20XX高中数学第四章定积分1定积分的概念教学案北师大版选修21doc.docx
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20XX高中数学第四章定积分1定积分的概念教学案北师大版选修21doc
2019-2020年高中数学第四章定积分1定积分的概念教学案北师大版选修21
2019-2020年高中数学第四章定积分1定积分的概念教学案北师大版选修
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一、导数与函数的单调性
1．若f′（x）>0，则f（x）是增加的；若f′（x）3．利用导数求函数单调区间的步骤：
（1）求导数f′（x）；
（2）解不等式f′（x）>0或f′（x）（3）写出单调增区间或减区间．
特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
二、导数与函数的极值和最值
1．极值
当函数f（x）在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）0，那么f（x0）是极小值．2．利用导数求函数极值的一般步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）解方程f′（x）＝0的根；
（3）检验f′（x）＝0的根的两侧f′（x）的符号．
若左正右负，则f（x）在此根处取得极大值；
若左负右正，则f（x）在此根处取得极小值；
否则，此根不是f（x）的极值点．
3．最值
对于函数y＝f（x），给定区间[a，b]，若对任意x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）≥f（x）（f（x0）≤f（x）），则f（x0）为函数在区间[a，b]上的最大（小）值．4．利用导数求函数最值的一般步骤
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5．函数最值与极值的区别与联系
（1）函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．
（2）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤对应阶段质量检测三见8开试卷（时间90分钟，满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．曲线y＝12x2－2x在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线的倾斜角为（）A．－135°B．45°C．－45°
D.135°
解析：
∵y′＝x－2，∴⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为－1，倾斜角为135°.答案：
D
2．下列求导运算正确的是（）A．（cosx）′＝sinxB．（ln2x）′＝1
x
C．（3x
）′＝3x
log3e
D.（x2ex
）′＝2xex
解析：
（cosx）′＝－sinx，（3x
）′＝3x
ln3，（x2ex
）′＝2xex＋x2ex
.答案：
B
3．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，则y＝f（x）（）A．在（－∞，0）上为减少的B．在x＝0处取极小值C．在（4，＋∞）上为减少的D．在x＝2处取极大值
解析：
在（－∞，0）上，f′（x）>0，故f（x）在（－∞，0）上为增函数，A错；在x＝0处，导数由正变负，f（x）由增变减，故在x＝0处取极大值，B错；在（4，＋∞）上，f′（x）f（x）为减函数，C对；在x＝2处取极小值，D错．
答案：
C
4．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2
＋2xf′
（1），则f′（0）＝（）A．0B．－4C．－2
D.2
解析：
∵f′（x）＝2x＋2f′
（1），∴f′
（1）＝2＋2f′
（1），∴f′
（1）＝－2，∴f′（0）＝2f′
（1）＝－4.故选B.答案：
B
5．函数f（x）＝x＋2cosx在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时的x值为（）A．0B.π6
C.π
3
D.π2
解析：
由f′（x）＝1－2·sinx＝0，得sinx＝1
2，
又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x＝π6，当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f′（x）>0；
当x∈⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π6，π2时，f′（x）6．函数f（x）＝ax3
＋x＋1有极值的充要条件是（）A．a>0B．a≥0C．aD.a≤0
解析：
f′（x）＝3ax2
＋1，由题意得f′（x）＝0有实数根，即a＝－1
3x
2（x≠0），
所以a7．已知函数f（x）＝x2
（ax＋b）（a，b∈R）在x＝2时有极值，其图像在点（1，f
（1））处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f（x）的单调减区间为（）
A．（－∞，0）
B．（0,2）
C．（2，＋∞）
D.（－∞，＋∞）
解析：
∵f（x）＝ax3
＋bx2
，∴f′（x）＝3ax2
＋2bx，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a×22
＋2b×2＝0，3a＋2b＝－3，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a＝1，
b＝－3，
令f′（x）＝3x2
－6x8．函数f（x）＝x3
－3ax－a在（0,1）内有最小值，则a的取值范围为（）A．[0,1）B．（0,1）
C．（－1,1）
D.⎝⎛⎭
⎪⎫0，12
解析：
f′（x）＝3x2－3a，由于f（x）在（0,1）内有最小值，故a>0，且f′（x）＝0的解为
x1＝a，x2＝－a，则a∈（0,1），∴0答案：
B
9．某厂生产某种产品x件的总成本：
C（x）＝1200＋275x3
，且产品单价的平方与产品件
数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为（）
A．15件
B．20件
C．25件
D.30件
解析：
设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2
x＝k，由题知
k＝250000，
则a2
x＝250000，所以a＝
500x
.
总利润y＝500x－275
x3
－1200（x>0），
y′＝
250x－225
x2
，由y′＝0，得x＝25，x∈（0,25）时，y′>0，x∈（25，＋∞）时，y′答案：
C
10．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当xf（x）
g′（x）>0，且g（－3）＝0，则不等式f（x）g（x）A．（－3,0）∪（3，＋∞）
B．（－3,0）∪（0,3）
C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）
D．（－∞，－3）∪（0,3）
解析：
设h（x）＝f（x）g（x），则h（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x），所以h（x）是R上的奇函数，且h（－3）＝h（3）＝0，当x0，所以h（x）在（－∞，0）上是增加的，根据奇函数的对称性可知，h（x）在（0，＋∞）上也是增加的，因此h（x）答案：
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上）
11．函数y＝2x3
－6x2
＋11的单调递减区间为________．解析：
y′＝6x2
－12x，令6x2
－12x12．已知函数f（x）＝1
2x－sinx，x∈（0，π），则f（x）的最小值为________．
解析：
令f′（x）＝12－cosx＝0，得x＝π
3
.
当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3时，f′（x）0，f（x）在x＝π3处取得极小
值．又f（x）在（0，π）上只有一个极值点，易知f⎝⎛⎭⎪⎫π3＝12×π
3－32＝π－336即为f（x）的
最小值．
答案：
π－33
6
13．已知函数f（x）＝xex
＋c有两个零点，则c的取值范围是________．
解析：
∵f′（x）＝ex
（x＋1），∴易知f（x）在（－∞，－1）上是减少的，在（－1，＋∞）上是增加的，且f（x）min＝f（－1）＝c－e－1
，由题意得c－e－1
.
答案：
（－∞，e－1
）
14．已知函数f（x）＝2lnx＋a
x
2（a>0）．若当x∈（0，＋∞）时，f（x）≥2恒成立，则实数
a的取值范围是________．
解析：
f（x）≥2即a≥2x2
－2x2
lnx.令g（x）＝2x2
－2x2
lnx，则g′（x）＝2x（1－2lnx）．由g′（x）＝0得x＝e，0（舍去），且00；
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