数学归纳法解答题.docx

数学归纳法解答题.docx

《数学归纳法解答题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学归纳法解答题.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学归纳法解答题

数学归纳法解答题

1、

已知数列{an}的通项公式是，（n∈N），记bn=（1－a1）（1－a2）…（1－an）

（1）写出数列{bn}的前三项；

（2）猜想数列{bn}通项公式，并用数学归纳法加以证明；

（3）令pn=bn－bn＋1，求的值。

翰林汇

2、

已知数列{an}满足an+1＞an,且a1=1,（an+1－an）2－2（an+1＋an）＋1=0.

（1）求a2,a3,a4；

（2）猜想an,并用数学归纳法证明.

翰林汇

3、

已知数列{an}：

,……其中a是大于零的常数,记{an}的前n项和为Sn,计算S1,S2,S3的值,由此推出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.

翰林汇

4、

在数列{an}中,a1=1,Sn是它的前n项和,当n≥2时,2=2an·Sn－an.

（1）求a2、a3、a4的值,并推测{an}的通项公式.

（2）用数学归纳法证明所得的结论.

翰林汇

5、

用数学归纳法证明：

（nN）1－2＋4－8＋…＋（－1）n-1·2n-1=（－1）n-1·＋.

翰林汇

6、

用数学归纳法证明：

（nN）1－22＋32－42＋…＋（－1）n-1·n2=（－1）n-1·.

翰林汇

7、

用数学归纳法证明：

（nN）=－.

翰林汇

8、

已知数列1，9，25，…，（2n－1）2,…的前n项之和为Sn.推测计算Sn的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。

翰林汇

9、

已知数列{an}满足a1=a，an＋1=

（1）求a2，a3，a4；

（2）推测通项an的表达式，并用数学归纳法加以证明。

翰林汇

10、

数列{an}满足a1=a，an+1=，猜想通项公式并用数学归纳法证明。

翰林汇

11、

已知正数数列{an}满足，（n∈N），

（1）求a1，a2，a3；

（2）猜测an的表达式，并证明你的结论。

翰林汇

12、

已知数列{an}满足a1＝1，，

（1）计算a2，a3，a4；

（2）猜测an的表达式，并用数学归纳法加以证明。

翰林汇

13、

设an=（2n＋1）（3n＋2），求它的前n项和Sn，并用数学归纳法证明结论。

翰林汇

14、

用数学归纳法证明nN时,（2cosx－1）（2cos2x－1）…（2cos2n-1·x－1）=.

翰林汇

15、

用数学归纳法证明32n+2－8n－9（nN）能被64整除.

翰林汇

16、

求实数a,使下面等式对一切自然数n都成立：

＋＋…＋=.

翰林汇

17、

已知等差数列{an}，等比数列{bn}，若a1=b1，a2=b2，a1a2，且对所有的自然数n恒有an>0，求证：

当n>2时，an

翰林汇

18、

下述证明方法是否是数学归纳法？

说明理由。

证明（nN）.

证明：

（1）当n=1时不等式成立；

（2）假设n=k（kN）时不等式成立。

即则当n=k＋1时

＜

=（k＋1）＋1，∴n=k＋1时等式成立，故对一切nN等式成立。

翰林汇

19、

已知数列{an}的通项an=n2＋n,试问是否存在常数p，q，r使等式

对一切自然数n都成立。

翰林汇

20、

已知f（x）=2x＋b，设f1（x）=f[f（x）]，fn（x）=f[fn-1（x1）]，（n≥2，nN），求f1（x），f2（x），猜想fn（x）用n表示的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想。

翰林汇

21、

平面上有n个圆,其中任意两圆都相交,任意三圆不共点,试推测n个圆把平面分为几部分?

用数学归纳法证明你的结论.

翰林汇

22、

已知a1=,a2=（）,对于自然数k＞2,ak=（）ak–1－ak–2.

（1）求a3,a4;

（2）猜想并证明通项公式.

翰林汇

23、

已知f（x）=（x≤－3）,

若u1=1,un=－f–1（un–1）（n≥2）,试归纳出un的表示式,并用数学归纳法证明.

翰林汇

24、

已知数列,Sn为其前n项的和,计算得S1=,S2=,S3=,S4=.观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.

翰林汇

25、

观察下面等式：

1=12

2＋3＋4=9=32

3＋4＋5=6＋7=25=52

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=49=72

推出由等式提供的一般规律,用数学归纳法证明.

翰林汇

26、

求证：

对任何自然数n，

1·2·3…k+2·3·4…（k＋1）＋…n（n＋1）…（n＋k－1）=（k∈N）.

翰林汇

27、

已知数列{an}满足an=n×2n-1（nN），是否存在等差数列{bn}，使an=b1c＋b2c＋b3c＋…＋bnc时一切自然数n成立，并证明你的结论。

翰林汇

数学归纳法解答题〈答案〉

1、

（1）；

（2），证明略；

（3）

.

翰林汇

2、

（1）将已知等式展开整理－2（an＋1）an+1＋（an－1）2=0,

∴an+1=（an＋1）2.∵an+1＞an,∴an+1=an＋1＋2=（＋1）2.

∴a2=4,a3=（＋1）2=9,a4=（＋1）2=16.

（2）由a1=1,a2=4=22,a3=9=32,a4=42猜想an=n2.

1）当n=1时,a1=1,命题成立.

2）假设当n=k,命题成立,即ak=k2.那么ak+1=（＋1）2=（＋1）2=（k＋1）2,∴n=k＋1时命题成立.

由1）、2）可知对一切自然数命题都成立.

翰林汇

3、

S1=a1=,S2=a1＋a2=＋=,

S3=S2＋a3=＋=,猜想：

Sn=.

假设当n=k时成立,即Sk=,则

Sk+1=Sk＋ak+1=＋==.

翰林汇

4、

解：

∵S2=a1＋a2=1＋a2,∴2（1＋a2）2=2a2·（1＋a2）－a2,解得a2=－.

这时S2=,S3=S2＋a3=＋a3,∴2（＋a3）2=2a3（＋a3）－a3,解得a3=－.

这时S3=,S4=S3＋a4=＋a4,∴2（＋a4）2=2a4（＋a4）－a4,解得a4=－.

由a2=－,a3=－,a4=－猜想n≥2时,an=－,

∴数列{an}的通项公式是an=

下面用数学归纳法证明：

1）当n=1时结论成立.

2）假设当n=k（k≥2）时结论成立,即ak=－,

这时Sk=a1＋a2＋…＋ak=1－－－…－=1－1＋－＋－…－＋=,Sk+1=Sk＋ak+1=＋ak+1.当n=k＋1时,由2=2ak+1·Sk+1－ak+1得2（＋ak+1）2=2ak+1·（＋ak+1）－ak+1,

得,∴ak+1=－,∴n=k＋1时结论成立.

由1）、2）可知对nN时结论都成立.

翰林汇

5、

1）n=1等式成立.

2）n=k＋1时,左=（-1）k-1·＋＋（-1）k·2k=＋=

（-1）k·＋.

翰林汇

6、

n=k＋1时,左=（－1）k-1·＋（－1）k·（k＋1）2=（－1）k·（k＋1）[（k＋1）－]=（－1）k·.

翰林汇

7、

n=k＋1,左=－＋=－.

翰林汇

8、

猜想Sn=2n（2n+1）（2·2n+1）－22·n（n+1）（2n+1）（n∈N）

翰林汇

9、

解：

（1）由an＋1=，可得，，

（2）推测，证明如下：

①当n=1时，左边＝a1=a，右边＝，结论成立。

②设n=k时，有

则当n=k＋1时，

故当n=k＋1时，结论成立。

由①、②可知，对n∈N，都有.

翰林汇

10、

an=

翰林汇

11、

（1）a1=1,a2=3,a3=5；

（2）an=2n－1

n=k＋1时，由

，及得.

翰林汇

12、

（1）；

（2），证明略

翰林汇

13、

（4n3＋13n2＋13n）

翰林汇

14、

证明：

1）当n=1时,左式=2cosx－1,右式==2cosx－1,即左式=右式,∴等式成立.

2）假设当n=k时等式成立,即

（2cosx－1）（2cos2x－1）…2cos2k-1·x－1）=

当n=k＋1时,左式=（2cosx－1）（2cos2x－1）…2cos2k-1·x－1）·（2cos2k·x－1）=·（2cos2k·x－1）==

=∴n=k＋1时等式成立.

由1）、2）可知,对nN时等式成立.

翰林汇

15、

证明：

1）当n=1时,32×1+2－8×1－9=64,能被64整除,

∴n=1时命题成立.

2）假设当n=k时命题成立,即32k+2－8k－9（k≥1）能被64整除,则当n=k＋1时

32（k+1）+2－8（k＋1）－9=9·（32k+2－8k－9）＋64（k＋1）能被64整除,

∴n=k＋1时命题成立.

由1）、2）可知对一切自然数32n+2－8n－9能被64整除.

翰林汇

16、

解：

当n=1时,左式=,右式=.由=解得a=3.

下面用数学归纳法证明当a=3时原式对一切自然数n都成立.

1）n=1时,同上述知等式成立.

2）假设n=k时,等式成立,即

＋＋…＋=

则当n=k＋1时,

左式=＋＋…＋＋

=＋==

∴当n=k＋1时等式成立.

由1）、2）可知当a=3时,对nN时等式成立.

翰林汇

17、

设{an}公差为d，{bn}公比为q，采用数学归纳法来证明。

假设n=k时成立，即ak

bk-bkq+d=bk（1-q）+b1q-b1=（1-q）（bk-b1）=（1-q）b1（qk-1-1），∴不论q是大于1或小于1，且q>0都有bk+d-bk+1<0ak+1

翰林汇

18、

解：

上述的证明方法不是数学归纳法，因为第二步由n=k推导n=k＋1时没有用到归纳假设来证明不等式成立。

翰林汇

19、

解：

令n=1，2，3，得方程组

即，解得p=3，q=5，r=0.

∴

（1）当n=1时等式成立；

（2）假设当n=k时等式成立，

即

当n=k＋1时，

＝

＝

即n=k+1时等式成立。

由

（1），

（2）可知对一切自然数n，等式都成立。

翰林汇

20、

fn（x）=2n+1x＋（2n+1-1）b

翰林汇

21、

n2－n＋2

翰林汇

22、

（1）;

（2）.

翰林汇

23、

un=（n∈N）

翰林汇

24、

Sn=

翰林汇

25、

n＋（n＋1）＋（3n－2）=（2n－1）2

翰林汇

26、

（1）当n=1时，左边=1·2·3…k，右边==1·2·3…k，即等式成立.

（2）假设n=l（l∈N）时，等式成立，即有

1·2·3·k+2·3·4…（k＋1）＋…＋l（l＋1）（l＋2）…（l＋k－1）=

那么，当n=l＋1时，

1·2·3…k+2·3·4…（k＋1）＋…＋l（l＋1）…（l＋k－1）＋（l＋1）（l＋2）…（l＋k）=＋（l＋1）（l＋2）…（l＋k）

=

即n=k+1时，等式成立.根据

（1）、

（2）可知，等式对一切n∈N都成立.

翰林汇

27、

bn=n

翰林汇