2-x3+4x4。
例题1
(1)多项式f(x)=x4-3x2+4x+5,试求deg(f(x)),x2项的系数及常数项。
(2)若多项式(a+2)x4-(b-1)x3+x2+a2+b-3是二次多项式,试求此多项式的常数项。
解
(1)f(x)最高次项为x4,故deg(f(x))=4。
又x2项的系数为-3,常数项为5。
(2)题目条件表示x4与x3的系数皆为0,
因此a+2=0,且-(b-1)=0,
故a=-2,b=1。
故此多项式为x2+(-2)2+1-3=x2+2,
即常数项为2。
随堂练习
若(a+2)x4+4x2+5是二次多项式,试求a之值、以及此多项式x3,x2,x项的系数及常数项。
※两多项式相等
当两多项式相对应的每一单项的系数都相同,则称这两个多项式相等。
两个相等的非零多项式,其次数必相同。
随堂练习
若多项式f(x)=ax2+(4-b)x+c与g(x)=2x2+(b+2)x-3c相等,试求a,b,c。
2多项式的四则运算
两个多项式可以做加、减、乘、除等四则运算。
分别介绍如下:
多项式的加减法
两多项式相加或相减时,是把次数相同的单项系数相加或相减。
例如:
f(x)=x3-x2+x+1,g(x)=3x2+2x+1,则
f(x)+g(x)=x3+(-x2+3x2)+(x+2x)+(1+1)=x3+2x2+3x+2。
f(x)-g(x)=x3+(-x2-3x2)+(x-2x)+(1-1)=x3-4x2-x。
多项式相加减可以用横式,直式或分离系数法来运算。
如本例:
故f(x)+g(x)=x3+2x2+3x+2。
随堂练习
若多项式f(x)=x3+x2+x+2且g(x)=x3+x2+3x-1,试求:
(1)f(x)+g(x)。
(2)f(x)-g(x)。
多项式的乘法
两个单项式axn和bxm按下面的规则相乘:
axn×bxm=abxn+m,
例如:
2x3×(-7x2)=-14x5。
一般多项式的乘法,则利用乘法对加法的分配律来计算。
例如:
(x3-x2+3)(3x2-2)=x3(3x2-2)-x2(3x2-2)+3(3x2-2)
=3x5-2x3-3x4+2x2+9x2-6
=3x5-3x4-2x3+11x2-6。
多项式相乘一样也可以用直式或分离系数法来计算。
本例中可用
f(x)=x3-x2+3,g(x)=3x2-2,
故f(x)g(x)=3x5-3x4-2x3+11x2-6。
随堂练习
f(x)=x+4且g(x)=x2-4x+5,试求f(x)g(x)。
可以发现:
若f(x)的最高次项为axn,且g(x)的最高次项为bxm,则f(x)g(x)的最高次项为abxn+m,亦即
若deg(f(x))=n,deg(g(x))=m,则deg(f(x)g(x))=n+m。
多项式的除法
多项式相除的过程类似长除法。
以2x3+3x2-5x+4除以x2+2x-3为例(前者称为被除式,后者称为除式)做长除法如下:
亦可以使用分离系数的方式进行计算,
故2x3+3x2-5x+4=(x2+2x-3)(2x-1)+(3x+1)。
随堂练习
f(x)=2x3+x2-3且g(x)=x-2,试求f(x)除以g(x)的商式及余式。
计算f(x)除以g(x)时,一旦做到余式r(x)的次数比除式的次数小(或整除)时,就停止计算。
这样得到唯一的商式q(x)及余式r(x)。
如同17÷3=5…2,即17=3‧5+2,今设f(x)除以g(x)的商式为q(x),
余式为r(x),则有
f(x)=g(x)q(x)+r(x),
且余式满足deg(r(x))<deg(g(x))或是r(x)=0。
※多项式的除法原理
将多项式f(x)除以多项式g(x)(其中g(x)≠0),会得到唯一的商式q(x)及余式r(x),且
f(x)=g(x)q(x)+r(x),
其中deg(r(x))<deg(g(x))或是r(x)=0。
例题2
已知f(x)=x3+ax2+bx+1,g(x)=x2-x+1,若g(x)整除f(x),
试求a,b及商式。
解采用分离系数法计算如下:
得余式为(b+a)x-a。
因为g(x)整除f(x),
故(b+a)x-a=0x+0,即得
,
所以a=b=0,且商式为x+1。
随堂练习
已知f(x)=x3+x2+ax+1,g(x)=x2-x+b,若g(x)除f(x)的余式为3,试求a及商式。
例题3
设f(x)除以g(x)的商式为q(x),余式为r(x),试求:
(1)f(x)除以2g(x)的商式和余式。
(2)f(x)除以
g(x)的商式和余式。
解
(1)由除法原理,f(x)=g(x)q(x)+r(x),
将此式改写成f(x)=2g(x)
+r(x),
这表示f(x)除以2g(x)的商式是
q(x),
余式仍然是r(x)。
(2)由除法原理,f(x)=g(x)q(x)+r(x),
将此式改写成f(x)=
g(x)(3q(x))+r(x),
这表示f(x)除以
g(x)的商式是3q(x),
余式仍然是r(x)。
随堂练习
已知x4+1除以x2-x+1的余式是-x+1,试求x4+1除以3x2-3x+3的余式。
综合除法
若除式为一次式,则长除法可用一种较简便的方法记录,称为综合除法。
我们先来看下面的例子:
考虑f(x)=x3+x2+x-2,除以x-2,
重复的数字不必全部写出,可写为
可以再写成
此时,第一列与第二列相减得到第三列。
若把×(-2)的动作改成×
(2),则将第一列与第二列相加可得第三列。
最后这个表所展示的算法就称为综合除法。
当然,也可以用长除法计算,但是熟练综合除法会比较快一些。
注意到做综合除法时,因为除式都为一次式,所以余式必定是一个常数。
例题4
已知f(x)=2x3+3x2+4x-1,g(x)=x+1,利用综合除法计算f(x)除以g(x)的商式及余式。
解
故得商式为2x2+x+3,余式为-4。
随堂练习
已知f(x)=x3+2x2+x+3,g(x)=x-3,利用综合除法计算f(x)除以g(x)的商式及余式。
如果f(x)要除以ax-b怎么办呢?
我们先用综合除法做f(x)除以x-
,得到商式q(x),余式r,由除法原理,
f(x)=
+r=(ax-b)
+r。
所以f(x)除以ax-b的商式是
q(x),余式仍然是r。
例如:
f(x)=4x2+2x-1除以2x-3,先求f(x)除以x-
。
即f(x)被x-
除的商式是4x+8,余式是11。
因此f(x)被2x-3除的商式是2x+4,余式是11。
随堂练习
已知f(x)=6x4+5x3-8x2+x-3,g(x)=2x+3,利用综合除法计算f(x)除以g(x)的商式及余式。
数学上常常需要将多项式改写成另一个形式。
例如,将多项式2x2-5x+6写成如下的形式:
2x2-5x+6=a(x-1)2+b(x-1)+c。
观察最高次可知a=2,两边消去2(x-1)2后再比较可得b=-1等。
但次数较多时这样逐项比较不方便,可以连续使用综合除法。
例题5
若多项式f(x)=2x3+x2-3x+4=a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d,其中a,b,c,d是常数,试求:
(1)a,b,c,d之值。
(2)计算f(0.99)的近似值(至小数点后第二位,第三位四舍五入)。
解
(1)利用综合除法,
f(x)=(x-1)(2x2+3x)+4,①
将商式再用综合除法除以x-1得
2x2+3x=(x-1)(2x+5)+5,②
将商式再用综合除法除以x-1得
2x+5=(x-1)
(2)+7,③
由①、②、③可得
f(x)=(x-1)(2x2+3x)+4
=(x-1)((x-1)(2x+5)+5)+4
=(x-1)((x-1)((x-1)
(2)+7)+5)+4
=2(x-1)3+7(x-1)2+5(x-1)+4,
因此a=2,b=7,c=5,d=4。
上面连续使用综合除法的过程可以简化成
(2)由
(1)可知f(x)=2(x-1)3+7(x-1)2+5(x-1)+4,
所以f(0.99)=2(-0.01)3+7(-0.01)2+5(-0.01)+4
5(-0.01)+4=3.95。
随堂练习
若多项式f(x)=2x3+x2-3x+1,可以表示成
a(x-2)3+b(x-2)2+c(x-2)+d,
其中a,b,c,d是常数,试求:
(1)a,b,c,d之值。
(2)计算f(2.01)的近似值(至小数点后第二位,第三位四舍五入)。
3余式定理与因式定理
余式定理
考虑多项式f(x)除以一次式x-2,由除法原理知
f(x)=(x-2)q(x)+r。
若代x=2到上式,可得f
(2)=r,因此,
f(x)被x-2所除的余式r就是f
(2)。
同理,多项式f(x)除以一次式ax-b,由除法原理知
f(x)=(ax-b)q(x)+r。
令x=
代入上式,可得
=r,即
f(x)被ax-b所除的余式r就是
。
※余式定理
多项式f(x)被一次式ax-b所除的余式为
。
例题6
试求多项式f(x)=2x9+x2-3x+1除以x+1的余式。
解由余式定理知,f(x)除以x+1的余式为
f(-1)=2(-1)9+(-1)2-3(-1)+1
=-2+1+3+1
=3。
随堂练习
试求多项式f(x)=128x6+4x2-2x+1除以2x-1的余式。
由上例可知,当我们利用余式定理算出函数值f(a)就知道余式r。
反过来说,如果想求多项式函数在某处x=a的函数值时,我们也可以使用余式定理,利用综合除法计算出来的余式即为答案。
我们来看以下的例子。
例题7
设多项式f(x)=x4+8x3+9x2+27x+89,试求f(-7)。
解由余式定理知f(-7)即为f(x)除以x+7的余式。
所以用综合除法计算f(x)除以x+7得
余式为-2,所以f(-7)=-2。
随堂练习
设多项式f(x)=2x3-19x2+10x-13,试求f(9)。
最后,我们来看一个重复利用余式定理求余式的例子。
例题8
设多项式f(x)除以x-1的余式为2,除以x-2的余式为4,试求多项式f(x)除以
(x-1)(x-2)的余式。
解利用除法原理,可设
f(x)=(x-1)(x-2)q(x)+ax+b。
又f(x)除以x-1的余式为2,故由余式定理知f
(1)=2。
又f(x)除以x-2的余式为4,故由余式定理知f
(2)=4。
代入x=1及x=2,
得
,
即
,可解得
,
所以f(x)=(x-1)(x-2)q(x)+2x,
即f(x)被(x-1)(x-2)所除的余式为2x。
随堂练习
设多项式f(x)除以x+2的余式为1,除以x-2的余式为2,试求多项式f(x)除以x2-4的余式。
因式定理
若多项式g(x)整除多项式f(x),则称g(x)为f(x)的因式。
例如:
x-1为x3-1的因式。
前一主题的余式定理谈到
f(x)=(ax-b)q(x)+
,
观察上式,若ax-b是f(x)的因式,则
=0;反之,
若
=0,则ax-b整除f(x),是f(x)的因式。
※因式定理
若f(x)有一次因式ax-b,则
=0;
反之,若
=0,则f(x)有一次因式ax-b。
例题9
试判断:
(1)2x+1是否为2x3+x2-4x-2的因式?
(2)x-2是否为x4+x2-8x-6的因式?
解
(1)令f(x)=2x3+x2-4x-2,
因为
=2
+
-4
-2=0,
故由因式定理知2x+1是2x3+x2-4x-2的因式。
(2)令g(x)=x4+x2-8x-6,
因为g
(2)=16+4-16-6≠0,
故由因式定理知x-2不是x4+x2-8x-6的因式。
随堂练习
试判断:
(1)3x-2是否为x6-1的因式?
(2)x-1是否为x7-1的因式?
由因式定理可知,x-1及x+1都是x6-1的因式,因此可推得(x-1)(x+1)也是x6-1的因式。
为什么呢?
因为x+1是因式,由除法原理,有
x6-1=(x+1)q(x)。
但x-1是因式,故由因式定理,若以x=1代入上式会等于0,可得q
(1)=0,再由因式定理,这表示q(x)有因式x-1,
综合起来就得到
x6-1=(x+1)q(x)
=(x+1)(x-1)q′(x)。
运用同样的推理,我们可以知道:
※相异一次因式的乘积仍为因式
若f(x)有一次因式x-a1,x-a2,…,x-an,并且a1,a2,…,an两两互异,则f(x)有因式(x-a1)(x-a2)…(x-an)。
例题10
若三次多项式f(x)满足f
(1)=0,f
(2)=0,f(3)=2,f(0)=1,试求f(x)。
解因为f
(1)=0,f
(2)=0,
故由因式定理知f(x)有因式(x-1)(x-2),
又f(x)是三次多项式,故可令
f(x)=(x-1)(x-2)(ax+b),
又题目条件说f(3)=2,f(0)=1,
即f(3)=2‧1‧(3a+b)=2,
f(0)=(-1)(-2)(b)=1,
解得b=
,a=
,
故f(x)=
(x-1)(x-2)(x+3)。
随堂练习
若二次多项式f(x)满足f
(1)=0,f
(2)=1,f(3)=6,试求f(x)。
4插值多项式
三点决定拋物线
给定两点,可以决定一直线y=ax+b。
换句话说,给定f(x1)和f(x2),就可以求出一次多项式f(x)=ax+b。
一般而言,给定f(x1),f(x2),f(x3),可以求出f(x)=ax2+bx+c,f(x)称为这三个值的插值多项式。
例题11
若二次多项式f(x)满足f
(1)=0,f
(2)=4,f(4)=18,试求f(x)。
解〔解法一〕
因为f
(1)=0,故由因式定理可设f(x)=(x-1)(ax+b),
代入f
(2)=4,及f(4)=18,
得
,即
,解得
,
因此f(x)=(x-1)(x+2)=x2+x-2。
〔解法二〕
可令f(x)=a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c,
代入f
(1)=0,f
(2)=4,f(4)=18,
得
将①代入②中,得b=4,
再代入③中,得6a+3‧4=18,故a=1,
所以f(x)=(x-1)(x-2)+4(x-1)=x2+x-2。
随堂练习
若二次多项式f(x)满足f(0)=1,f
(1)=3,f
(2)=7,试求f(x)。
以图形的观点来看,上例即求出一拋物线通过(1,0),(2,4),(4,18)三点。
解法二是一个巧妙的想法,称为牛顿插值法(牛顿IsaacNewton,1642~1727)。
拉格朗日插值法
另有一种称为拉格朗日插值法(拉格朗日Joseph-LouisLagrange,1736~1813)的假设方式,以下例题12说明。
例题12
若多项式f(x)=a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-4)+c(x-4)(x-1),
满足f
(1)=0,f
(2)=4,f(4)=18,试求:
(1)f(x)。
(2)f(6)。
解将x=1,x=2,及x=4分别代入f(x)中,
f
(1)=a(1-1)(1-2)+b(1-2)(1-4)+c(1-4)(1-1)=0,
f
(2)=a(2-1)(2-2)+b(2-2)(2-4)+c(2-4)(2-1)=4,
f(4)=a(4-1)(4-2)+b(4-2)(4-4)+c(4-4)(4-1)=18,
得b(1-2)(1-4)=0,
c(2-4)(2-1)=4,
a(4-1)(4-2)=18,
因此,
a=
,b=
,c=
,
所以,
(1)f(x)=18‧
+0‧
+4‧
=x2+x-2。
(2)代入x=6,即得f(6)=40。
随堂练习
若多项式f(x)=ax(x-1)+b(x-1)(x-2)+c(x-2)x,满足f(0)=1,f
(1)=2,f
(2)=4,试求f(5)。
例题12中假设多项式f(x)的形式,让我们可以利用余式定理求出未知系数,这就是拉格朗日插值法的方法。
将上述条件与计算过程如果都改成符号,我们就得到拉格朗日插值公式。
※拉格朗日插值公式
若二次多项式f(x1)=p,f(x2)=q,f(x3)=r,其中x1,x2,x3为相异实数,则
f(x)=p‧
+q‧
+r‧
。
换句话说,f(x)也是通过(x1,p),(x2,q),(x3,r)三点的拋物线方程式。
和之前的两个方法相比,拉格朗日插值公式的好处是可以直接“看题目写答案”,由已知通过的点直接代入公式,就可以得到一个通过这些点的多项式。
我们再来看一个例子。
例题13
某乐透游戏刚刚推出,每一期开出一个号码。
前三期分别开出2,3,5这三个号码。
某骗子吹嘘他有一个二次多项式公式,只要输入期号就会得到开奖号码,而且试了前三期都非常神准,想要这个神奇公式的人必须以巨额购买。
(1)请你找出此公式。
(2)根据此公式,下一期会开出几号?
图38
解
(1)令f(x)为所求的多项式。
则f
(1)=2,f
(2)=3,f(3)=5。
由拉格朗日插值公式得
f(x)=2‧
+3‧
+5‧
=
x2-
x+2。
(2)f(4)=8,“所以”下一期会开出8号。
只要有数据,总是可以找出插值多项式符合这些数据。
但是事实上开奖号码是无法预测的,故用此多项式去预测下一期号码是骗人的。
另一方面,如果我们想根据现有的数据,合理的预测未来的发展,那么插值多项式可以提供一个简便的多项式函数模型,计算结果给我们参考,以作为决策的依据。
随堂练习
某明星小区人口数变动的状况是:
在三月、五月及七月分,单月分别净移入4、6、2人。
若假设人口变动数(单位:
人;净移入为正、净移出为负)为时间(单位:
月)的二次函数,试求在九月分单月该小区人口净移入(或净移出)多少人?
习题2-2
一、基本题
1.设f(x)=x3+(a-1)x2+2x-3,g(x)=x3-2x2-bx+c+1,且f(x)与g(x)两多项式相等,试求a,b,c的值。
2.设f(x)=2x3-x2+3x-4,g(x)=(x-1)2,试求:
(1)f(x)+g(x)。
(2)f(x)-g(x)。
(3)f(x)‧g(x)。
(4)f(x)除以g(x)的商式及余式。
3.利用综合除法求解下列问题:
(1)(x3+5x2-6)÷(x+1)的商式和余式。
(2)(4x3+5x2+3x-2)÷(2x-1)的商式和余式。
4.
(1)设f(x)=x3-8x2+x-85,试求f(9)的值。
(2)试求x101+x10+2除以x-1的余式。
5.下列何者是f(x)=2x4+3x3-2x2-x-2的因式?
(A)x+1(B)x+2(C)x+5(D)x-3
6.已知2x2-x+2除以x+1得商式2x-3,余式5。
请完成下列算式:
(1)2x2-x+2=(x+1)(2x-3)+ 。
(2)
=(2x-3)+ 。
二、进阶题
7.设f(x)为二次多项式,且f
(1)=-2,f(3)=5,f(4)=16。
(1)若f(x)=a(x-1)(x-3)+b(x-1)+c,试求a,b,c之值。
(2)若f(x)=
(x-1)(x-3)+m(x-3)(x-4)+n(x-4)(x-1),试求
,m,n之值。
8.试问下列各叙述是否正确?
若不正确,请写出正确的结论。
(1)若f(x)为三次多项式,g(x)为三次多项式,则f(x)+g(x)为三次多项式。
(2)若f(x)为三次多项式,g(x)为二次多项式,则f(x)‧g(x)为六次多项式。
(3)若f(x)除以一次式g(x)的余式为r,则f(x)除以一次式3g(x)的余式为3r。
(4)若f(x)除以一次式g(x)的商式为q(x),则f(x)除以一次式3g(x)的商式为3q(x)。
9.
(1)设多项式f(x)除以x-2的余式为2,除以x-3的余式为5,
试求f