全国卷II百校联盟高考《考试大纲》调研卷理科数学第七模拟解析版.docx

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全国卷II百校联盟高考《考试大纲》调研卷理科数学第七模拟解析版

百校联盟2016年全国卷II高考《考试大纲》调研卷理科数学（第七模拟）

一、选择题：

共12题

1．已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|x≤4,x∈Z},则A∩B=

A.（1,3）B.[1,3]C.{1,3}D.{1,2,3}

【答案】D

【解析】本题主要考查集合的交运算,属于容易题.依题意,A∩B={1,2,3},故选D.

2．若复数（i为虚数单位）为纯虚数,则实数a的值为

A.2B.C.-D.-2

【答案】A

【解析】本题主要考查复数的四则运算、纯虚数的概念,属于容易题.解法一　先将复数化为a+bi（a,b∈R）的形式,再根据纯虚数的定义求解;解法二　先利用待定系数法设出纯虚数,再根据复数相等求解.

解法一　由题意得+i为纯虚数,则=0,且≠0,解得a=2.故选A.

解法二　由题意,令=ti（t≠0）,则1+ai=t+2ti,则,解得,故选A.

3．已知在等差数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a5的等比中项,则a7=

A.1B.1或13C.13D.1或15

【答案】B

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的性质,属于容易题.先设出等差数列{an}的公差,再利用通项公式及等比数列的性质求解.

设等差数列{an}的公差为d,则a2=1+d,a5=1+4d.因为a2是a1和a5的等比中项,所以=a1·a5,即（1+d）2=1×（1+4d）,所以d（d-2）=0,所以d=0或d=2,故an=1或an=2n-1,从而a7=1或a7=13.故选B.

4．某公司有30名男职员和20名女职员,公司进行了一次全员参与的职业能力测试,现随机询问了该公司5名男职员和5名女职员在测试中的成绩（满分为30分）,可知这5名男职员的测试成绩分别为16,24,18,22,20,5名女职员的测试成绩分别为18,23,23,18,23,则下列说法一定正确的是

A.这种抽样方法是分层抽样

B.这种抽样方法是系统抽样

C.这5名男职员的测试成绩的方差大于这5名女职员的测试成绩的方差

D.该测试中公司男职员的测试成绩的平均数小于女职员的测试成绩的平均数

【答案】C

【解析】本题考查抽样方法、平均数、方差的概念,属于容易题.掌握概念是恰当选择方法和准确运算的保证.

根据抽样方法的特点,可知这种抽样既不是分层抽样,也不是系统抽样,故A,B是错误的,从这5名男职员和5名女职员的测试成绩得不出该公司男职员和女职员的测试成绩的平均数,故D是错误的,根据公式,可以求得这5名男职员的测试成绩的方差为=8,5名女职员的测试成绩的方差为=6,所以C正确,故选C.

5．已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】本题考查几何体的三视图,棱锥、圆锥的体积计算公式,属于容易题.根据三视图还原出几何体,计算体积,也可利用排除法求解.

通解　若选项为A,C,则该几何体为底面是等腰直角三角形的棱锥,体积为,不合题意;若选项为B,则该几何体为底面是正方形的棱锥,体积为,符合题意;若选项为D,该几何体为四分之一个圆锥,体积为,不合题意.故选B.

优解　由题意知该几何体为锥体,体积为,故其底面面积应为1,故选B.

6．执行如图所示的程序框图,若输出的x的值是8,则实数M的最大值为

A.39B.40C.41D.121

【答案】B

【解析】本题主要考查程序框图的相关知识,属于容易题.

执行程序框图可知,S=1,k=1;S=1+31=4,k=2;S=1+31+32=13,k=3;S=1+31+32+33=40,k=4.要使输出的x的值是8,则恰好k=4时退出循环,所以13

7．已知抛物线C:

x2=4y的焦点为F,Q是抛物线上一点,线段FQ的延长线交抛物线的准线于点P,若,则|QF|=

A.1B.C.D.

【答案】B

【解析】本题主要考查抛物线的定义、三角形相似等知识,属于中档题.准确画出图形,用抛物线的定义和三角形相似求解.

由题意得抛物线C:

x2=4y的焦点F（0,1）,准线l的方程为y=-1,过点Q作QQ'⊥l于点Q',因为,所以|PQ|∶|PF|=3∶4.又焦点F到准线l的距离为|FF'|=2,所以,即|QF|=|QQ'|=.故选B.

8．已知函数f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|<）的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于y轴对称,则函数f（x）在[0,]上的最大值与最小值之和为

A.-B.-1C.0D.

【答案】B

【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质,同时考查数形结合思想,属于中档题.先由平移后的函数图象的对称性求出φ,再数形结合求最值.

f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|<）的图象向右平移个单位长度后,得到g（x）=2cos（2x+φ-）,其图象关于y轴对称,则φ-=kπ,k∈Z,所以φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,f（x）=2cos（2x+）.因为x∈[0,],所以≤2x+≤,所以cos（2x+）∈[-1,],故函数f（x）在[0,]上的最大值为1,最小值为-2,其和为-1.故选B.

9．已知点P在直径为的球面上,过点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC,若PA=PB,则PA+PB+PC的最大值为

A.B.+1C.+2D.3

【答案】A

【解析】本题主要考查球与内接长方体的关系以及最值问题.抓住球的直径等于其内接长方体的体对角线长是解题的关键.

解法一　由题意,易知以PA、PB、PC为棱长的长方体为该球的内接长方体.设PA=PB=x,PC=y,则x2+x2+y2=2x2+y2=2　①,PA+PB+PC=2x+y,设z=2x+y>0,代入①式并消去y,得6x2-4zx+z2-2=0,由Δ=（-4z）2-4×6×（z2-2）≥0得-≤z≤,所以0

解法二　由题意,易知以PA、PB、PC为棱长的长方体为该球的内接长方体.设PA=PB=x,PC=y,则x2+x2+y2=2x2+y2=2,可设x=cosθ,y=sinθ,则z=2x+y=2cosθ+sinθ=sin（φ+θ）（tanφ=）,所以z的最大值为,故选A.

10．如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x（1≤x≤3）,线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f（x）的图象大致为

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】本题主要考查考生的数学建模能力,本质上是研究点的轨迹,属于中上等难度的题目.找到点P的轨迹,剩下的问题即可迎刃而解.

通解　由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为的扇形.因为矩形ABCD的周长为8,AB=x,则AD==4-x,所以y=x（4-x）-=-（x-2）2+4-（1≤x≤3）,显然该函数的图象是二次函数图象的一部分,且当x=2时,y=4-∈（3,4）,故选D.

优解　在判断出点P的轨迹后,发现当x=1时,y=3-∈（2,3）,故选D.

11．已知双曲线-=1（a>0,b>0）的实轴端点分别为A1,A2,记双曲线的其中一个焦点为F,一个虚轴端点为B,若在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi（i=1,2）,使得∠A1PiA2=,则双曲线的离心率e的取值范围是

A.（,）B.（,）C.（1,）D.（,+∞）

【答案】A

【解析】本题主要考查双曲线的离心率、直线与圆的位置关系,同时考查化归与转化、数形结合思想.注意:

∠A1PiA2=,即以A1A2为直径的圆过点Pi（i=1,2）,转化为直线与圆的位置关系.另外BF为线段,与直线BF有区别,故b>a.

由于在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi（i=1,2）,使得∠A1PiA2=,说明以A1A2为直径的圆与BF有两个交点.首先要满足a,另外还要满足原点到直线BF:

+=1（不妨取F为双曲线的上焦点,B为右端点）的距离小于半径a,因为原点到直线BF的距离为,则

12．已知函数f（x）=x3-x,设g（x）是定义在R上的偶函数,若当x>0时,f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0,则不等式f（x）g（x）>0的解集是

A.（-1,0）∪（1,+∞）B.（-1,0）∪（0,1）

C.（-∞,-1）∪（1,+∞）D.（-∞,-1）∪（0,1）

【答案】A

【解析】本题主要考查函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性,对构造函数的能力、数形结合思想要求较高,属于难题.由f（x）=x3-x知,f（x）为奇函数,且f（0）=f

（1）=f（-1）=0,由f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0联想到构造函数F（x）=f（x）g（x）,由已知得其单调性、奇偶性和零点,画出其大致图象,得结果.

令F（x）=f（x）g（x）,由题意知,F（-x）=f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）=-F（x）,所以F（x）为奇函数,且F（0）=F

（1）=F（-1）=0.又当x>0时,F'（x）=f'（x）g（x）+f（x）g'（x）>0,所以F（x）在（0,+∞）上单调递增,综合F（x）的性质可知,F（x）=f（x）g（x）>0的解集为（-1,0）∪（1,+∞）.故选A.

二、填空题：

共4题

13．若sinα=-,且α是第三象限角,则sin2α-cos2α=　　　. 

【答案】

【解析】本题主要考查同角三角函数的关系、二倍角公式等,属于容易题.由sinα求出cosα,代入求解即可.

∵sinα=-,且α是第三象限角,∴cosα=-,∴sin2α-cos2α=2sinαcosα-cos2α=.

14．若二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32,常数项为10,则实数m的值为　　　. 

【答案】2

【解析】本题主要考查二项展开式的二项式系数、通项,考查待定系数法以及考生的运算求解能力,属于容易题.二项式定理在高考中出现的频率高但难度不大,主要考查基本概念,如系数、二项式系数、指定次数项等,待定系数法和赋值法是主要方法.

∵二项式（+）n展开式的二项式系数之和为32,∴2n=32,∴n=5,∵Tr+1=（）5-r（）r=mr,令-r=0,得r=1,∴常数项为m=10,∴m=2.

15．已知实数x、y满足不等式组,若z=3x+y的最小值是8,则实数a=　　　. 

【答案】

【解析】本题主要考查不等式组表示的平面区域等知识,先作出不等式组表示的平面区域△ABC（包括边界）,求点B的坐标,平移直线3x+y=0,当经过点B时,目标函数z取得最小值8,把点B的坐标代入z=3x+y,即可求得实数a的值.

不等式组表示的平面区域如图中△ABC（包括边界）所示,平移直线3x+y=0,当经过点B时,目标函数z=3x+y取得最小值8,联立可得B（a,2a-6）,所以3a+2a-6=8,解得a=.

16．已知数列{an}的首项a1=2,前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2n+2（n∈N*）,则Sn=　　　. 

【答案】×3n+1-n-

【解析】本题主要考查Sn与an的关系、由递推数列求通项公式,属于难题.已知等式中含Sn和an,求Sn,有两条路径:

Sn-Sn-1→an→Sn,或an=Sn-Sn-1→Sn,之后都会出现相邻两项的递推公式,再化为等比数列求解.

解法一　由an+1=2Sn+2n+2（n∈N*）可知,当n=1时,a2=2S1+4=8,当n≥2时,an=2Sn-1+2（n-1）+2,两式相减得,an+1=3an+2,所以an+1+1=3（an+1）.又a1+1=3,a2+1=9,a2+1=3（a1+1）,所以数列{an+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,故an+1=3n,所以an=3n-1,所以Sn=×3n+1-n-.

解法二　由an+1=2Sn+2n+2（n∈N*）可知,Sn+1-Sn=2Sn+2n+2,所以Sn+1+（n+1）+=3（Sn+n+）,所以数列{Sn+n+}是以S1+1+为首项,3为公比的等比数列,所以Sn+n+×3n-1=,所以Sn=-n-.

三、解答题：

共8题

17．已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2sin2A+3cos（B+C）=0.

（1）求角A的大小;

（2）若△ABC的面积S=5,a=,求sinB+sinC的值.

【答案】

（1）由2sin2A+3cos（B+C）=0,

得2cos2A+3cosA-2=0,即（2cosA-1）（cosA+2）=0.

解得cosA=或cosA=-2（舍去）.

因为0

（2）由S=bcsinA=bc×bc=5,得bc=20.

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc=21,

所以b+c=9.

由正弦定理,得sinB+sinC=sinA+sinA=×（b+c）=×9=.

【解析】本题主要考查三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理与余弦定理的应用.第

（1）问利用B+C=π-A,将角统一,再统一名称,解方程可得;第

（2）问已知A,a,故公式选择S=bcsinA,a2=b2+c2-2bccosA,最后用正弦定理将角化为边即可求解.

【备注】三角函数的化简求值问题,注意观察角与角的关系、函数名称之间的关系以及式子的结构特点,一般按照“角→名→形”的顺序切入分析;正、余弦定理及面积公式,注意根据式子的特征恰当选择,余弦定理是一角与三边的关系,正弦定理是对应边与角的关系,它们都可以实现边角的转化.

18．如图,一块正方体木料的上底面有一点E,若点E在线段C1A1上,且C1E=C1A1.

（1）请经过点E在上底面画一条直线与CE垂直,并说明理由;

（2）求直线CE与平面BDE所成角的余弦值.

【答案】

（1）在上底面过点E作MN⊥C1E（M在C1D1上,N在B1C1上）,则MN⊥CE.

证明:

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面A1B1C1D1,

而MN⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥MN.

又MN⊥C1E,且C1E∩CC1=C1,所以MN⊥平面CC1E,

而CE⊂平面CC1E,所以MN⊥CE.

（2）解法一　连接B1E,设正方体的棱长为4,则B1E=,

所以BE=DE=,

所以S△BDE=BD·=12,设点C到平面BDE的距离为h,

由VE-BCD=VC-BDE,得12h=8×4,所以h=.

设直线CE与平面BDE所成的角为θ,又CE=3,则sinθ=,

所以直线CE与平面BDE所成角的余弦值为.

解法二　以点D为坐标原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为a（a>0）,则A（a,0,0）,B（a,a,0）,C（0,a,0）,D（0,0,0）,A1（a,0,a）,C1（0,a,a）.

因为点E在线段C1A1上,且C1E=C1A1,所以E（,a,a）,=（,-,a）.

=（a,a,0）,=（,a,a）,设平面BDE的法向量为n=（x,y,z）,则,可得,

不妨取y=-2,则n=（2,-2,1）为平面BDE的一个法向量.

cos<,n>=,

所以直线CE与平面BDE所成角的余弦值为.

【解析】本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的求法,考查考生的空间想象能力及计算能力,属于中等难度题.第

（1）问,在上底面任画一条直线都与CC1垂直,故只需要所作直线垂直于EC1,就得到垂直于平面CC1E,从而垂直于CE;第

（2）问,可以利用空间向量法与传统法求解.

【备注】近几年立体几何解答题主要考查:

（1）直线与平面、平面与平面的平行和垂直的证明,有时隐藏在实际问题中;

（2）空间角的计算,一般倾向于用空间向量法求解,有时也可能涉及表面积、体积的计算.

19．某中学不断深化教育改革,办学质量逐年提高.该校记录了从2006年到2015年10年间每年考入“985”院校的人数.为方便计算,2006年编号为1,2007年编号为2,……,2015年编号为10.数据如下:

（1）从这10年中的后6年随机抽取2年,求考入“985”院校的人数至少有1年多于20人的概率;

（2）根据前5年的数据,以年份编号为横坐标,当年考入“985”院校的人数为纵坐标建立平面直角坐标系,由所给数据描点作图;

（3）在

（2）的前提下,利用最小二乘法求出y关于x的回归方程y=x+,并计算2013年的估计值和实际值之间的差的绝对值.

附:

对于一组数据（x1,y1）,（x2,y2）,…,（xn,yn）,其回归直线y=x+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为

【答案】

（1）设“考入‘985’院校的人数至少有1年多于20人”为事件A,

则P（A）=1-.

（2）根据数据,描点如图:

（3）由前5年的数据得=3,=8,

所以y关于x的回归方程为y=2.6x+0.2.

所以2013年的估计值为2.6×8+0.2=21,

则2013年的估计值与实际值之间的差的绝对值为|21-22|=1.

【解析】本题主要考查古典概型、散点图、线性回归方程等知识,主要考查数据处理能力,属于中等难度题.第

（1）问“至少”问题,反面情况较少,故可间接计算;第

（2）（3）问,根据提供的数据及回归分析的知识求出回归方程,代入数据准确计算即可.

【备注】概率与统计解答题,以统计为主,辅以简单概率计算.概率主要考查古典概型,统计则可能涉及抽样方法、频率分布直方图、茎叶图的数据处理,离散型随机变量的概率计算,或者线性回归、相关性研究等,除了考查基础知识外,对数据处理能力有较高要求.

20．已知椭圆E:

+=1（a>b>0）与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且△MF1F2是边长为2的等边三角形,若直线l:

y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A,B.

（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?

若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;

（2）求△ABM的面积的最大值.

【答案】

（1）因为△MF1F2是边长为2的等边三角形,

所以2c=2,b=c,a=2,所以a=2,b=,

所以椭圆E:

+=1,点M（0,）.

将直线l:

y=kx+2代入椭圆E的方程,

整理得（3+4k2）x2+16kx+36=0.　（*）

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则由（*）式可得

Δ=（16k）2-4（3+4k2）×36=48（4k2-9）>0,所以k∈（-∞,-）∪（,+∞）,x1+x2=-,x1x2=.

所以直线MA,MB的斜率之积kMA·kMB=·=k2+=k2+=k2+,

所以直线MA,MB的斜率之积是定值.

（2）记直线l:

y=kx+2与y轴的交点为N（0,2）,

则S△ABM=|S△ANM-S△BNM|=|MN|·|x2-x1|=≤,

当且仅当4k2-9=12,即k=±∈（-∞,-）∪（,+∞）时等号成立,

所以△ABM的面积的最大值为.

【解析】本题主要考查椭圆基本量的计算,直线与椭圆相交中的定值、最值问题,考查转化能力、计算能力,属于难题.第

（1）问由基本量求出椭圆方程后,利用“设而不求”的思想,将kMA·kMB用x1+x2,x1x2表示,也就是用k表示,最终化出定值;第

（2）问将面积用|x2-x1|表示,化为关于k的函数,用基本不等式求最值.

【备注】解析几何解答题可能涉及圆、抛物线,但更多是研究直线与椭圆的位置关系,主要考查“设而不求”的思想,往往需要将题目所给的几何关系用代数式进行表达,最终用代数运算解决几何问题.主要类型有:

定点（定值）问题、范围（最值）问题、探究性问题等.通常以三角形、平行四边形、垂直关系、对称关系等为载体,有时可以借助初中平面几何知识进行转化,一般步骤是联立方程,通过判别式、根与系数的关系,用代数式刻画几何关系.

21．已知函数f（x）=,φ（x）=（x-1）2·f'（x）.

（1）若函数φ（x）在区间（3m,m+）上单调递减,求实数m的取值范围;

（2）若对任意的x∈（0,1）,恒有（1+x）·f（x）+2a<0（a>0）,求实数a的取值范围.

【答案】

（1）因为f（x）=,所以f'（x）=,

所以φ（x）=lnx+-1（x>0,且x≠1）,则φ'（x）=-.

当φ'（x）<0时,0

若函数φ（x）在区间（3m,m+）上单调递减,则（3m,m+）⊆（0,1）,

所以,所以0≤m<,

所以实数m的取值范围为[0,）.

（2）对任意的x∈（0,1）,恒有（1+x）·f（x）+2a<0,即（1+x）·+2a<0,　（*）

因为x∈（0,1）,所以>0,

所以（*）式可变为lnx+<0.

设h（x）=lnx+,

则要使对任意的x∈（0,1）,lnx+<0恒成立,只需h（x）max<0.

h'（x）=,

设t（x）=x2+（2-4a）x+1,Δ=（2-4a）2-4=16a（a-1）.

①当0

（1）=0,所以h（x）

（1）=0,所以0

②当a>1时,Δ>0,注意到t（0）=1>0,t

（1）=4（1-a）<0,所以存在x0∈（0,1）,使得t（x0）=0,于是对任意的x∈（x0,1）,t（x）<0,h'（x）<0,则h（x）在（x0,1）上单调递减,又h

（1）=0,所以当x∈（x0,1）时,h（x）>0,不符合要求.

综合①②可得0

【解析】本题主要考查利用导数求函数的单调区间以及不等式恒成立等知识,对运算能力、函数与方程思想要求很高,属于难题.第

（1）问可求出φ（x）的单调递减区间,用集合间的包含关系求出m的取值范围;第

（2）问是不等式恒成立问题,构造函数求解.

【备注】函数与导数解答题一般设置两问,研究类型主要有:

（1）利用导数研究函数的单调性、极值;

（2）利用导数研究不等式恒成立问题或求参数的取值范围;（3）利用导数研究函数零点的个数、函数图象等.

22．如图,已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.

（1）证明:

B,D,H,E四点共圆;

（2）证明:

CE平分∠DEF.

【答案】

（1）在△ABC中,因为∠B=60°,所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD,CE是角平分线,

所以∠HAC+∠HCA=60°,

故∠AHC=120°,

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆.

（2）连接BH,则BH为∠ABC的角平分线,∠HBD=30°,

由

（1）知B,D,H,E四点共圆,

所以∠CED=∠HBD=30°,

因为AE=AF,AD为角平分线,所以EF⊥AD,

又∠AHE=∠EBD=60°,

所以∠CEF=30°,

所以CE平分∠DEF.

【解析】本题主要考查四点共圆的判定等,属于中档题,考查考生对基础知识的掌握情况.

【备注】近几年高考主要考查圆和三角形的相关知识,考查考生的