数学归纳法解答题.docx

1、数学归纳法解答题数学归纳法解答题1、已知数列an的通项公式是，(nN)，记bn=(1a1)(1a2)(1an)(1)写出数列bn的前三项；(2)猜想数列bn 通项公式，并用数学归纳法加以证明；(3)令pn=bnbn1，求的值。翰林汇2、已知数列an满足an+1an,且a1=1,(an+1an)22(an+1an)1=0.(1)求a2,a3,a4；(2)猜想an,并用数学归纳法证明.翰林汇3、已知数列an：, ,其中a是大于零的常数,记an的前n项和为Sn,计算S1,S2,S3的值,由此推出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.翰林汇4、在数列an中,a1=1,Sn是它的前n项和,当n2时,2

2、=2anSnan.(1)求a2、a3、a4的值,并推测an的通项公式.(2)用数学归纳法证明所得的结论.翰林汇5、用数学归纳法证明：(nN)1248(1)n -12n -1=(1)n -1.翰林汇6、用数学归纳法证明：(nN)1223242(1)n -1n2=(1)n -1.翰林汇7、用数学归纳法证明：(nN) =.翰林汇8、已知数列1，9，25，（2n1）2,的前n项之和为Sn.推测计算Sn的公式，然后用数学归纳法证明这个公式。翰林汇9、已知数列an满足a1=a，an1=(1)求a2，a3，a4；(2)推测通项an的表达式，并用数学归纳法加以证明。翰林汇10、数列an满足a1=a，an+1=

3、，猜想通项公式并用数学归纳法证明。翰林汇11、已知正数数列an满足，(nN)，(1)求a1，a2，a3；(2)猜测an的表达式，并证明你的结论。翰林汇12、已知数列an满足a11，(1)计算a2，a3，a4；(2)猜测an的表达式，并用数学归纳法加以证明。翰林汇13、设an=(2n1)(3n2)，求它的前n项和Sn，并用数学归纳法证明结论。翰林汇14、用数学归纳法证明nN时,(2cosx1)(2cos2x1)(2cos2n-1x1)=.翰林汇15、用数学归纳法证明32n+28n9(nN)能被64整除.翰林汇16、求实数a,使下面等式对一切自然数n都成立：=.翰林汇17、已知等差数列an，等比数

4、列bn，若a1=b1，a2=b2，a1a2，且对所有的自然数n恒有an0，求证：当n2时，anbn.翰林汇18、下述证明方法是否是数学归纳法？说明理由。证明 (nN).证明：（1）当n=1时不等式成立； （2）假设n=k (kN)时不等式成立。 即 则当n=k1时 =(k1)1，n=k1时等式成立，故对一切nN等式成立。翰林汇19、已知数列an的通项an=n2n,试问是否存在常数p，q，r使等式对一切自然数n都成立。翰林汇20、已知f(x)=2xb，设f1(x)=ff(x)，fn(x)=ffn-1(x1)，(n2，nN)，求f1(x)，f2(x)，猜想fn(x)用n表示的表达式，并用数学归纳法

5、证明你的猜想。翰林汇21、平面上有n个圆,其中任意两圆都相交,任意三圆不共点,试推测n个圆把平面分为几部分?用数学归纳法证明你的结论.翰林汇22、已知a1=,a2= (),对于自然数k2,ak=()ak1ak2.(1)求a3,a4;(2)猜想并证明通项公式.翰林汇23、已知f(x)= (x3),若u1=1,un=f1(un1)(n2),试归纳出un的表示式,并用数学归纳法证明.翰林汇24、已知数列,Sn为其前n项的和,计算得S1=,S2=,S3=,S4=.观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.翰林汇25、观察下面等式：1=12234=9=32345=67=25=52456

6、78910=49=72推出由等式提供的一般规律,用数学归纳法证明.翰林汇26、求证：对任何自然数n，123k+234(k1)n(n1)(nk1)= (kN).翰林汇27、已知数列an满足an=n2n-1(nN)，是否存在等差数列bn，使an=b1cb2cb3cbnc时一切自然数n成立，并证明你的结论。翰林汇数学归纳法解答题 答案1、 (1)；(2)，证明略；(3) .翰林汇2、 (1)将已知等式展开整理2(an1)an+1(an1)2=0,an+1=(an1) 2.an+1an,an+1=an12=(1)2.a2=4,a3=(1)2=9 ,a4=(1)2=16.(2)由a1=1,a2=4=22

7、,a3=9=32,a4=42猜想an=n2.1)当n=1时,a1=1,命题成立.2)假设当n=k,命题成立,即ak=k2.那么ak+1=(1)2=(1)2=(k1)2,n=k1时命题成立.由1)、2)可知对一切自然数命题都成立.翰林汇3、 S1=a1=,S2=a1a2=,S3=S2a3=, 猜想：Sn=.假设当n=k时成立,即Sk=,则Sk+1=Skak+1=.翰林汇4、 解：S2=a1a2=1a2, 2(1a2)2=2a2(1a2)a2,解得a2=.这时S2=,S3=S2a3=a3,2(a3)2=2a3(a3)a3,解得a3=.这时S3=,S4=S3a4=a4,2(a4)2=2a4(a4)a

8、4,解得a4=.由a2=,a3=,a4=猜想n2时,an=,数列an的通项公式是an=下面用数学归纳法证明：1)当n=1时结论成立.2)假设当n=k(k2)时结论成立,即ak=,这时Sk=a1a2ak=1=11=, Sk+1=Skak+1=ak+1.当n=k1时,由2=2ak+1Sk+1ak+1得2(ak+1)2=2ak+1(ak+1)ak+1,得, ak+1=,n=k1时结论成立.由1)、2)可知对nN时结论都成立.翰林汇5、 1)n=1等式成立.2)n=k1时,左=(-1)k-1(-1)k2k=(-1)k.翰林汇6、 n=k1时,左=(1)k-1(1)k(k1)2=(1)k(k1)(k1)

9、=(1)k.翰林汇7、 n=k1,左=.翰林汇8、 猜想Sn=2n(2n+1)(22n+1)22n(n+1)(2n+1) (nN)翰林汇9、 解：(1)由an1=，可得， ， (2)推测，证明如下： 当n=1时，左边a1=a，右边，结论成立。 设n=k时，有 则当n=k1时， 故当n=k1时，结论成立。 由、可知，对nN，都有.翰林汇10、 an=翰林汇11、 (1)a1=1,a2=3,a3=5；(2)an=2n1 n=k1时，由 ，及得.翰林汇12、 (1)； (2)，证明略翰林汇13、 (4n313n213n)翰林汇14、 证明：1)当n=1时,左式=2cosx1,右式=2cosx1,即左

10、式=右式,等式成立.2)假设当n=k时等式成立,即(2cosx1)( 2cos2x1)2cos2k -1x1)= 当n=k1时, 左式=(2cosx1)( 2cos2x1)2cos2k -1x1)(2cos2kx1)=(2cos2kx1)= = = n=k1时等式成立.由1)、2)可知,对nN时等式成立.翰林汇15、 证明：1)当n=1时, 321+2819=64,能被64整除,n=1时命题成立.2)假设当n=k时命题成立,即32k+28k9(k1)能被64整除,则当n=k1时32(k+1)+28(k1)9=9(32k+28k9)64(k1)能被64整除,n=k1时命题成立.由1)、2)可知对

11、一切自然数32n+28n9能被64整除.翰林汇16、 解：当n=1时,左式=,右式=.由=解得a=3.下面用数学归纳法证明当a=3时原式对一切自然数n都成立.1)n=1时,同上述知等式成立.2)假设n=k时,等式成立,即=则当n=k1时,左式=当n=k1时等式成立.由1)、2)可知当a=3时,对nN时等式成立.翰林汇17、 设an公差为d，bn公比为q，采用数学归纳法来证明。 假设n=k时成立，即akbk，两边加d，ak+10都有bk+d-bk+10ak+1bk+dbk+1，即n=k+1时也成立。翰林汇18、 解：上述的证明方法不是数学归纳法，因为第二步由n=k推导n=k1时没有用到归纳假设来

12、证明不等式成立。翰林汇19、 解：令n=1，2，3，得方程组即，解得p=3，q=5，r=0.（1）当n=1时等式成立；（2）假设当n=k时等式成立，即当n=k1时， 即n=k+1时等式成立。由（1），（2）可知对一切自然数n，等式都成立。翰林汇20、 fn(x)=2n+1x(2n+1-1)b翰林汇21、 n2n2翰林汇22、 (1);(2).翰林汇23、 un= (nN)翰林汇24、 Sn=翰林汇25、 n(n1)(3n2)=(2n1)2翰林汇26、 （1）当n=1时，左边=123k，右边=123k，即等式成立.（2）假设n=l（lN）时，等式成立，即有123k+234（k1）l（l1）（l2）（lk1）=那么，当n=l1时，123k+234（k1）l（l1）（lk1）（l1）（l2）（lk）=（l1）（l2）（lk）=即n=k+1时，等式成立.根据（1）、（2）可知，等式对一切nN都成立.翰林汇27、 bn=n翰林汇