二次函数练习题.docx

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二次函数练习题

　二次函数练习

1．对于二次函数y＝－（x－1）2＋2的图象与性质，下列说法正确的是（　　）

A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2

C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是2

2．抛物线y＝x2－2x＋m2＋2（m是常数）的顶点在（　　）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．以矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y＝x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为（　　）

A．y＝x2＋8x＋14B．y＝x2－8x＋14

C．y＝x2＋4x＋3D．y＝x2－4x＋3

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图1－BZ－1所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：

①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.

其中正确的是（　　）

A．①④B．②④C．①②③D．①②③④

图1－BZ－1

图1－BZ－2

5．如图1－BZ－2，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，0），C（2，1），若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（　　）

A．b≤－2B．b<－2

C．b≥－2D．b>－2

6将抛物线y＝－x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为______________．

7．若二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n＝________．

图1－BZ－3

8．如图1－BZ－3，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A（－1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是________．

9．如图1－BZ－4①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是________．

图1－BZ－4

10．已知二次函数y＝x2＋x的图象如图1－BZ－5所示．

（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x2＋x＝1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x2＋x＝1的根（精确到0.1）；

（2）在同一直角坐标系中画出一次函数y＝

x＋

的图象，观察图象写出自变量x的取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值；

（3）如图1－BZ－5，P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在点P上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y＝

x＋

的图象上，请说明理由．

图1－BZ－5

11.如图1－BZ－6，过抛物线y＝

x2－2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为－2.

（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标．

（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D.

①连结BD，求BD长的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．

图1－BZ－6

12．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x＋a）（x－a－1），其中a≠0.

（1）若函数y1的图象经过点（1，－2），求函数y1的表达式；

（2）若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；

（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．

13．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用＋收购成本）．

（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值．

（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg.根据以往经验可知：

m与t的函数表达式为m＝

y与t的函数关系如图1－BZ－7所示．

①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t之间的函数表达式；

②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大，并求出这个最大值．（利润＝销售总额－总成本）

图1－BZ－7

1．B　[解析]二次函数y＝－（x－1）2＋2的图象的对称轴是直线x＝1.

∵－1<0，∴抛物线开口向下，函数有最大值，最大值是2.

2．A　[解析]∵y＝x2－2x＋m2＋2＝（x－1）2＋m2＋1，

∴顶点坐标为（1，m2＋1）．

∵1＞0，m2＋1＞0，

∴顶点在第一象限．

故选A.

3．A　[解析]∵矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，

∴矩形ABCD关于坐标原点对称．

∵点A，C是对角线上的两个点，

∴点A，C关于坐标原点对称，

∴点C的坐标为（－2，－1），

∴透明纸由点A平移至点C，抛物线向左平移了4个单位，向下平移了2个单位．

∵透明纸经过点A时，函数表达式为y＝x2，

∴透明纸经过点C时，函数表达式为y＝（x＋4）2－2＝x2＋8x＋14.

故选A.

4．C　[解析]①抛物线开口向上，所以a>0；抛物线对称轴为直线x＝－

＝1，所以b<0，所以ab＜0.所以①正确；

②抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac>0，所以b2＞4ac.所以②正确；

③由图象知，当x＝1时，y＝a＋b＋c<0；又抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0，所以a＋b＋2c＜0.所以③正确；

④由抛物线的轴对称性知，当x＝3时，y＝9a＋3b＋c>0.又－

＝1，所以b＝－2a，所以3a＋c>0.所以④错误．综上，正确的是①②③.故选C.

5．C　[解析]由二次函数系数a，b，c的几何意义可知该函数的开口方向和开口大小是确定不变的，与y轴的交点（0，1）也是确定不变的．唯一变化的是“b”，也就是说对称轴是变化的．若抛物线经过点（0，1）和C（2，1）这组对称点，可知其对称轴是直线x＝－

＝1，即b＝－2时是符合题意的，所以可以排除B，D两个选项，如果将该抛物线向右平移，此时抛物线与阴影部分就没有公共点了，向左平移才能符合题意，所以－

≤1，即b≥－2.

6．y＝－x2＋6x－11　[解析]抛物线y＝－x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为y＝－（x－3）2－2，即y＝－x2＋6x－11.

7．4　[解析]二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，说明b2－4ac＝0，即（－4）2－4×1×n＝0，所以n＝4.

8．x＜－1或x＞4　[解析]由函数图象可知：

在点A的左侧和点B的右侧，一次函数的值都大于二次函数的值，

∵A（－1，p），B（4，q），

∴关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是x＜－1或x＞4.

9．12　[解析]观察图象，可以获得以下信息：

①点P在由B→C的过程中，BP的长度y随时间x变化的关系为正比例函数关系，表现在图象上应该是一条线段；②点P在由C→A的过程中，BP的长度y随时间x变化的关系为二次函数关系，表现在图象上应该是抛物线的一部分；③且当BP⊥AC时，BP的长度最短，反映在图象上应为抛物线的最低点；④当点P到达点A时，此时BP＝5，∴AB＝BC＝5，AC边上的高＝4，此时，由勾股定理可得AC＝2×

＝6，∴S△ABC＝

×4×6＝12.

10．解：

（1）作图描点如图所示．

x1≈－1.6，x2≈0.6.

（2）画直线如图所示．

x＜－1.5或x＞1.

（3）平移方法不唯一，如先向上平移

个单位，再向左平移

个单位．

平移后二次函数图象的顶点坐标为P（－1，1）．

平移后二次函数图象的表达式为y＝（x＋1）2＋1（或y＝x2＋2x＋2）．

点P在函数y＝

x＋

的图象上．

理由：

把P点坐标（－1，1）代入y＝

x＋

，

左边＝右边，所以点P在函数y＝

x＋

的图象上．

11．解：

（1）由题意得A（－2，5），对称轴为直线x＝－

＝4.

∵点A，B关于抛物线对称轴对称，

∴B（10，5）．

（2）①如图（a），

由题意得点D在以点O为圆心、OC为半径的圆上，

∴当点O，D，B共线时，BD长的最小值＝OB－OD＝

－5＝5

－5.

②如图（b），

连结OD，在Rt△ODE中，

OD＝OC＝5，OE＝4，

∴DE＝

＝

＝3，

∴点D的坐标为（4，3）．

设PC＝PD＝x，

在Rt△PDK中，x2＝（4－x）2＋22，

∴x＝

，∴P

，

∴直线PD的函数表达式为y＝－

x＋

.

12．解：

（1）由题意得（1＋a）（1－a－1）＝－2，即a（a＋1）＝2，

因为y1＝x2－x－a（a＋1），所以y1＝x2－x－2.

（2）由题意知，函数y1的图象与x轴交于点（－a，0），（a＋1，0），当y2的图象过点（－a，0）时，得a2－b＝0；

当y2的图象过点（a＋1，0）时，得a2＋a＋b＝0.

（3）由题意知，函数y1的图象的对称轴为直线x＝

，所以点Q（1，n）与点（0，n）关于直线x＝

对称．

因为函数y1的图象开口向上，所以当m

13．解：

（1）由题意，得

解得

即a的值为0.04，b的值为30.

（2）①当0≤t≤50时，设y与t之间的函数表达式为y＝k1t＋n1，

将（0，15），（50，25）代入，得

解得

∴y与t之间的函数表达式为y＝

t＋15；

当50＜t≤100时，设y与t之间的函数表达式为y＝k2t＋n2，

将（50，25），（100，20）代入，得

解得

∴y与t之间的函数表达式为y＝－

t＋30.

②由题意知，当0≤t≤50时，

W＝20000

－（400t＋300000）＝3600t，

∵3600＞0，

∴当t＝50时，W最大值＝180000；

当50＜t≤100时，

W＝（100t＋15000）

－（400t＋300000）

＝－10t2＋1100t＋150000

＝－10（t－55）2＋180250，

∵－10＜0，

∴当t＝55时，W最大值＝180250.

综上所述，当t＝55时，W最大，最大值为180250元．