《数学分析》第三章 函数极限.docx

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《数学分析》第三章函数极限

第三章函数极限（计划课时：

14时）P42—68

§1函数极限概念（4时）

一、时函数的极限：

1.以时和为例引入.

2.介绍符号:

,的意义,的直观意义.

3.函数极限的“”定义（,,）.

4.几何意义:

介绍邻域,,

其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．

5.函数在与,极限的关系:

Th1

例1验证

证明格式：

（不妨设□）（不妨设□或□，□）

要使化简≤附加条件逐次放大不等式＜，

只须□（）或□（），□（）.

于是,□，当（或，）时，有

.

根据函数极限的“”定义知□=□（或□=□，□=□）.

例2验证：

1）；2）.

例3验证

证……

6.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.

7.的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其大的一面.

二．时函数的极限：

1.由考虑时的极限引入.

2.函数极限的“”定义.

3.几何意义.

4.用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证

例5验证

例6验证

证由=

为使需有

为使需有

于是,倘限制,就有

证明格式：

（不妨设□）（不妨设□或□，□,则□□）

要使化简≤附加条件逐次放大不等式＜，

只须□（）或□（），□（）.

于是,□，当（或，）时，有:

.

根据函数极限的“”定义知□=□（或□=□，□=□）.

例7验证

例8验证（类似有

5.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.

6.的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其小的一面.

7.存在并不意味着在有定义,即就是有定义也并不意味着（如例6）.

例9证明.

三.单侧极限:

1.定义：

单侧极限的定义及记法.

2.几何意义:

介绍半邻域

然后介绍等的几何意义.

例9验证

证考虑使的

3.单侧极限与双侧极限的关系:

Th2

例10证明:

极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=

Ex[1]P471—7.

§2函数极限的性质（2时）

我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

一.函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性（不等式性质）:

Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使

都有

证设=（现证对有）

註:

若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性（双逼原理）:

例1求.

6.四则运算性质:

（只证“+”和“”）

Ex[1]P515——7.

二．利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

（注意前四个极限中极限就是函数值）

这些极限可作为公式用.通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1（利用极限和）

例2

例3

註:

关于的有理分式当时的极限.

例4[利用公式]

例5

例6

例7

例8

例9

例10已知求和

Ex[1]P511——4.

补充题:

已知求和（）

§3函数极限存在的条件（2时）

本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.

一、Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：

Th1设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在对任何且都存在且相等.（证）

Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.

例1证明函数极限的双逼原理.

例2证明

例3证明不存在.

Th2设函数在点的某空心右邻域有定义.则对任何以为极限的递减数列,有.

Th3设函数为定义在上的单调有界函数.则存在.

二、Cauchy准则:

Th3（Cauchy准则）设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,

证

（利用Heine归并原则）

Cauchy准则的否定:

不存在的充要条件.

例4用Cauchy准则证明极限不存在.

证取

例5设在[上函数↘.则极限存在在[上有界.（简证,留为作业）.

Ex[1]P551——4.

§4两个重要极限（2时）

一．（证）（同理有）

例1

例2.

例3

例4

例5证明极限不存在.

二.

证对有

例6特别当等.

例7

例8

例9

Ex[1]P581——4.

§5无穷小量与无穷大量阶的比较（2时）

一、无穷小量:

1.定义.记法.

2.无穷小的性质:

性质1（无穷小的和差积）

性质2（无穷小与有界量的积）

例1

3.无穷小与极限的关系:

Th1（证）

二、无穷小的阶:

设时

1．高阶（或低阶）无穷小：

2．同阶无穷小：

3．等价:

Th2（等价关系的传递性）.

等价无穷小在极限计算中的应用:

Th3（等价无穷小替换法则）.

几组常用等价无穷小:

设以作为基本无穷小,有等价关系:

当时,～,～,～,～,～,

～,～,～,～.

再加上时（或时）的（或的）有理分式（分子次数小于分母次数）的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.

例3求.

例4

三.无穷大量:

1.定义:

例5验证.

例6验证.

2.性质:

性质1同号无穷大的和是无穷大.

性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.

性质3与无界量的关系.

无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.

3.无穷小与无穷大的关系:

无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大.

四、曲线的渐近线：

1.定义：

2.结论：

⑴若,则直线为曲线的垂直渐近线.

⑵若,则直线为曲线的水平渐近线.

⑶若,则直线为曲线的斜渐近线.

注：

可换为,;可换为,.

例7求曲线的渐近线.

Ex[1]P661—6.