命题逻辑.docx
《命题逻辑.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《命题逻辑.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
命题逻辑
1.1判断下列句子是否为命题，若是命题，对其进行符号化，并指出它的真值。
（1）是。
p：
离散数学是计算机科学与技术专业的一门基础课。
p的真值为1。
（2）是。
p：
5能被2整除。
p的真值为0。
（3）否
（4）否
（5）否
（6）是。
p：
太阳系外的星球上存在生命。
p的真值目前不知道，但其真值是确定的。
（7）是。
pq：
4是奇数或是素数。
其中，p：
4是奇数，q：
4是素数，由于p的真值为0，q的真值为0，所以pq的真值为0。
（8）是。
pq：
2是偶数且是素数。
其中，p：
2是偶数，q：
2是素数，由于p的真值为1，q的真值为1，所以pq的真值为1。
（9）是。
pq：
若1+1=2，则2+2=5。
其中，p：
1+1=2，q：
2+2=5，由于p的真值为1，q的真值为0，所以pq的真值为0。
（10）是。
pq：
1+1=2当且仅当2+2=5。
其中，p：
1+1=2，q：
2+2=5，由于p的真值为1，q的真值为0，所以pq的真值为0。
1.2将下列命题符号化。
（1）pq：
气温在零度以下，但没下雪。
其中，p：
气温在零度以下，q：
天下雪。
（2）pq：
小王一边看书，一边听音乐。
其中，p：
小王看书，q：
小王听音乐。
（3）pq：
2是偶素数。
其中，p：
2是偶数，q：
2是素数。
（4）pq：
李明不但聪明而且非常用功。
其中，p：
李明聪明，q：
李明非常用功。
（5）p：
李明和李强是兄弟。
（6）pq：
2或3是偶数。
其中，p：
2是偶数，q：
3是偶数。
（7）（pq）（pq）：
学生只能选择羽毛球或乒乓球两者之一作为体育课。
其中，p：
学生选择羽毛球作为体育课，q：
学生选择乒乓球作为体育课。
（8）pq或（pq）（pq）：
李明生于1994年或1995年。
其中，p：
李明生于1994年，q：
李明生于1995年。
（9）pq：
如果天下大雨，他就带伞。
其中，p：
天下大雨，q：
他带伞。
（10）qp：
只有天下大雨，他才带伞。
其中，p：
天下大雨，q：
他带伞。
（11）qp：
除非天下大雨，否则他不带伞。
其中，p：
天下大雨，q：
他带伞。
（12）pq：
太阳从西方升起当且仅当巴黎是美国的首都。
其中，p：
太阳从西方升起，q：
巴黎是美国的首都。
1.3设p：
伦敦是美国的首都，q：
雪是白色的，r：
2+2=4，s：
3是偶数，求下列复合命题的真值。
（1）（pq）r。
真值为1。
（2）（pq）（rs）。
真值为1。
（3）（pq）（rs）。
真值为1。
1.４求下列命题公式的真值表。
（1）p（qr）
p
q
r
qr
p（qr）
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
（2）（qr）r
q
r
qr
（qr）
（qr）r
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
（3）（pq）（pq）
p
q
pq
pq
（pq）（pq）
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
（4）（pr）（pq）
p
q
r
p
q
pr
pq
（pr）（pq）
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
（5）（pq）r
p
q
r
q
pq
（pq）r
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1.5试用真值表法判断下列命题公式的类型。
（1）（pq）（qp）
p
q
pq
qp
（pq）（qp）
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
由于命题公式（pq）（qp）的真值表最后一列全为1，所以为重言式。
（2）（pq）p
p
q
pq
（pq）p
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
由于命题公式（pq）（qp）的真值表最后一列既有1，又有0，所以为非重言式的可满足式。
（3）（pq）（pq）
p
q
p
q
pq
pq
（pq）（pq）
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
由于命题公式（pq）（pq）的真值表最后一列既有1，又有0，所以为非重言式的可满足式。
（4）（pq）p
p
q
q
pq
（pq）
（pq）p
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
由于命题公式（pq）p的真值表最后一列全为0，所以为矛盾式。
1.6求下列命题公式的成真赋值、成假赋值。
（1）pq
p
q
pq
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
由真值表可知，公式pq的成真赋值为00、01、11，成假赋值为10。
（2）（pq）（pq）
p
q
p
q
pq
pq
（pq）（pq）
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
由真值表可知，公式（pq）（pq）的成真赋值为01、10，成假赋值为00、11。
（3）（pq）r
p
q
r
q
r
pq
（pq）r
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
由真值表可知，公式（pq）r的成真赋值为000、010、011、100、110，成假赋值为001、101、111。
1.7试用等值演算法判断下列命题公式的类型。
（1）（pq）（qp）
（pq）（pq）
1
可知，公式和1等值，故（pq）（qp）为重言式。
（2）（pq）q。
（pq）q
（pq）q
0
可知，公式和0等值，故（pq）q为矛盾式。
1.8用真值表法证明下列等值式。
（1）pqpq
p
q
p
pq
pq
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
由真值表可知，公式pq和pq在真值表中所对应的两列的真值一致，故pqpq。
（2）pqpq
p
q
p
q
pq
pq
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
由真值表可知，公式pq和pq在真值表中所对应的两列的真值一致，故pqpq。
（3）pq（pq）（pq）
p
q
p
q
pq
pq
pq
（pq）（pq）
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
由真值表可知，公式pq和（pq）（pq）在真值表中所对应的两列的真值一致，故pq（pq）（pq）。
（4）p（pq）p
p
q
q
pq
p（pq）
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
由真值表可知，公式p（pq）和p在真值表中所对应的两列的真值一致，故p（pq）p。
1.9用等值演算法证明下列等值式。
（1）（pq）（pr）p（qr）
（pq）（pr）
（pq）（pr）
p（qr）
p（qr）
（2）（pr）（qr）（pq）r
（pr）（qr）
（pr）（qr）
（pq）r
（pq）r
（pq）r
（3）（pq）（pr）p（qr）
p（qr）
p（qr）
（pq）（pr）
（pq）（pr）
（4）p（qr）q（pr）
q（pr）
q（pr）
p（qr）
p（qr）
p（qr）
1.10试用真值表法求下列命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
（1）p（pq）；
p
q
pq
p（pq）
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
由真值表可知，公式的成真赋值为11，其对应的极小项为m3，故公式的主析取范式为m3∑（3）；公式的成假赋值为00、01、10，其对应的极大项分别为M0、M1、M2、，故公式的主合取范式为M0M1M2∏（0,1,2）。
（2）（pq）r
p
q
r
pq
（pq）r
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
由真值表可知，公式的成真赋值为001、011、101、110、111，其对应的极小项分别为m1、m3、m5、m6、m7，故公式的主析取范式为m1m3m5m6m7∑（1,3,5,6,7）；公式的成假赋值为000、010、100，其对应的极大项分别为M0、M2、M4，故公式的主合取范式为M0M2M4∏（0,2,4）。
（3）（pq）r；
p
q
r
p
pq
（pq）r
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
由真值表可知，公式的成真赋值为000、001、011、100、101、110、111，其对应的极小项分别为m0、m1、m3、m4、m5、m6、m7，故公式的主析取范式为m0m1m3m4m5m6m7∑（0,1,3,4,5,6,7）；公式的成假赋值为010，其对应的极大项分别为M2，故公式的主合取范式为M2∏
（2）。
（4）（pq）（pr）
p
q
r
p
pq
pr
（pq）（pr）
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
由真值表可知，公式的成真赋值为001、011、110、111，其对应的极小项分别为m1、m3、m6、m7，故公式的主析取范式为m1m3m6m7∑（1,3,6,7）；公式的成假赋值为000、010、101、100，其对应的极大项分别为M0、M2、M4、M5，故公式的主合取范式为M0M2M4M5∏（0,2,4,5）。
（5）（qp）（pq）
p
q
p
qp
pq
（qp）（pq）
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
由真值表可知，公式无成真赋值，故公式的主析取范式为0；公式的成假赋值为00、01、10、11，其对应的极大项分别为M0、M1、M2、M3，故公式的主合取范式为M0M1M2M3∏（0,1,2,3）。
（6）p（p（qp））
p
q
qp
p（qp）
p（p（qp））
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
由真值表可知，公式的成真赋值为00、01、10、11，其对应的极小项为m0、m1、m2、m3，故公式的主析取范式为m0m1m2m3∑（0,1,2,3）；公式无成假赋值，故公式的主合取范式为1。
1.11试用等值演算法求习题1.10中各命题公式的主析取范式、主合取范式、成真赋值、成假赋值。
（1）p（pq）
p（pq）
（pp）（pq）
pq
m3∑（3）
由此可知，公式的主析取范式为∑（3），主合取范式为∏（0,1,2），成真赋值为11，成假赋值为00、01、10。
（2）（pq）r
（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）
m7m6m5m3m1∑（1,3,5,6,7）
由此可知，公式的主析取范式为∑（1,3,5,6,7），主合取范式为∏（0,2,4），成真赋值为001、011、101、110、111，成假赋值为000、010、100。
（3）（pq）r
（pq）r
（pq）r
pqr
M2∏
（2）
由此可知，公式的主析取范式为∑（0,1,3,4,5,6,7），主合取范式为∏
（2），成真赋值为000、001、011、100、101、110、111，成假赋值为010。
（4）（pq）（pr）
（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）
m7m6m3m1∑（1,3,6,7）
由此可知，公式的主析取范式为∑（1,3,6,7），主合取范式为∏（0,2,4,5），成真赋值为001、011、110、111，成假赋值为000、010、100、101。
（5）（qp）（pq）
（qp）（pq）
（pq）pq
（pq）（pq）（pq）（pq）（pq）
M1M2M3M2M0∏（0,1,2,3）
由此可知，公式的主析取范式为0，主合取范式为∏（0,1,2,3），无成真赋值，成假赋值为00、01、10、11。
（6）p（p（qp））
p（p（qp））
p（p（qp））
pp
1∑（0,1,2,3）
由此可知，公式的主析取范式为∑（0,1,2,3），主合取范式为0，成真赋值为00、01、10、11，无成假赋值。
1.12通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。
（1）p（qr）
p（qr）
pqr
M6∏（6）
∑（0,1,2,3,4,5,7）
（2）q（pr）
q（pr）
pqr
M6∏（6）
∑（0,1,2,3,4,5,7）
由于
（1）
（2）式的主析取范式皆为∑（0,1,2,3,4,5,7），故p（qr）q（pr）。
1.13在自然推理系统中，构造下面推理的证明。
（1）前提：
（pq），qr，r.
结论：
p.
证明：
①qr前提引入
②r前提引入
③q①②析取三段论
④（pq）前提引入
⑤pq④置换
⑥p③⑤析取三段论
（2）前提：
pq，rp，rs，st.
结论：
t.
证明：
①pq前提引入
②p①化简
③rp前提引入
④r②③拒取式
⑤rs前提引入
⑥s④⑤假言推理
⑦st前提引入
⑧t⑥⑦假言推理
（3）前提：
qp，qs，rs，rt.
结论：
pqst.
证明：
①rt前提引入
②r①化简
③rs前提引入
④（rs）（rs）③置换
⑤rs④化简
⑥s②⑤假言推理
⑦qs前提引入
⑧（qs）（sq）⑦置换
⑨sq⑧化简
⑩q⑥⑨假言推理
qp前提引入
p⑩
假言推理
t①化简
pqst⑥⑩
合取引入
（4）前提：
sq，sr，pq，r.
结论：
p.
证明：
①sr前提引入
②r前提引入
③s①②析取三段论
④sq前提引入
⑤q③④假言推理
⑥pq前提引入
⑦（pq）（qp）⑥置换
⑧pq⑦化简
⑨p⑤⑧拒取式
（5）前提：
p（qr），sp，q.
结论：
sr.
证明：
方法一：
①p（qr）前提引入
②q（pr）①置换
③q前提引入
④pr②③假言推理
⑤sp前提引入
⑥sr④⑤假言三段论
方法二：
①s附加前提引入
②sp前提引入
③p①②假言推理
④p（qr）前提引入
⑤qr③④假言推理
⑥q前提引入
⑦r⑤⑥假言推理
由附加前提证明法可知，sr成立。
（6）前提：
（pq）（us），（st）r.
结论：
pr.
证明：
①p前提引入
②pq①附加
③（pq）（us）前提引入
④us②③假言推理
⑤s④化简
⑥st⑤附加
⑦（st）r前提引入
⑧r⑥⑦假言推理
由附加前提证明法可知，pr成立。
（7）前提：
pq，pr，qs.
结论：
rs.
证明：
①pq前提引入
②pr前提引入
③qs前提引入
④rs①②③构造性二难
1.14在自然推理系统中，构造下面推理的证明。
（1）如果他是理科学生，他一定要学数学；如果他不是文科学生，他一定是理科学生；他没学数学，所以他是文科学生。
设p：
他是理科学生；
q：
他一定要学数学；
r：
他是文科学生；
前提：
pq，rp，q
结论：
r
证明：
①pq前提引入
②q前提引入
③p①②拒取式
④rp前提引入
⑤r③④拒取式
（2）有甲、乙、丙、丁参加羽毛球比赛。
如果甲第三，则当乙第二时，丙第四；或者丁不是第一，或者甲第三；事实上，乙第二。
因此，如果丁第一，那么丙第四。
证明：
①②③④⑤⑥⑦⑧
升级会员 