函数极限与连续习题加答案.docx
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函数极限与连续习题加答案
第一章函数、极限与连续
第一讲：
函数
、是非题
■2
1.y二x与y=x相同；
2.y=（2x2^）1n（x.1x2）是奇函数；
3•凡是分段表示的函数都不是初等函数；
2
4.y=x（x0）是偶函数；
5•两个单调增函数之和仍为单调增函数；
6•实数域上的周期函数的周期有无穷多个；
7•复合函数f[g（x）]的定义域即g（x）的定义域；
8.y二f（x）在（a,b）内处处有定义，则f（x）在（a,b）内一定有界。
二、填空题
1•函数y二f（x）与其反函数y二（x）的图形关于对称；
2•若f（x）的定义域是[0,1]，贝Uf（x21）的定义域是；
2x
3.yx的反函数是；
2+1
1
4.f（x）=x1,（x）2，贝Uf[（x）1]=,
1+x
[f（x）1]=；
5.y=log2（sinx2）是由简单函数和复合而成;
6.f（x）=x2+1,®（x）=sin2x，贝Uf（0）=,仁丄）=_
a
f[（x）H
三、选择题
1•下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）
A、sin3x
B、x3
3
C、xx
3
X-X
2
2.设f（x）=4xbx5，
f（x1）-
f（x）=8x3,
则b应为（
2
3.f（x）=sin（x
—X）是（
A、有界函数四、计算下列各题
B、周期函数
C、奇函数
D、偶函数
1•求定义域y「.3-Xarcsin_2x
2.求下列函数的定义域
2
（1）y=一x-4x3
（2）y=J4_x2+1
lx+1
⑶y=lg（x2）1
（4）y=lgsinx
3.设f（x）=x2，g（x）=ex，求f[g（x）],g[f（x）],f[f（x）],g[g（x）]；
4.判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）=xJ
5•写出下列函数的复合过程
（1）y=sin3（8x5）
⑵y=tan&x?
+5）
⑷y=lg（3-x）
11
求：
r），7--），：
（-2），并作出函数y二（x）的图形。
5
第二讲：
极限概念
、是非题
1•在数列
^n［中任意去掉或增加有限项，不影响a［的极限;
2•若数列
Snbn?
的极限存在，则玄［的极限必存在;
3•若数列
‘Xn'和为n』都发散，则数列X*也发散;
4.若lim（UnVn）=0，则必有limun=0或limvn=0。
n—n—n―jpc
5.若limf（x）二A，则f（x0）=A；
^^0
6.已知f（X。
）不存在，但limf（x）有可能存在;
^jx0
JI
8.limarctanx=
x匸：
2
9.limex=0；
xt*
10.非常小的数是无穷小；
11.零是无穷小；
12.无限变小的变量称为无穷小；
13.无限个无穷小的和还是无穷小。
二、填空题
1.lim（.n1「.n）二
n—
2.lim
n—）：
:
n二
sin-
2
n
（T）n
3.nim」4计"
5.lim（2x-1）=
X—1
6.
lim2
xf'1x2
7・limcosx二
x）0
，limcosx
x—■
8•设f（x）n
x
e,X"，则f（o+）=、ax+b,xa0
f（0"
时，Xmof（x）"。
10.设：
（x）是无穷小量,E（x）是有界变量，则：
（x）E（x）为
11.limf（x）=A的充分必要条件是当Xrx0时，f（x）-A为
1
;limxsin—=
X_i2C
x_^0
12.limxsinj0
三、选择题
1•已知下列四数列:
①、xn=2；②、xn
贝U其中收敛的数列为（
A、①B、①②
2.已知下列四数列：
2
"3n1
）
C、①④
③、X
十1）
①②③
；®、x”1）"」刖
②、
111
0…0…
23n'
222
③、1314…2,2,3,3,
则其中发散的数列为
A、①B
、①④
3.Xn=
in
10二
n为奇数
n为偶数
n2...
n1
）
、①③④
，则必有（
④、
1,2,
n,
D、②④
A、limxn
n—.
-0
limxn=10J
n）：
:
'0,n为奇数
10—7,n为偶数
、nmxn不存在
4.从limf（x）=1不能推出（
XrX：
）
f（Xo）=1
A、lim—f（x）=1
C、f（X。
）=1
X>X0
lim【f（x）—1=0
X）Xo
5•设f（x）=*
]x+1,
2,
"0，则limf（x）的值为（）
二0x_Q
D、不存在
6.当X—.1时，下列变量中是无穷小的是（）
C、2
D、ln（x1）
A、x3-1
B、sinx
7•下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（
2
_x^1（x>
1nx/、
C、Inx（x—；0）
D、一cos（x—‘）
x2
8.若limf（x）「：
：
X—0
limg（x）二：
：
，则下列极限成立的是（
x典0
A、lim[f（x）g（x）]=:
:
x0
B、lim[f（x）g（x）]=0
x）X0
C、limxff（x）+g（x）
D、limf（x）g（x）二：
:
x风0
9•以下命题正确的是（）
A、无界变量一定是无穷大
B、无穷大一定是无界变量
C、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增
D、不趋于无穷大的变量必有界
1
10.limex（
x—0
B、等于-:
:
c、等于1
A、等于0
11•下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（
2.1
xsin
A、lim-
x10sinx
x-sinx
C、limxT^xsinx
D、不存在
）；
1-x
B、limx-11-sinx
D、Jim…x（2-arctanx）
四、设f（x）二
—，回答下列问题：
1•函数f（x）在x=0处的左、右极限是否存在？
2•函
x
五、下列各题中，指出哪些是无穷小？
哪些是无穷大?
1.1啟（x—；；
x
2.y（x>
x
0）；
4.ex（x>0）
3.lnx（xt0）；
六、当XrY时，下列哪个无穷小与无穷小
1
-是同阶无穷小?
x
1
哪个无穷小与无穷小1
—是等
x
价无穷小?
哪个无穷小是比无穷小
-高阶的无穷小?
x
1
1.-
2x
第三讲：
极限的求法
、是非题
1.在某过程中，
f（X）有极限，g（x）无极限,
则f（x）g（x）无极限;
2.在某过程中，
f（x），g（x）均无极限，则
f（x）g（x）无极限;
3.在某过程中，
f（x）有极限，g（x）无极限,
则f（x）g（x）无极限;
4.在某过程中，
f（x），g（x）均无极限，则
f（x）g（x）无极限;
必不存在;
limn2=0；
n》：
：
n
5.若limf（x）=A，limg（x）=0，贝Vlm
xTo^x0g（x）
1+2+3+…+n12
6.lim2limplim2
n》：
：
nn》：
：
nn》：
：
n
11
7.limxsinlimxlimsin0;
x」0xxj0x—0x
22
8.lim（x-3x）=limx-3limx=：
：
-：
：
=0;
xX：
x—）：
:
sinx
9.lim1;
x
10.lim（1-2）x=e.
x匸x
二、计算下列极限
3x+1
1.lim2;
x〜x21
2.lim
x1
X2-12x2-x
-1
2
2x+x+1
3.lim厂
x匚3x21
x32x2
5.lim2,
x）2（X_2）2
6.匹（亠-f）；
J11一x1-x
7.lim（.x2x1「；x2「x1）
x.
1+2+3+…+（n_1）8.lim-
n:
9.lim
x—JPC
（2x-1）300（3x-2）200
（2x1）500
10.lim
2xsinx
x2
1arctan—
x
11.xim0
sinx3x
tanx2x'
x
13.lim2nsinn（x0）n，2
=sinx）
x
15.lim
x「0
tanx—sinx
x3
三、求函数的极限
（1）xm空罟4
2x+cosx
lim
（2）x—工：
x—sinx；
\17
tan3x
xsin2x;
limsin5xcot3x
（4）x>7：
（5）
1
1—2x-lim（-仝）xx—Q1x；
申1*5x—£1一3x
lim2
（6）x—qx22x
四、求数列的极限:
[j1+n2、
n
':
n—1
lim
limn
v1
n_jPC
n
n_^C
Jn十1
；
（2）
（1）
limarcsin—arctanx
（4）x->:
:
limn（en-en）
（3）n，其中a,b为正的常数。
五、用洛必达法则求下列函数的极限
X3-3x2
lim32,
x1x-x-x1
2.
sin3xlimx刃tan5x
3.
ln（11）
x
lim,
x—'arccotx
4.
1）;
Inx
5.limx（ex-1）；
x_[:
Inx）x;
6.
sin3x
7.lim,
xftan3x
8.lim
X2-3x2.
;
x3-1
9.
limsinx—sina
x）a
10.lim
Inx
11.
x21
lim,
x—xlnx
12.limxnInx（n0）；
x]0■
专插本数学复习题（兰星）
1
13.lixm公；
x1
14.lim（tanx）sinx；
tanx—x
15.lim
xt0x—sinx
16.liming
xt：
ln（3x4）
x
sinx-e+1
17.lim
x101-J-x2
18.limxcot2x;
—
19.lim（Inx）x‘；
x1
1
X
20.lim（sincos2x）x；
XT2
21.加-站；
xtsinx
22.
sinx
o
-cosx
专插本数学复习题（兰星）
六、求a,b之值使協3-扯十％+1）=2
七、已知
limXaxb*，求常数a与b的值。
x11-x
八、已知
lim（x）x=2，求c。
xr：
x—c
12
九、证明：
当Xr0时，tan2x〜2x,1-cosx〜x2。
2
4
二、填空题
第四讲：
函数的连续性
、是非题
1.若f（x），g（x）在点x0处均不连续，则f（x）g（x）在点X。
处亦不连续;
2•若f（x）在点Xo处连续，g（x）在点Xo处不连续，则f（x）g（x）在点x°处必不连续;
3.若f（x）与g（x）在点xo处均不连续，则f（x）g（x）在点x°处亦不连续;
4.y=x在x二0处不连续;
5.f（x）在X。
处连续当且仅当f（x）在X。
处既左连续又右连续;
6.设y=f（x）在（a,b）内连续，则f（x）在（a,b）内必有界;
7.设y=f（x）在［a,b］上连续，且无零点，则f（x）在［a,b］上恒为正或恒为负;
i3_-3-
8.tan—，tan1：
：
：
0，所以tanx=0在（一，）内有根。
44
2.x=0是函数
型间断点;
，则f（x）在x=0处连续;
3.设f（x）=丄1n（1-x），若定义f（0）二
x
）anaxxH0
4.若函数f（x）x'在x=0处连续，则a等于
i2,x=0
2
7.函数y=x■x-2，当x=1,=0.5时，丄y二
；当x=1,--0.5时,
5.f（x「R的连续区间是
三、选择题
五、指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点。
1
1.f（X）=2,；
x-1
2.f（x）=ex
制题人：
兰星
16
第一章函数、极限与连续
X,X
3.f（X）»1
X
-1
;
=1
1
X,
、•1
4.f（X）二
（X—1）SF
X：
：
:
-1,
-1_X_1,
X1.
六、求下列极限
1.limIn（e*+x）；
X—1
2.lim
X卅x-2-，2
1
2X-1
4.lim—
xQ-1
2X1
专插本数学复习题（兰星）
1
七、证明方程4x_2x=0在（0,—）内至少有一个实根。
2
八、设f（x）=/
<2
x_10'，试判定f（x）在x=—,x=1,x=2处的连续性，并求出
x+1,XA12
连续区间。
第一章：
单元测试题
、填空题
21sin3x
3.lim（xsin2）口
4.lim（1+k）x=
x匚x
5.设f（x）在x=1处连续，且f
（1）=3，贝ylimf（x）（[
1
间断点;
6.x=0是函数f（x）二xsin的
x
二、选择题
跳跃间断点是
C、y=_x_1,x[1,：
：
）
2.当*—；:
:
:
时，下列函数中有极限的是
1
x
e
A、sinx
C、
x-1
X2-1
）；
D、arctanx
3.f（x）二1「在点x=0不连续是因为
）；
f（0-0）不存在
B、f（00）不存在
C、
f（00）=f（0）
D、f（0-0）=f（0）
21
4.设f（x）二xarccot，则x=1是f（x）的（）；
X-1
A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点
「COSX—1,X£0
5.设f（x）=」，贝yk=0是limf（x）存在的（）；
k,xa07
A、充分但非必要条件B、必要但非充分条件
C、充分必要条件D、无关条件
6.当X-；x0时，：
•和：
（=0）都是无穷小。
当X-；x0时，下列变量中可能不是无穷小的是
（）;
A、很亠卩B-C、卅FD、—
11
7.当n“时，若sin与匚是等价无穷小，则k=（）；
nn
1
A、2B、一C、1D、3
2
8.当x—；0时，下列函数中为X的高阶无穷小的是（）；
A、1-cosxB、xx2C、sinxD、、.x
1
9.当nr时，nsin是（）；
n
A、无穷大量B、无穷小量C、无界变量D、有界变量
3
10.方程Xpx^0（p-0）的实根个数是（）；
A、一个B、二个C、三个D、零个
22
11.当xr0时，（1-cosx）是sinx的（）；
（x1）95（ax1）5
12.设他X1严
）；
A、1B、2C、58D、A、B、C均不对
三、求下列函数的极限
1.lim2x・3；…x-2
2’x-1x2—）;
x1
.3
sinx
4.lim3；
xe（sinx）
5.lim1^/-x；
sin3x
x+3
6.lim2（sinx2）；
xr-x
7.lim
x）a
sinx-sina
；
x—a
sin兀x
8.lim
x4（x-1）
呷丿厂一^）；
5n-
（2）n
104叭畀1（一2厂1
四、设limxax-x"=b（常数），求a,b。
x1
五、证明下列方程在（0,1）之间均有一实根。
1.
x5x3=1；
2.
-x
ex；
3.
arctanx=1-x；
■使fO=。
七、设
3x,
f（x）=<2,
-1：
x：
：
1,
3x2,
x7求叫心）吧f（x），xmj（x）。
1：
：
x2.
六、设f（x）在［a,b］上连续，且a■f（x）：
：
：
b，证明在（a,b）内至少有一点
In（1-x）
x
八、设f（x）=<—1,
sinx
x0,
x=0,讨论f（x）在x=0处的连续性。
x0.
九、证明方程x=2sinx1至少有一个小于3的正根。
第一章函数、极限与连续
第一讲：
函数
、1•非；2•是；3•非；4•非；5是；6•是；7.非；8•非。
与二；5・y=log2U、
1xx4x5
二、1.y轴；2.‘0；3.log2L（0：
：
：
x：
：
1）；4.
1-x
12
u=sinx2；6.1,二,sin2x1。
a2+1
二、1.C；2.B；3.A。
四、1.[-1,3]；2.
（1）（-：
：
1][3,■：
：
）
（2）（-1,2]
⑶（-2,（4）（2k二，（2k1）二）（kZ）；
3.f[g（x）]=e2x,g[f（x）]=e",f[f（x）]=x4,g[g（x）]=exp（ex）；4.
（1）奇
（2）非奇非
u3
⑶y=2,u=1-x
（4）y=lgu,u=3-x；
11
6.520。
偶（3）奇（4）偶；5.
（1）y二u3,u=sinv,v=8x5
（2）y=tanu,u=3v,v=x25
第二讲：
极限概念
一、1.；是2.非;3.非;4.非；5.非；6.是;7.非；8.非；9.是;10.非；11.是；12.非；13.非。
二、1.0；2.0；3.4；4.0；5.1；6.0；7.1，不存在；8.b，1，1；9.：
：
「1；10.无穷小；11.无穷小;12.0。
三、1.D;2.C;3.D;4.C;5.B;6.A;7.D;8.D;9.B;10.D。
四、1.f（0-0）=-1,f（00）=1;2.无极限，因f（0-0）=f（00）;3.limf（x）=1。
xT
五、1.无穷小；2.无穷大；3.无穷大（-旳）；4.既不是无穷小也不是无穷大。
六、1.同阶无穷小；2.高阶无穷小；3.等价无穷小。
第三讲：
极限的求法
一、1.是；2.非；3.非；4.非；5.非;6.非；7.非；8.非；9.非；10.非。
22134
二、1.—1;2.—;3.—;4.0;5.+处;6.—1;7.1;8.—;9.（—）2°°；10.0;11.—；12.e-6;
33223
1“-4
13.x;14.1;15.；16.e。
2
七、提示：
由极限乘法运算法则及由分母极限为0，可得分子极限必为0,且分子、分母同
时有x-1的公因式，a=-3,b=2。
八、c=ln2。
九、（略）
第四讲：
函数的连续性
一、1.;非2•非；3.非；4.非；5.是；6•非；7•是；8•非。
75
二、1.第一类，跳跃型；2.第二类，无穷型；3.-1；4.2;5.（1,2）U（2,畑）；6.无，0;7.。
44
三、1.C；2.A；3.B。
四、a=1,b=1。
五、1.x二1是第二类间断点中的无穷间断点；2.x=0是第二类间断点中的无穷间断点；
3.x-1为第一类间断点中的可去间断点；4.X--1为第二类间断点中的无穷间断点，
X=1为第一类间断点中的跳跃间断点。
2
六、1.1n（e+1）；2.—J2；3.3logae；4.-1。
3
七、（略）
1
八、在X,2处连续，在X=1处间断，连续区间为[0,1）（1/-）
2
第一章：
单元测试题
3
一、1.[4,2]；2.[0,3）；3.3；4.ek；5.；6.第一类间断点且是可去间断点；7.X=7,0,
2
X—1,x=0,-1。
二、1.C；2.C；3.B；4.B；5.C；6.D；7.A；8.A；9.D；10.A；11.A；12.C。
.一191二11
三、1.3-.3；2.；3.e；4.1；5.；6.0；7.COSa；8.-；9.；10.—。
23445
四、a=-4,b=10。
五、（略）
六、（略）
七、limf（x）=0,limf（x）=3,lim_f（x）=6。
xTxjxr2
八、f（00）=f（0-0）=f（0）=-1，故f（x）在x=0处连续。
九、（略）
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